خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


توابع لگاریتمی (Logarithmic Functions)

توابع لگاریتمی (Logarithmic Functions)
نویسنده : امیر انصاری
لگاریتم (logarithm) توان یک عدد می باشد. توابع لگاریتمی (log) معکوس توابع نمائی می باشند. آنها به این سوال پاسخ می دهند، "چه توانی آن پاسخ را به من می دهد؟" به عنوان مثال، تابع لگاریتمی مرتبط با تابع نمائی \(f(x)=2^x\) برابر با \(f^{-1}(x)=\log_2 x\) می باشد. بالانویس \(-1\) که بعد از نام تابع \(f\) آمده است، تعیین می کند که شما بدنبال معکوس تابع \(f\) می باشید. بنابراین، به عنوان مثال \(\log_2 8\) از شما می پرسد، "چه توانی از \(2\) نتیجه \(8\) را به من می دهد؟"

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



یادتان باشد: یک تابع لگاریتمی (logarithmic function) دارای یک پایه (base) و یک آرگومان (argument) می باشد.تابع لگاریتمی \(f(x)=\log_b x\) دارای پایۀ \(b\) و آرگومان \(x\) می باشد. پایه همواره باید عددی مثبت باشد و نباید برابر با یک باشد. آرگومان همواره باید مثبت باشد.

شما می توانید با ارزیابی یک تابع نمائی برای یک مقدار خاص و سپس بررسی اینکه چگونه بعد از به کاربردن تابع معکوس آن بر روی پاسخ بدست آمده می توانید به آن مقدار دست یابید، ببینید که چگونه آن تابع و معکوس آن به عنوان توابع نمائی و لگاریتمی کار می کنند. به عنوان مثال، در تابع \(f(x)=2^x\) ابتدا اجازه دهید \(x=3\) باشد؛ به نتیجۀ \(f(3)=2^3=8\) می رسید. پاسخ بدست آمده یعنی \(8\) را در تابع معکوس آن قرار دهید: \(f^{-1}(8)=\log_2 8=3\) . این پاسخ از تعریف چگونگی کارکرد لگاریتم حاصل شده است؛ \(2\) به توان \(3\) برابر با \(8\) می باشد. شما این پاسخ را در سوال اساسی لگاریتم دارید، "چه توانی از \(2\) نتیجه \(8\) را به من می دهد؟"

ویژگی های لگاریتم


توابع لگاریتمی ویژگیهای یکسانی را با همتایان نمائی شان به اشتراک می گذارند. هر گاه که لازم باشد، ویژگی های لگاریتم به شما امکان می دهند تا عبارات لگاریتمی را دستکاری کنید تا بتوانید معادلات را حل کنید یا جملات را ساده سازی کنید. مشابه توابع نمائی، پایۀ \(b\) از یک تابع لگاریتمی باید مثبت باشد. ویژگیهای لگاریتم ها را می توانید در جدول 2-10 ببینید.

توابع لگاریتمی (Logarithmic Functions)
Property Name: نام ویژگی
Property Rule: قانون ویژگی
Example: مثال
Equivalence: هم ارزی، معادل بودن
Log of a product: لگاریتم یک حاصلضرب
Log of a quotient: لگاریتم یک خارج قسمت
Log of a power: لگاریتم یک توان
Log of 1: لگاریتم 1
Log of the base: لگاریتم پایه

جملات نمائی که دارای پایه ای از \(e\) می باشند، لگاریتم خاصی صرفاً برای \(e\) دارند. به جای اینکه لگاریتم آنها را در پایۀ \(e\) به شکل \(\log_e x\) بنویسید، از نماد خاص \(ln\) برای نمایش لگاریتم استفاده می کنید. نماد \(ln\) مخفف natural logarithm (لگاریتم طبیعی) می باشد، و نشان می دهد که پایه \(e\) می باشد. معادل های پایۀ \(e\) و ویژگیهای لگاریتم طبیعی یکسان می باشند، اما فقط اندکی متفاوت به نظر می رسند. جدول 3-10 آنها را نشان می دهد.

توابع لگاریتمی (Logarithmic Functions)
همانطور که در جدول 3-10 می بینید، نگارش لگاریتم طبیعی بسیار ساده تر است ـــ شما هیچ زیرنویسی ندارید. حرفه ایها از لگاریتم طبیعی به طور گسترده در کاربردهای ریاضی، علمی،و مهندسی استفاده می کنند.

لگاریتم را به کار بگیرید


قوانین جبر: شما می توانید از معادل سادۀ نمائی/لگاریتمی برای ساده سازی معادلاتی که شامل لگاریتم هستند، استفاده نمایید: \(\log_b x=y \longleftrightarrow b^y=x\) . بکار بردن هم ارزها (معادل ها) معادله را بسیار زیباتر می کند.

به عنوان مثال، اگر از شما خواسته شود که عبارت \(\log_9 3\) را ارزیابی کنید، (یا آن را به شکل دیگری تغییر بدهید)، می توانید آن را به شکل یک معادله بنویسید، \(\log_9 3=x\) ، و از هم ارز آن استفاده نمایید: \(9^x=3\) . اکنون آن را در شکلی در اختیار دارید که می توانید برای بدست آوردن \(x\) معادله را حل کنید (این \(x\) که بدست می آورید پاسخ یا مقدار عبارت اصلی می باشد). با تغییر دادن \(9\) به توانی از \(3\) و سپس یافتن \(x\) در معادلۀ جدید، آن را حل می کنید:
$$
(3^2)^x=3 \\[2ex]
3^{2x}=3^1 \\[2ex]
2x=1 \\[2ex]
x={1\over2}
$$
این نتیجه به شما می گوید که \(\log_9 3={1\over2}\) ـــ بسیار ساده تر از عبارت لگاریتم اصلی.

حالا به فرآیند تعیین اینکه \(10\log_3 27\) برابر با \(30\) می باشد، بنگرید. شما مجبورید اعتراف کنید که درک عدد \(30\) و کنار آمدن با آن، بسیار ساده تر از درک \(10\log_3 27\) می باشد، بنابراین مراحل را در اینجا می بینید:
$$
10\log_3 27=10(\log_3 27) = 10(x) \\[2ex]
\text{if } x=\log_3 27, \\[2ex]
3^x=27 \\[2ex]
3^x=3^3 \\[2ex]
x=3 \\[2ex]
10(x)=10(3)=30 \\[2ex]
10\log_3 27 = 30
$$
همانطور که در مثال هم ارزی قبلی دیدید، ویژگیهای توابع \(\log\) به شما امکان می دهند تا ساده سازی هایی را انجام بدهید که با سایر انواع توابع قابل انجام نمی باشند. به عنوان مثال، از آنجا که \(\log_b b=1\) ، شما می توانید \(\log_3 3\) را با \(1\) جایگزین کنید.

نکته: به عنوان مثال، با استفاده از قوانین لگاریتم \(1\) ، لگاریتم پایه، لگاریتم توان، و لگاریتم خارج قسمت (جدول 2-10 را ببینید)، شما می توانید یک عبارت پیچیدۀ لگاریتم را به چیزی ساده مانند \(-2\) تغییر بدهید:
$$
\log_5 \biggl({1\over25}\biggr) = \log_5 1 - \log_5 25 \\[2ex]
=\log_5 1 - \log_5 5^2 \\[2ex]
=\log_5 1 - 2\log_5 5 \\[2ex]
=0-2(1)=-2
$$

یادداشت مترجم: در مثال بالا، در خط اول از ویژگی لگاریتم خارج قسمت (Log of a quotient) استفاده شده است، در خط دوم \(25\) به صورت توانی از \(5\) نوشته شده، در خط سوم از ویژگی لگاریتم توان (Log of a power) استفاده شده، و در خط چهارم (آخر) هم از ویژگی لگاریتم \(1\) (Log of 1) و هم از ویژگی لگاریتم پایه (log of the base) استفاده شده است.

گسترش دادن عبارات با نمادهای لگاریتم


شما با ترکیب تمامی عملیات های معمول جبر شامل جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، توانها، و ریشه ها، عبارات لگاریتمی را می نویسید و توابع لگاریتمی را ایجاد می کنید. عباراتی با دو یا چندتا از این عملیات ها می توانند بسیار پیچیده گردند. با این حال، یکی از مزیتهای بزرگ لگاریتم ها، ویژگیهای آنها می باشد. بدلیل وجود ویژگیهای لگاریتم، شما می توانید ضرب را به جمع و توان را به ضرب، تبدیل کنید. با کنار هم قرار دادنِ تمامی ویژگیهای لگاریتم، شما می توانید یک عبارت پیچیدۀ واحد را به چندین عبارت ساده تر تبدیل کنید.

برای مثال، اگر بخواهید عبارت \(\log_3 \frac{x^3\sqrt{x^2+1}}{(x-2)^7}\) را با استفاده از ویژگیهای لگاریتم ساده سازی کنید، ابتدا از ویژگی لگاریتم خارج قسمت استفاده کنید و سپس بر روی جملۀ اول بدست آمده، از ویژگی لگاریتم یک حاصلضرب استفاده کنید (برای بازنگری این ویژگیها جدول 2-10 را ببینید):
$$
\log_3 \frac{x^3\sqrt{x^2+1}}{(x-2)^7} = \log_3 x^3 \sqrt{x^2+1} - log_3 (x-2)^7 \\[2ex]
=\log_3 x^3 + log_3 \sqrt{x^2+1}-\log_3(x-2)^7
$$
آخرین مرحله اینست که از ویژگی لگاریتم توان بر روی هر جمله استفاده کنید، ابتدا رادیکال را به یک توان کسری تبدیل کنید:
$$
\log_3 x^3+\log_3(x^2+1)^{1\over2}-\log_3(x-2)^7 \\[2ex]
=3\log_3 x+{1\over2}\log_3(x^2+1)-7\log_3(x-2)
$$
هر کدام از این سه جملۀ جدید که ایجاد کرده اید، بسیار ساده تر از کل عبارت می باشند.

بازنویسی برای فشرده سازی


نتایج محاسبات در علم و ریاضیات می توانند شامل مجموع و تفاضل لگاریتم ها باشند. وقتی که این اتفاق می افتد، کارشناسان معمولاً ترجیح می دهند تا تمام پاسخ را در یک جمله بنویسند، که در اینجا ویژگیهای لگاریتم وارد صحنه می شوند. شما این ویژگیها را در جهت معکوس آنها بکار می گیرید. به جای گسترش راه حل، شما باید یک عبارت فشرده، و پیچیده بسازید.

به عنوان مثال، برای ساده سازی عبارت \(4\ln(x+2) - 8\ln(x^2-7)-{1\over2}\ln(x+1)\) ، ابتدا ویژگی لگاریتم طبیعی توان را بر روی هر سه جمله بکار می گیرید. سپس \(-1\) را از دو جملۀ آخر فاکتورگیری می کنید و آنها را داخل یک براکت می نویسید:
$$
\ln(x+2)^4 -\ln(x^2-7)^8-\ln(x+1)^{1\over2} \\[2ex]
=\ln(x+2)^4- \biggl[\ln(x^2-7)^8 + \ln(x+1)^{1\over2}\biggr]
$$
اکنون از ویژگی لگاریتم طبیعی ضرب در داخل براکت استفاده کنید، توان \({1\over2}\) را به رادیکال تبدیل کنید، و از ویژگی لگاریتم طبیعی خارج قسمت برای نگارش همه چیز به شکل یک کسر بزرگ استفاده کنید:
$$
\ln(x+2)^4-\biggl[\ln(x^2-7)^8+\ln(x+1)^{1\over2}\biggr] \\[2ex]
\ln(x+2)^4-\biggl[\ln(x^2-7)^8 (x+1)^{1\over2}\biggr] \\[2ex]
\ln(x+2)^4- \ln(x^2-7)^8 \sqrt{x+1} \\[2ex]
=\ln \frac{(x+2)^4}{(x^2-7)^8 \sqrt{x+1}}
$$
این عبارت شلوغ و پلوغ و پیچیده است، اما یقیناً فشرده است.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.