بیضی ها (Ellipses)

بیضی به عنوان زیباترین و دل انگیزترین مقطع مخروطی در نظر گرفته می شود. بیضی دارای یک شکل زیبای تخم مرغی می باشد که معمولاً در آینه ها، پنجره ها، و اشکال هنری مورد استفاده قرار می گیرد. منظومۀ شمسی ما به نظر می رسد با این موضوع موافق باشد: تمامی سیارات منظورمۀ شمسی یک مسیر بیضوی را گرداگرد خورشید طی می کنند.

تعریف یک بیضی (ellipse) تمامی نقاطی هستند که حاصلجمع فاصلۀ آنها با دو نقطۀ معین در بیضی، یک مقدار ثابت می باشد. این دو نقطۀ معین کانون ها (foci) می باشند، که با $F$ نشان داده می شوند. شکل 9-11 این تعریف را با تصویر نشان می دهد. شما می توانید یک نقطه را بر روی بیضی انتخاب کنید، و دو فاصلۀ بین آن نقطه تا دو کانون بیضی، حاصلجمعشان عددی می شود که با حاصلجمع فاصلۀ هر نقطۀ دیگر بر روی بیضی با این دو کانون یکسان می باشد. در شکل 9-11 فاصله های بین نقطۀ $A$ و دو کانون بیضی عبارت از $3.2$ و $6.8$ می باشند، که حاصلجمعشان $10$ می شود. فاصله های بین نقطۀ $B$ تا این دو کانون عبارت از $5$ و $5$ می شود که مجموع این دو فاصله نیز $10$ می گردد.

استانداردهای یک بیضی

شما می توانید به بیضی به عنوان یک دایرۀ لِه شده فکر کنید. مطمئناً، بیضی ها خیلی بیشتر از این هستند، اما به این دلیل این برچسب را به بیضی زده ایم که معادلۀ استاندارد یک بیضی شباهت مبهمی به معادلۀ یک دایره دارد.

قوانین جبر: معادلۀ استاندارد یک بیضی که مرکز آن در نقطۀ $(h,k)$ می باشد برابر است با:
$$ \frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y+k)^2}{b^2}=1 $$
که در این معادله:

$x$ و $y$ نقاطی بر روی بیضی هستند.
$a$ نیمی از طول بیضی از سمت چپ به راست در عریض ترین قسمت آن می باشد.
$b$ نیمی از فاصلۀ بالا یا پایین در بلندترین نقطۀ بیضی می باشد.

برای اینکه در مسأله های بیضوی موفق باشید، نیاز دارید که اطلاعات بیشتری از صرفاً مرکز بیضی را از معادله استاندارد آن استخراج کنید. شما می خواهید بدانید آیا بیضی کشیده و کم پهنا است یا اینکه بلند و لاغر است. از این سمت تا آن سمت آن چقدر طول دارد، و فاصلۀ بین بالا و پایین آن چقدر است؟ همچنین ممکن است بخواهید مختصات کانون های بیضی را بدانید. شما می توانید تمامی این عناصر را از روی معادلۀ بیضی بدست آورید.

تعیین شکل بیضی

یک بیضی توسط یک محور بزرگتر و یک محور کوچکتر متقاطع می شود. به این محور بزرگتر، محور اطول (major axis) و به این محور کوچکتر، محور اقصر (minor axis) گفته می شود. هر محور، بیضی را به دو نیمه مساوی تقسیم می کند، در محور اطول، بخش ها طویل تر هستند (مانند محور $X$ در شکل 9-11؛ توجه داشته باشید که اگر هیچکدام از محورها بلندتر نباشند، شما با یک دایره مواجه هستید و نه بیضی). محل تقاطع این دو محور، مرکز بیضی می باشد. در دو انتهای محور اطول، رأس های بیضی را خواهید یافت. در شکل 10-11 دو بیضی همراه با محورها و رأس هایشان مشخص شده اند.

یادداشت مترجم: به شخصه ترجیح می دهم به جای کلمات محور اطول و محور اقصر، به ترتیب از کلمات محور بزرگتر و محور کوچکتر استفاده نمایم، اما اشاره به این کلمات از این باب است که پیشتر از ما در مجامع دانشگاهی کشور جا افتاده اند و بارها مورد استفاده قرار گرفته اند.

برای تعیین شکل یک بیضی، شما نیاز دارید تا دو ویژگی را دقیقاً مشخص کنید:

طول محورها: شما می توانید از روی معادلۀ استاندارد بیضی، طول دو محور آن را تعیین کنید. برای این کار جذر اعداد موجود در مخرج کسرها را می گیرید. هر کدام از این مقادیر که بزرگتر باشد، $a^2$ یا $b^2$ ، به شما می گوید که کدامیک محور اطول می باشد. جذر این اعداد نشانگر فاصله های بین مرکز بیضی تا آن نقاط بر روی بیضی در امتداد محور مربوطه می باشند. به عبارت دیگر $a$ نیمی از طول یک محور، و $b$ نیمی از طول محور دیگر می باشد. از این رو، $2a$ و $2b$ طول محورها می باشند.

به عنوان مثال، برای پیدا کردن طول محور اطول و محور اقصر در بیضیِ $\frac{(x-4)^2}{25}+\frac{(y+1)^2}{49}=1$ ، جذر $25$ و $49$ را محاسبه می کنید. جذر عدد بزرگتر یعنی $49$ برابر با $7$ می باشد. دو برابر $7$ می شود $14$، بنابراین طول محور اطول $14$ واحد می باشد. جذر $25$ می شود $5$، و دو برابر $5$ برابر با $10$ می باشد. طول محور اقصر برابر با $10$ واحد می باشد.
تخصیص به محورها: محل قرارگیری محورها با ارزش می باشند. مخرجی که زیر $x$ قرار می گیرد، نشان می دهد که آن محور به صورت موازی با محور $X$ قرار می گیرد. در مثال پیشین، $25$ زیر $x$ قرار گرفته بود، بنابراین محور اقصر به صورت افقی قرار دارد. مخرجی که زیر فاکتور $y$ قرار گرفته است، محوری است که موازی با محور $Y$ قرار دارد. در مثال قبلی، $49$ زیر $y$ قرار دارد، بنابراین محور اطول، به صورت موازی با محور $Y$ ، رو به بالا و پایین قرار دارد. این بیضی بلند و باریک می باشد.

پیدا کردن کانون های بیضی

یادتان باشد: شما می توانید دو کانون یک بیضی را با استفاده از اطلاعات بدست آمده از معادلۀ استاندارد آن، پیدا کنید. برای شروع، کانون ها همیشه بر روی محور اطول قرار می گیرند. آنها در فاصلۀ $c$ واحد از مرکز بیضی قرار دارند. برای پیدا کردن مقدار $c$، شما از بخشهایی از معادلۀ بیضی استفاده می کنید تا معادلۀ $c^2=a^2-b^2$ یا $c^2=b^2-a^2$ را، بسته به اینکه $a^2$ یا $b^2$ کدامشان بزرگترند، شکل دهید. مقدار $c^2$ الزاماً باید مثبت باشد.

به عنوان مثال، در بیضیِ $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ ، محور اطول این بیضی موازی با محور $X$ قرار دارد. در واقع، محور اطول، محور $X$ می باشد، زیرا مرکز بیضی در مبدأ مختصات قرار دارد. شما این را از روی فقدان $h$ و $k$ در معادله می دانید (در اصل، هر دوی آنها صفر هستند). شما با حل کردن معادلۀ کانون ها، می توانید کانون های این بیضی را پیدا کنید:
$$
c^2=a^2-b^2 \\[2ex]
c^2=25-9 \\[2ex]
c^2=16 \\[2ex]
c=\pm \sqrt{16}=\pm 4 \\[2ex]
$$
بنابراین، کانون ها در $4$ واحدی هر دو سمت مرکز بیضی قرار دارند. در این مورد، مختصات کانون ها عبارت از $(-4,0)$ و $(4,0)$ می باشند. شکل 11-11 نمودار این بیضی را که روی آن کانون هایش مشخص شده اند، نشان می دهد.

همچنین، برای بیضی این مثال، طول محور اطول $10$ واحد می باشد، که از نقطۀ $(-5,0)$ آغاز می شود و تا نقطۀ $(5,0)$ امتداد می یابد. این دو نقطه رأس های بیضی می باشند. طول محور اقصر $6$ واحد می باشد، که از نقطۀ $(0,3)$ رو به سمت پایین و تا $(0,-3)$ امتداد دارد.

هنگامیکه مرکز بیضی در مبدأ مختصات نباشد، کانون ها را به روش مشابهی می یابید. مرکز بیضیِ $\frac{(x+1)^2}{625}+\frac{(y-3)^2}{49}=1$ در نقطۀ $(-1,3)$ می باشد. شما کانون های این بیضی را با حل کردن $c^2=a^2-b^2$ بدست می آورید. در این مورد داریم، $c^2=25^2-7^2=625-49=576$ . مقدار $c$ یا $24$ (یعنی ریشۀ $576$) و یا $-24$ نسبت به مرکز بیضی می باشد، بنابراین کانون ها عبارت از $(23,3)$ و $(-25,3)$ می باشند. طول محور اطول برابر با $2(25)=50$ واحد، و طول محور اقصر برابر با $2(7)=14$ واحد می باشد. اعداد $25$ و $7$ به ترتیب از جذر $625$ و $49$ حاصل شده اند. و رأس ها (نقاط پایانی محور اطول) در نقاط $(24,3)$ و $(-26,3)$ قرار دارند.

ترسیم یک مسیر بیضوی

آیا تاکنون در یک تالار آکوستیک بوده اید؟ من در مورد یک اتاق یا یک سالن کنفرانس صحبت می کنم که شما می توانید در یک نقطه بایستید و پیامی را زمزمه کنید، و شخص دیگری که در فاصلۀ بسیار دوری از شما قرار دارد، بتواند آن پیام را بشنود. این پدیده قبل از روزهایی که میکروفن های مخفی وجود داشته باشند، بسیار چشمگیرتر بود، و منجر می شد تا ما در مورد چگونگی کارکرد آن به شک و تردید بیفتیم. به هر حال، در اینجا اصول جبری پشت یک تالار آکوستیک را خواهید دید. شما در یک کانون از یک بیضی می ایستید، و شخص دیگر بر روی کانون دیگر بیضی می ایستد. امواج صدا از یک کانون از طریق کف یا سقف تالار انعکاس پیدا می کنند و به سمت کانون دیگر می روند.

فرض کنید با مسأله ای در یک آزمون روبرو شده اید که از شما می خواهد تا بیضی مرتبط به یک تالار آکوستیک را ترسیم کنید که دارای کانون هایی با فاصلۀ $240$ فوت (feet) از یکدیگر می باشند و طول محور اطول (طول محل) $260$ فوت می باشد. اولین کار شما اینست که معادلۀ این بیضی را بسازید.

کانون ها $240$ فوت با هم فاصله دارند، بنابراین هر کدام از آنها در فاصلۀ 120 فوتی از مرکز بیضی قرار دارد. طول محور اطول برابر با $260$ فوت می باشد، بنابراین هر کدام از رأس ها $130$ فوت از مرکز بیضی فاصله دارند. با استفاده از معادلۀ $c^2=a^2-b^2$ خواهید داشت $120^2=130^2-b^2$ یا $b^2=50^2$ . این معادله ارتباط بین $c$، یعنی فاصلۀ یک کانون تا مرکز بیضی، و $a$ ، یعنی فاصلۀ بین مرکز و انتهای محور اطول، و $b$، یعنی فاصلۀ بین مرکز تا انتهای محور اقصر، را به شما نشان می دهد. با مجهز شدن به مقادیر $a^2$ و $b^2$ ، شما می توانید معادلۀ این بیضی را که نشان دهندۀ انحنای سقف می باشد، بنویسید: $\frac{x^2}{130^2}+\frac{y^2}{50^2}=1$ .

برای ترسیم نمودار این بیضی، ابتدا مرکز را در نقطۀ $(0,0)$ قرار می دهید. از مرکز بیضی $130$ واحد رو به سمت راست و همینطور سمت چپ شمارش می کنید و رأس ها را نشانه گذاری می کنید، و سپس از مرکز $50$ واحد رو به سمت بالا و همینطور رو به سمت پایین، شمارش می کنید، تا دو انتهای محور اقصر را نیز نشانه گذاری کنید. شما می توانید با استفاده از این نقاط پایانی این بیضی را ترسیم کنید. شکل 12-11 این نقاط توصیف شده و این بیضی را به شما نشان می دهد. همچنین کانون ها را نیز نشان می دهد، جایی که دو نفر می توانند در تالار آکوستیک بر روی آنها قرار بگیرند.