هذلولی ها (Hyperbolas)

هذلولی (hyperbola) یک مقطع مخروطی می باشد که به نظر می رسد مشغول جنگ با خودش باشد. هذلولی دو منحنی (یا شاخۀ) کاملاً جدا از هم را نشان می دهد، که از هم روی برگردانده اند اما در دو سمت یک خط که در نیمۀ راه بین این دو منحنی قرار دارد، تصویر آینه شدۀ یکدیگر می باشند.

یک هذلولی به این شکل تعریف می شود که تمامی نقاط آن به نحوی هستند که تفاضل فاصلۀ هر کدام از آنها از دو نقطۀ ثابت (که کانون ها نامیده می شوند) یک مقدار ثابت را دارا می باشد. بعبارت دیگر، شما مقداری را انتخاب می کنید، همچون عدد $6$؛ سپس دو فاصله را که تفاضل آنها $6$ باشد، می یابید، مانند $10$ و $4$؛ سپس نقطه ای را می یابید که از یکی از این نقاط $10$ واحد و از نقطۀ دیگر $4$ واحد فاصله داشته باشد. هذلولی دو محور دارد، درست مثل بیضی که آنهم دو محور دارد. محورهای هذلولی که از میان دو کانون آن عبور می کنند محور قاطع (transverse axis) نامیده می شوند. محوری دیگر، یعنی محور مزدوج (conjugate axis)، بر روی محور قاطع عمود می باشد، و از مرکز هذلولی عبور می کند، و به عنوان یک خط آینه برای دو شاخه هذلولی عمل می کند.

شکل 13-11 دو هذلولی را همراه با محورهایشان و کانون هایشان نشان می دهد. بخش a از شکل 13-11 فواصل $P$ و $q$ را نشان می دهد. تفاضل بین این دو فاصله با کانون ها یک مقدار ثابت می باشد (تفاوتی نمی کند که کدام نقطه را بر روی هذلولی انتخاب کنید، این مقدار ثابت همواره برقرار است).

قوانین جبر: برای هذلولی ها دو معادلۀ اصلی وجود دارد. یکی از این معادلات برای وقتی است که هذلولی رو به سمت چپ و راست باز می شود: $\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ . از معادلۀ دیگر وقتیکه هذلولی رو به سمت بالا یا پایین باز می شود، استفاده می کنید: $\frac{(y-k)^2}{b^2}-\frac{(x-h)^2}{a^2}=1$ . در هر دو مورد، مرکز هذلولی در $(h,k)$ می باشد، و کانون ها $c$ واحد از مرکز فاصله دارند، و رابطۀ $b^2=c^2-a^2$ ارتباط بین بخشهای مختلف معادله را نشان می دهد. به عنوان مثال، $\frac{(x-4)^2}{25}-\frac{(y+5)^2}{144}=1$ معادلۀ یک هذلولی است که مرکز آن در نقطۀ $(4,-5)$ قرار دارد.

شامل کردن خط های مجانب

نکته: یک ابزار بسیار سودمند که می توانید از آن برای ترسیم نمودار هذلولی استفاده کنید، اینست که ابتدا به نرمی دو خط مجانب مورب هذلولی را بکشید. خط های مجانب بخش هایی واقعی از نمودار نمی باشند؛ آنها صرفاً به شما کمک می کنند تا شکل و جهت منحنی ها را مشخص سازید. خط های مجانب یک هذلولی، در مرکز آن هذلولی یکدیگر را قطع می کنند. شما با جایگزین کردن صفر به جای یک در معادلۀ یک هذلولی، و سپس ساده سازی نتایج آن معادله به معادلۀ دو خط، می توانید به معادلۀ خط های مجانب آن دست پیدا کنید.

به عنوان مثال، اگر بخواهید معادلۀ خط های مجانب از هذلولیِ $\frac{(x-3)^2}{9}-\frac{(y+4)^2}{16}=1$ را بیابید، یک را به صفر تغییر می دهید، دو کسر را برابر با یکدیگر قرار می دهید، و جذر هر دو سمت را بدست می آورید:
$$
\frac{(x-3)^2}{9}-\frac{(y+4)^2}{16}=0 \\[2ex]
\frac{(x-3)^2}{9}=\frac{(y+4)^2}{16} \\[2ex]
\sqrt{\frac{(x-3)^2}{9}}=\pm \sqrt{\frac{(y+4)^2}{16}} \\[2ex]
\frac{x-3}{3}=\pm \frac{y+4}{4}
$$
اکنون هر سمت را بر $4$ ضرب می کنید تا به معادلۀ خط های مجانب در شکل بهتری برسید:
$$
4 \biggl(\frac{x-3}{3}\biggr)=\pm \biggl(\frac{y+4}{4}\biggr) 4 \\[2ex]
{4\over3}(x-3)=\pm (y+4) \\[2ex]
$$
این دو مورد را در نظر بگیرید ـــ یکی از آنها از علامت مثبت و دیگری از علامت منفی استفاده می کند:
$$
\begin{array}{ c c c}
{4\over3}(x-3)=+(y+4) & \text{ or } & {4\over3}(x-3)=-(y+4) \\[2ex]
{4\over3}x-4=y+4 & \text{ or } & {4\over3}x-4=-y-4 \\[2ex]
{4\over3}x-8=y & \text{ or } & {4\over3}x=-y \\[2ex]
& \text{ or } & -{4\over3}x=y
\end{array}
$$
دو خط مجانبی که شما یافته اید عبارت از $y={4\over3}x-8$ و $y=-{4\over3}x$ می باشند، شما می توانید آنها را در شکل 14-11 ببینید. توجه داشته باشید که شیب این خطها معکوس یکدیگر می باشند. (برای یک یادآوری در مورد ترسیم نمودار خطها می توانید فصل 2 را بازنگری کنید.)

ترسیم نمودار هذلولی ها

اگر شما اطلاعات مورد نیاز را از معادلات بدست آورید، ترسیم نمودار هذلولی ها نسبتاً آسان می باشد. برای ترسیم نمودار یک هذلولی، از مراحل زیر به عنوان دستورالعمل ها استفاده کنید:

با توجه کردن به این نکته که آیا جملۀ $x$ در ابتدا آمده است یا اینکه جملۀ دوم می باشد، تعیین کنید آیا هذلولی رو به سمت راست و چپ و یا رو به سمت بالا و پایین باز شده است.
اگر جملۀ $x$ در ابتدا آمده باشد به این معناست که هذلولی رو به سمت راست و چپ باز می شود.
با نگاه کردن به مقادیر $h$ و $k$ ، مرکز هذلولی را بیابید.
به نرمی یک مستطیل بکشید که عرض آن دو برابر جذر عدد موجود در مخرج جملۀ $x$ باشد، و ارتفاع آن دو برابر جذر عدد موجود در مخرج جملۀ $y$ باشد.
مرکز این مستطیل، مرکز هذلولی می باشد.
به نرمی خط های مجانب را از درون رأس های این مستطیل ترسیم کنید.
هذلولی را ترسیم کنید، مطمئن شوید که نقطۀ میانی اضلاع این مستطیل را لمس کند.

شما می توانید از این مراحل برای ترسیم نمودار هذلولیِ $\frac{(x+2)^2}{9}-\frac{(y-3)^2}{16}=1$ استفاده کنید. ابتدا، توجه داشته باشید که این معادله رو به سمت راست و چپ باز می شود، زیرا مقدار $x$ اول آمده است. مرکز این هذلولی در $(-2,3)$ می باشد.

حالا نوبت مستطیل اسرار آمیز می رسد. در بخش a از شکل 15-11، شما می بینید که مرکز در نقطۀ $(-2,3)$ قرار گرفته است. شما $3$ واحد از آنجا رو به سمت راست و چپ شمارش می کنید (مجموعاً $6$ واحد)، زیرا دو برابر جذر $9$ برابر با $6$ می باشد. حالا از مرکز $4$ واحد رو به سمت بالا و پایین شمارش کنید، زیرا دوبرابر جذر $16$ می شود $8$. در بخش b از شکل 15-11 یک مستطیل با عرض $6$ واحد و ارتفاع $8$ واحد نشان داده شده است.

وقتیکه این مستطیل در نمودار جای گرفت، خط های مجانب هذلولی را به صورت مورب از میان رأس ها (گوشه های) مستطیل ترسیم می کنید. بخش a از شکل 16-11 خط های مجانب را که ترسیم شده اند به شما نشان می دهد. معادلۀ این خط های مجانب عبارتند از $y={4\over3}x+{17\over3}$ و $y=-{4\over3}x+{1\over3}$ .
توجه: هنگامی که هدف شما صرفاً ترسیم نمودار هذلولی باشد، معمولاً به معادلۀ خط های مجانب آن، نیازی ندارید.

در پایان، وقتیکه خط های مجانب در محل خودشان قرار گرفتند، شما هذلولی را ترسیم می کنید، مطمئن شوید که هذلولی شما اضلاع مستطیل را در نقطۀ میانی آنها لمس کنند و همینطور که منحنی ها از مرکز دورتر می شوند، به آهستگی به خط های مجانب، نزدیک و نزدیکتر گردند. شما می توانید نمودار کامل این هذلولی را در بخش b از شکل 16-11 ببینید.