ناپیوستگی ها (Discontinuities) در خط های مجانب عمودی (vertical asymptotes) نمی توانند حذف گردند. اما گاهی اوقات توابع گویا دارای ناپیوستگی های برداشتنی (removable discontinuities) در جاهای دیگری می باشند. با این حال، نامگذاری removable (به معنای برداشتنی، و یا قابل حذف)، می تواند اندکی گمراه کننده باشد. در این نقاط برداشتنی، شکاف در دامنه هنوز هم وجود دارد، اما مقادیر تابع و نمودار منحنی آن تمایل دارند تا نسبت به وقتیکه یک ناپیوستگی غیر قابل برداشتن وجود دارد، در مقادیر \(x\) اندکی بهتر رفتار کنند. مقادیر تابع نزدیک به یکدیگر قرار می گیرند ـــ آنها جدا از هم گسترش نمی یابند ـــ و نمودار صرفاً سوراخ های کوچکی خواهد داشت، نه خط های مجانب عمودی که نمودارها خیلی خوب نباشند (آنها بی نهایت بالا یا بی نهایت پایین می روند). در این زمینه در ادامۀ همین فصل بیشتر بحث خواهیم کرد.





شما این گزینه را دارید که با فاکتورگیری تابع اصلی ناپیوستگی ها را بردارید ـــ در صورتی که قابل فاکتورگیری باشد. اگر صورت و مخرج کسر، عامل مشترکی نداشته باشند، سپس ناپیوستگی برداشتنی وجود نخواهد داشت.

شما می توانید ناپیوستگی های برداشتنی را، هنگامی که نمودار آنها را در تابع گویایِ آنها می بینید، تشخیص بدهید؛ آنها به شکل سوراخهایی در نمودار ظاهر می شوند ـــ نقطه هایی بزرگ با فضای خالی در میانشان. ناپیوستگی های برداشتنی شبیه خط های مجانب عمودی، بزرگ و بدیهی نیستند؛ شما باید با دقت مراقب آنها باشید.

حذف با فاکتورگیری

ناپیوستگی ها زمانی برداشته می شوند که دیگر هیچ تاثیری در معادلۀ تابع گویا نداشته باشند. شما می دانید این مورد زمانی است که عامل مشترکی را هم در صورت و هم در مخرج کسر می یابید. شما فرآیند برداشتن را با فاکتورگیری چندجمله ایهای موجود در صورت و مخرج کسر در تابع گویا، و سپس کاهش دادن آن کسر، تکمیل می کنید.

به عنوان مثال، برای برداشتن ناپیوستگی در تابع گویایِ \(y=\frac{x^2-4}{x^2-5x-14}\) ، ابتدا کسر را به شکل زیر فاکتورگیری می کنید:
$$
\require{cancel}
y=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-7)(x+2)}=\frac{(x-2) \cancel{(x+2)}}{(x-7) \cancel{(x+2)}} $$
اکنون این کسر را به یک گزاره تابع جدید کاهش می دهید:
$$ y=\frac{x-2}{x-7} $$
با خلاص شدن از شر ناپیوستگی برداشتنی، معادله ای را که مشغول ترسیم نمودارش هستید، ساده سازی می کنید. ساده تر اینست که یک خط با یک سوراخ در آن را ترسیم کنید، تا اینکه با معادله ای که دارای یک کسر می باشد، درگیر شوید ـــ و تمامی این محاسبات پیچیده می باشند.

ارزیابی محدودیت های برداشتن

تابع \(y=\frac{x^2-4}{x^2-5x-14}\) ، که در بخش قبلی با آن کار کردید، با یک معادلۀ درجه دوم در مخرج آن آغاز می شود. شما مخرج کسر را فاکتورگیری می کنید، و هنگامی که آن را برابر با صفر قرار می دهید، درخواهید یافت که پاسخهای \(x=-2\) و \(x=7\) در دامنۀ تابع ظاهر نمی شوند. حالا چه می شود؟

اعدادی که از دامنه استثناء شده اند حتی بعد از اینکه شما ناپیوستگی را حذف کردید، باز هم استثناء باقی می مانند. این تابع برای دو مقداری که شما یافته اید، هنوز تعریف نشده می باشد. بنابراین، شما می توانید نتیجه گیری کنید که این تابع در هر کدام از ناپیوستگی ها متفاوت عمل می کند. هنگامیه \(x=-2\) باشد، نمودار این تابع دارای یک حفره می باشد؛ منحنی به این مقدار نزدیک می شود، آن را نادیده می گیرد، و ادامه می دهد. آن به روشی منطقی عمل می کند: مقادیر تابع این ناپیوستگی را نادیده می گیرند، اما مقادیر واقعاً به آن نزدیک می شوند. با این وجود، هنگامیکه \(x=7\)، یک خط مجانب عمودی ظاهر می شود؛ ناپیوستگی ناپدید نمی شود. مقادیر این تابع در آن مقدار \(x\) بلا استفاده می مانند و به هیچ وجه آن را حل نمی کنند.

نشان دادن ناپیوستگی های برداشتنی بر روی یک نمودار

یک خط مجانب عمودی از یک تابع گویا یک ناپیوستگی، یا یک مکان بر روی نمودار که تابع در آنجا تعریف نشده است، را نشان می دهد. در هر دو سمت یک خط مجانب عمودی، نمودار رو به سمت مثبت بی نهایت بالا می رود یا رو به سمت منفی بی نهایت پایین می آید. یک تابع گویا در هر جا که شما یک خط مجانب عمودی می بینید، هیچ محدودیتی ندارد. برخی از توابع گویا ممکن است ناپیوستگی هایی داشته باشند که در آن محدودیت هایی وجود داشته باشد. وقتیکه تابعی دارای یک ناپیوستگی برداشتنی باشد، یک حد (limit) وجود دارد، و نمودار آن تابع، این حد را با قرار دادن یک دایرۀ توخالی در مکانی از یک قطعه از نمودار نشان می دهد.

شکل 4-9 یک تابع گویا با یک خط مجانب عمودی در \(x=-2\) و یک ناپیوستگی برداشتنی در \(x=3\) را نشان می دهد. خط مجانب افقی برابر با محور \(X\) می باشند (به شکل \(y=0\) نوشته می شود). متاسفانه، ماشین حسابهای نموداری دایرۀ توخالی نمایانگر ناپیوستگی های برداشتنی را نشان نمی دهند. اوه، مطمئناً، یک حفره در آنجا وجود دارد، اما عرض این حفره صرفاً یک پیکسل می باشد، بنابراین نمی توانید با چشم غیرمسلح آن را ببینید. شما فقط باید بدانید که ناپیوستگی آنجا وجود دارد. ما هنوز هم از ماشین حسابها بهتریم!