حل کردن معادلات نمائی

برای حل کردن یک معادلۀ جبری، شما بدنبال اعدادی می گردید که با متغیرها جایگزینشان نمایید تا در نتیجه به یک گزارۀ صحیح برسید. فرآیند حل کردن معادلات نمائی تکنیکهای یکسان بسیاری را که در معادلات جبری از آنها استفاده می کنید، با یکدیگر ترکیب می کند ـــ جمع کردن یا تفریق کردن از هر دو سمت معادله، ضرب کردن یا تقسیم کردن هر سمت بر عددی یکسان، فاکتورگیری، مربع کردن هر دو سمت، و به همین ترتیب.

با این وجود، حل کردن معادلات نمائی نیاز به چندین تکنیک دیگر نیز دارد. این چیزی است که آنها را جالبتر می کند! برخی از این تکنیکها که در هنگام حل کردن معادلات نمائی مورد استفاده قرار می دهید شامل تغییر دادن معادلات نمائی اصلی به معادلات جدیدی دارای پایه هایی یکسان، می باشند. تکنیکهای دیگر شامل تبدیل کردن معادلات نمائی در شکلهایی قابل شناسایی تر ـــ مانند معادلات درجه دوم ـــ و سپس استفاده از فرمولهای مناسب می باشند. (اگر نتوانید معادلات نمائی را به شکلهای مناسبتری تغییر شکل بدهید یا آن را به شکل معادلات خطی یا درجه دوم بنویسید، باید از لگاریتم ها و فرمول تغییر پایه استفاده کنید، که البته هیچکدام از اینها در محدودۀ این کتاب قرار نمی گیرند.)

یکنواخت کردن پایه ها

قوانین جبر: اگر معادله ای در شکل $b^x=b^y$ را ببینید، که در آن پایه ها $(b)$ یکسان باشند، قانون زیر برقرار است:
$$ b^x=b^y \longleftrightarrow x=y $$
این قانون را به این شکل می خوانید: "اگر $b$ به توان $x$ برابر باشد با $b$ به توان $y$، دلالت بر این دارد که $x=y$ ." فلش دو طرفه نشان می دهد که این قانون در هر دو سمت متضاد یکدیگر برقرار می باشد.

با استفاده از قانون پایه جهت حل کردن معادلۀ $2^{3+x}=2^{4x-9}$ ، شما می توانید ببینید که پایه ها ($2$ ها) یکسان می باشند، بنابراین توانها نیز باید با هم یکسان باشند. شما صرفاً معادلۀ خطی $3+x=4x-9$ را برای بدست آوردن مقدار $x$ حل می کنید: $12=3x$ یا $x=4$ . سپس $4$ را به معادلۀ اصلی بر می گردانید تا پاسختان را درست آزمایی کنید: $2^{3+4}=2^{4(4)-9}$ ، که به $2^7=2^7$ یا $128=128$ ساده سازی می شود.

به اندازۀ کافی ساده به نظر می رسد. اما اگر پایه ها یکسان نباشند چکار می کنید؟ متاسفانه، اگر نتوانید مسأله را به نحوی تغییر شکل بدهید که پایه ها یکسان گردند، نمی توانید با این قانون مسأله را حل کنید. (در این مورد، یا از لگاریتم ها استفاده می کنید ـــ آن را به یک معادلۀ لگاریتم تغییر می دهید ـــ یا به تکنولوژی متوسل می شوید.)

وقتیکه پایه ها مرتبط هستند

بسیاری از اوقات، پایه ها، با توانهایی از اعداد یکسان بودن، به یکدیگر مرتبط هستند.

به عنوان مثال، برای حل کردن معادلۀ $4^{x+3}=8^{x-1}$ ، نیاز دارید که هر دو پایه را به شکل توانهایی از $2$ بنویسید و سپس قانون پایه ها در توانها را به کار بگیرید (جهت یادآوری و مرور می توانید فصل 4 را بازنگری کنید). مراحل انجام این کار را در ادامه می بینید:

$4$ و $8$ را به توانهایی از $2$ تغییر بدهید.
$$
4^{x+3}=6^{x-1} \\[2ex]
(2^2)^{x+3}=(2^3)^{x-1}
$$
توانها را به توان برسانید.
$$
2^{2(x+3)} = 2^{3(x-1)} \\[2ex]
2^{2x+6}=2^{3x-3}
$$
از آنجا که هم اکنون پایه ها یکسان می باشند، دو توان را معادل یکدیگر قرار بدهید و آن را برای یافتن $x$ حل کنید.
$$
2x+6=3x-3 \\[2ex]
9=x
$$
پاسختان را در معادلۀ اصلی درست آزمایی کنید.
$$ 4^{9+3}=8^{9-1} \\[2ex]
4^{12}=8^8 \\[2ex]
16,777,216 = 16,777,216 $$

وقتیکه عملیاتهای دیگری درگیر می شوند

تغییر دادن تمامی پایه ها در یک معادله به یک پایه واحد مخصوصاً هنگامی که عملیاتهایی همچون ریشه گیری، ضرب، یا تقسیم درگیر باشند، سودمند می باشد. به عنوان مثال، اگر بخواهید معادلۀ $\frac{27^{x+1}}{\sqrt{3}}=9^{2x-3}$ را برای یافتن $x$ حل کنید، بهترین رویکرد شما اینست که هر کدام از پایه ها را به توانی از $3$ تغییر بدهید و سپس قوانین توانها را بر روی آنها بکار ببندید.

در اینجا چگونگی تغییردادن پایه ها و توانها در معادلۀ این مثال را می بینید (مراحل 1 و 2 از لیست پیشین):
$$
\frac{27^{x+1}}{\sqrt{3}}=9^{2x-3} \\[2ex]
\frac{(3^3)^{x+1}}{3^{1\over2}}=(3^2)^{2x-3} \\[2ex]
\frac{3^{3x+3}}{3^{1\over2}}=3^{4x-6}
$$
شما پایه های $9$ و $27$ را به توانی از $3$ تغییر دادید، و رادیکال را با یک توان کسری جایگزین نمودید، و سپس توانها را با ضرب کردن در توانهای بیرونی به توان رساندید.

هنگامی که دو عدد با پایه های یکسان را بر یکدیگر تقسیم می کنید، توانها را از هم تفریق می کنید. بعد از اینکه توان واحدی از $3$ را در هر سمت داشته باشید، می توانید توانها را برابر با یکدیگر قرار بدهید و معادله ایجاد شده را برای یافتن $x$ حل کنید:
$$
3^{3x+3-({1\over2})}=3^{4x-6} \\[2ex]
3^{3x+({5\over2})}=3^{4x-6} \\[2ex]
3x+{5\over2}=4x-6 \\[2ex]
6+{5\over2}=x \\[2ex]
{17\over2}=x
$$

شناسایی و استفاده از الگوهای درجه دوم

هنگامی که جملات توان دار با دو یا سه جمله در معادلات ظاهر گردند، ممکن است قادر باشید به شکلی که با معادلات درجه دوم برخورد می کنید با آنها نیز برخورد کنید، تا آنها را با روشهایی آشنا حل کنید. استفاده از روشهایی برای حل کردن معادلات درجه دوم یک مزیت بزرگ می باشد، زیرا شما می توانید معادلات نمائی را فاکتورگیری کنید، یا می توانید به فرمول حل کردن معادلۀ درجه دوم متوسل گردید.

شما معادلات درجه دوم را با تقسیم کردن تک تک جملات بر یک عامل مشترک، یا در سه جمله ایها، با استفاده از روش unFOIL برای تعیین دو دوجمله ای که حاصلضربشان آن سه جمله ای گردد، فاکتورگیری می کنید. (اگر در این زمینه نیاز به یادآوری دارید فصلهای 1 و 3 را بازنگری کنید.)

شما می توانید تقریباً از هر الگوی معادله که می دانید در هنگام حل کردن توابع نمائی استفاده نمایید. اگر می توانید نمائی را با این روشها ساده سازی کنید، به شکل درجه دوم یا درجه سوم فاکتور گیری کنید، مربع های کامل را بیابید، مجموع یا تفاضل بین مربع ها را بیابید، و به همین ترتیب، شما با تغییر دادن معادله به چیزی قابل شناسایی و قابل انجام، زندگی را آسانتر می سازید. در بخشهایی که در ادامه خواهند آمد، مثالهایی از دو تا از رایج ترین انواع مسأله ها را برای شما تدارک دیده ام که شما احتمالاً آنها را تجربه خواهید کرد: آنها شامل فاکتورهای مشترک و unFOIL می باشند.

بیرون کشیدن بزرگترین عامل مشترک

هنگامیکه یک معادله درجه دوم را با بیرون کشیدن بزرگترین عامل مشترک، فاکتورگیری می کنید، آن عامل مشترک را در بیرون پرانتز می نویسید و نتایج تقسیم بر آن را درون پرانتز نشان می دهید.

به عنوان مثال، در معادلۀ $3^{2x}-9 \cdot 3^x = 0$ شما $3^x$ را از هر جمله فاکتور می گیرید تا به $3^x(3^x - 9)=0$ برسید. بعد از فاکتورگیری از ویژگی ضرب صفر (MPZ) استفاده می کنید، و هر کدام از فاکتورها را به صورت جداگانه برابر با صفر قرار می دهید. (اگر حاصلضرب دو عدد برابر با صفر باشد، دست کم یکی از آنها باید صفر باشد.) شما فاکتورها را برابر با صفر قرار می دهید تا پیدا کنید چه مقادیری $x$ را برآورده می کنند:

$3^x=0$ پاسخی ندارد؛ $3$ که به توانی رسیده باشد نمی تواند برابر با $0$ باشد.
$$
3^x-9=0 \\[2ex]
3^x=9 \\[2ex]
3^x=3^2 \\[2ex]
x=2
$$
این فاکتور هنگامی برابر با $0$ می شود که $x=2$ باشد؛ برای این معادله تنها یک پاسخ وجود دارد.

فاکتورگیری مشابه یک سه جمله ای درجه دوم

یک سه جمله ای درجه دوم دارای یک جمله با متغیری مربع شده، یک جمله با متغیری به توان اول رسیده، و یک جمله ثابت می باشد. اگر قصد دارید یک معادلۀ نمائی را مشابه معادلات درجه دوم حل کنید، این الگویی است که باید به دنبال آن بگردید. به عنوان مثال، سه جمله ایِ $5^{2x}-26 \cdot 5^x + 25=0$ ، به یک سه جمله ای درجه دوم که شما می توانید آن را فاکتورگیری کنید، شباهت دارد. یک گزینه اینست که در معادله درجه دوم $y^2+26y+25=0$ ، که چیزی شبیه این معادله نمائی ما می باشد، $5^x$ را جایگزی $y$ کنید. این معادله درجه دوم در حالت وجود $y$ به $(y-1)(y-25)=0$ فاکتورگیری می شود. اگر مشابه همین الگو را در مورد معادلۀ نمائی بکار بگیریم، خواهیم داشت $(5^x-1)(5^x-25)=0$ . با قرار دادن هر فاکتور برابر با $0$ ، در مورد $5^x-1=0$ به $5^x=1$ می رسیم. این معادله وقتیکه $x=0$ است، برقرار می باشد، در نتیجه یکی از پاسخها بدست می آید. اکنون، در مورد $5^x-25=0$ ، به $5^x=25$ یا $5^x=5^2$ می رسید. به عبارت دیگر، $x=2$ . شما برای این معادله به دو پاسخ دست یافتید: $x=0$ و $x=2$ .

آموزش قبلی صفحۀ اصلی دوره آموزش بعدی