برخی از توابع وارون (معکوس) یکدیگر می باشند، اما یک تابع تنها در صورتی می تواند دارای وارون باشد که یک به یک (one-to-one) باشد. اگر دو تابع وارون یکدیگر باشند، هر تابع کاری را که تابع دیگر انجام می دهد خنثی می کند. به عبارت دیگر، شما می توانید از آنها استفاده کنید تا به نقطه ای که از آنجا کار را آغاز کرده بودید، بازگردید.





نماد توابع وارون توان \(-1\) می باشد که بعد از نام تابع نوشته می شود. برای مثال، وارون تابع \(f(x)\) ، برابر با \(f^{-1}(x)\) می باشد. در اینجا دو تابع وارون و چگونگی خنثی کردن یکدیگر در این توابع را می بینید:
$$
f(x)={x+3 \over x-4} \\[2ex]
f^{-1}(x)={4x+3 \over x-1}
$$
اگر \(5\) را در تابع \(f\) قرار دهید، نتیجه \(8\) خواهد شد. اگر \(8\) را در تابع \(f^{-1}\) قرار دهید، نتیجه \(5\) خواهد بود ـــ شما به نقطۀ آغازین باز خواهید گشت:
$$
f(5)={5+3 \over 5-4}={8 \over 1}=8 \\[2ex]
f^{-1}(8)={4(8)+3 \over 8-1}={32+3 \over 7}={35 \over 7}=5
$$
حالا، سوال چه بود؟ چگونه می توانید در یک چشم بر هم زدن بگویید چه زمانی توابع وارون هستند؟ به مطالعه ادامه دهید!

تعیین اینکه آیا توابع وارون هستند؟

در مثال آغازین این بخش، به شما گفتم که دو تابع وارون یگدیگر می باشند و به شما نشان دادم که آنها چگونه کار می کنند. با این حال، شما نمی توانید با جایگذاری اعداد، وارون بودن دو تابع را اثبات نمایید. ممکن است با وضعیتی مواجه شوید که چندین عدد بدرستی کار کنند، اما آن دو تابع واقعاً وارون یکدیگر نباشند.


به عبارت دیگر، شما باید ترکیب را در هر دو جهت انجام بدهید (ابتدا \(f \circ g\) را انجام بدهید و سپس \(g \circ f\) را در ترتیب معکوس انجام دهید) و مشاهده کنید که هر دو نتیجه تنها مقدار واحد \(x\) باشد.

به عنوان تمرین، نشان دهید که \( f(x)=\sqrt[3]{2x-3}+4 \) و \( g(x)={ (x-4)^3 + 3 \over 2 } \) وارون یکدیگر می باشند. ابتدا ترکیب \(f \circ g\) را انجام دهید:
$$
\require{cancel}
f \circ g = f(g) - \sqrt[3]{2(g)-3}+4 \\[2ex]
=\sqrt[3]{\cancel{2} \biggl( {(x-4)^3+3 \over \cancel{2}} \biggr) -3}+4 \\[2ex]
=\sqrt[3]{(x-4)^3+3-3}+4 \\[2ex]
=\sqrt[3]{(x-4)^3}+4 \\[2ex]
=(x-4)+4 \\[2ex]
=x
$$
اکنون ترکیب را برای ترتیب معکوس انجام دهید:
$$
g \circ f = { (f-4)^3 +3 \over 2} \\[2ex]
={ \bigl( (\sqrt[3]{2x-3}+4)-4 \bigr)^3 + 3 \over 2} \\[2ex]
={ (\sqrt[3]{2x-3})^3 + 3 \over 2} \\[2ex]
={ (2x-3) + 3 \over 2} \\[2ex]
={ 2x \over 2} \\[2ex]
=x
$$
نتیجه هر دو ترکیب \(x\) شد، بنابراین این توابع وارون یکدیگر می باشند.

پیدا کردن وارون یک تابع

تا اینجای این بخش، من دو تابع به شما می دادم و به شما می گفتم که این دو تابع معکوس یکدیگر می باشند. چگونه این را می دانستم؟ شعبده چیست؟ آیا من این توابع را از کلاه بیرون می کشیدم؟ نه، شما یک فرآیند زیبا دارید که می توانید از آن استفاده کنید. من راز این کار را به شما می گویم تا بتوانید انواع وارون ها را برای انواع توابع بسازید. خوش به حال شما! لیست زیر، این فرآیند را به صورت گام به گام به شما می گوید (این فرآیند، بیشتر حفظ کردنی است تا یادگرفتنی).

برای پیدا کردن وارون تابع یک به یک \(f(x)\) ، این مراحل را دنبال کنید:

1. تابع را به این شکل بازنویسی کنید که \(f(x)\) را با \(y\) جایگزین نمایید تا نمادها ساده تر شوند.
   
2. هر \(y\) را به یک \(x\) و هر \(x\) را به یک \(y\) تغییر بدهید.
   
3. آن را برای \(y\) حل کنید.
   
4. تابع را بازنویسی کنید، به نحویکه \(y\) را با \(f^{-1}(x)\) جایگزین نمایید.
   

در اینجا مثالی از چگونگی انجام این مراحل داریم. وارون تابع زیر را بیابید:
$$ f(x)={x \over x-5} $$

1. تابع را به این شکل بازنویسی کنید که \(f(x)\) را با \(y\) جایگزین نمایید تا نمادها ساده تر شوند.
   $$ y={x \over x-5} $$
   
2. هر \(y\) را به یک \(x\) و هر \(x\) را به یک \(y\) تغییر بدهید.
   $$ x={y \over y-5} $$
   
3. آن را برای \(y\) حل کنید.
   $$
   x={y \over y-5} \\[2ex]
   x(y-5)=y \\[2ex]
   xy-5x=y \\[2ex]
   xy-y=5x \\[2ex]
   y(x-1)=5x \\[2ex]
   y={5x \over x-1}
   $$
   
4. تابع را بازنویسی کنید، به نحویکه \(y\) را با \(f^{-1}(x)\) جایگزین نمایید.
   $$ f^{-1}(x)={5x \over x-1} $$