شکل استاندارد درجه دوم ها

تابع درجه دوم (quadratic function) یکی از شناخته شده ترین و مفیدترین توابع چندجمله ای (polynomial) می باشد که در سراسر جبر یافت می شود. این تابع یک منحنی زیبای U شکل را که سهمی (parabola) نامیده می شود و می توانید به سرعت ترسیمش کنید و به آسانی تفسیرش کنید، توصیف می کند. مردم از توابع درجه دوم برای مدل سازی وضعیتهای اقتصادی، فرآیند پیشرفت فیزیکی، و مسیر ستاره های دنباله دار، استفاده می کنند. ریاضیات چقدر دیگر قرار است مفید باشد؟

مهمترین ویژگیها برای شناسایی به منظور ترسیم نمودار یک سهمی عبارت از دهانه (رو به سمت بالا یا پایین، شیب دار یا عریض) ، تقاطع ها، رأس، و محور تقارن، می باشند. در این فصل، چگونگی شناسایی تمامی این ویژگیها درون شکل استاندارد تابع درجه دوم، را به شما نشان می دهم. همچنین چند معادله از سهمی ها را نشان می دهم که رویدادها را مدل سازی می کنند.

تفسیر شکل استاندارد درجه دوم ها

سهمی (شلجمی) نمودار یک تابع درجه دوم می باشد. این نمودار یک طرح زیبا و نرم منحنی U شکل دارد که نقاطی بر روی آن قرار دارند که این نقاط فاصله یکسانی را با خطی که از وسط منحنی ـــ این خط محور تقارن نامیده می شود ـــ عبور کرده است، دارند. در حالت کلی سهمی ها می توانند رو به سمت بالا، رو به سمت پایین، چپ، یا راست باشند، اما سهمی هایی که نشان دهندۀ توابع هستند فقط می توانند رو به سمت بالا یا پایین باشند. (در فصل 11 اطلاعات بیشتری را در مورد انواع دیگر منحنی ها خواهید یافت.) شکل استاندارد تابع درجه دوم اینست:
$$ f(x)=ax^2+bx+c $$
ضرایب (coefficients) متغیرهای $a$ ، $b$ ،و $c$ اعداد حقیقی (real numbers) می باشند. $a$ نمی تواند برابر با صفر باشد، زیرا در آنصورت دیگر تابع درجه دومی نخواهید داشت. چیزهای زیادی را می توانید از این شکل ساده استاندارد معادله کشف کنید. ضریب های $a$ و $b$ مهم هستند، و برخی از معادلات ممکن است هر سه این جملات را نداشته باشند. همانطور که خودتان هم می بینید، در هر چیزی (یا در عدم وجود هر چیز) معنایی نهفته است!

شروع با $a$ در شکل استاندارد

یادتان باشد: نظر به اینکه ضریب آغازین در شکل استاندارد تابع درجه دوم، یعنی $a$ در شکل $ f(x)=ax^2+bx+c $ به شما دو تکه از اطلاعات را می دهد: جهتی که سهمی (شلجمی) به آن سمت باز می شود، و تند بودن یا مسطح بودن سهمی. در اینجا به صورت تفکیکی چگونگی تاثیر علامت و اندازه ضریب آغازین $(a)$ در ظاهر سهمی را می بینید:

اگر $a$ مثبت باشد، نمودار سهمی رو به سمت بالا باز می شود (بخش a و b از شکل 1-7 را ببینید).
اگر $a$ منفی باشد، نمودار سهمی رو به سمت پایین باز می شود (بخش c و d از شکل 1-7 را ببینید).
اگر قدر مطلق $a$ بزرگتر از یک باشد، نمودار سهمی تند می باشد (بخش a و c از شکل 1-7 را ببینید).
اگر قدرمطلق $a$ کوچکتر از یک باشد، نمودار سهمی مسطح می شود (بخش b و d از شکل 1-7 را ببینید).

نکته: اگر چهار قانون شناسایی ضریب آغازین، یعنی $(a)$ را، به خاطر داشته باشید، برای توصیف ظاهر نمودار سهمی، حتی مجبور به ترسیم آن هم نخواهید بود.

در اینچا چگونگی توصیف چندین سهمی از روی معادله آنها را می بینید:

$y=4x^2-3x+2$ : شما می توانید بگویید این سهمی تند است و رو به سمت بالا باز می شود، زیرا ضریب آغازین مثبت است و قدر مطلق آن بزرگتر از یک می باشد.
$y=-{1\over3}x^2+x-11$ : می توانید بگویید این سهمی مسطح و رو به سمت پایین است، زیرا ضریب آغازین منفی است و قدر مطلق این کسر کوچکتر از یک می باشد.
$y=0.002x^2+3$ : می توانید بگویید این سهمی مسطح است و رو به سمت بالا باز می شود، زیرا ضریب آغازین مثبت و مقدار اعشاری کوچکتر از یک می باشد. در واقع، ضریب آنقدر کوچک است که سهمی مسطح شبیه یک خط افقی به نظر می رسد.

ادامه دادن با $b$ و $c$

بسیار شبیه به ضریب آغازین در تابع درجه دوم، جملات $b$ و $c$ اطلاعات فراوانی را به شما می دهند. علی الخصوص، اگر این جملات آنجا نباشند، به شما چیزهای زیادی می گویند. در بخش بعدی، چگونگی استفاده از این جملات برای یافتن تقاطع ها (یا صفرها) را خواهید دانست. فعلاً، شما بر روی حاضر بودن یا غایب بودن آنها تمرکز خواهید کرد.

ضریب آغازین ، یعنی $a$، هرگز نمی تواند برابر با صفر باشد. اگر چنین اتفاقی بیفتد، شما دیگر تابع درجه دومی نخواهید داشت، و این بحث را همینجا می بندیم. در مورد دو جمله دیگر داریم:

اگر ضریب دوم $ (b) $ صفر باشد، سهمی در دو سمت محور $Y$ می ایستد. رأس سهمی ـــ بالاترین یا پایین ترین نقطه در منحنی، بسته به اینکه سهمی رو به کدام سمت باز شده باشد ـــ بر روی محور $Y$ قرار دارد و سهمی نسبت به این محور متقارن خواهد بود (بخش a از شکل 2-7 را ببینید، نمودار یک تابع درجه دوم که در آن $b=0$ می باشد). جملۀ دوم، جملۀ $x$ می باشد، بنابراین اگر ضریب $b$ برابر با صفر باشد، جملۀ دوم ناپدید می شود. در اینصورت شکل استاندارد معادله به $y=ax^2+c$ تبدیل خواهد شد که در این شکل پیدا کردن تقاطع ها بسیار آسان خواهد گشت.
اگر ضریب آخر یعنی $c$، برابر با صفر باشد، نمودار درجه دوم از مبدأ عبور می کند ـــ به عبارت دیگر، یکی از تقاطع های آن مبدأ می باشد (بخش b از شکل 2-7 را ببینید، نمودار یک تابع درجه دوم که در آن $c=0$ است). در این حالت، شکل معادله استاندارد $y=ax^2+bx$ خواهد بود که به آسانی می توانید آن را به $y=x(ax+b)$ فاکتورگیری کنید.