وقتیکه معادلۀ چهار مقطع مخروطی را در شکل استاندارد آنها بنویسید، بیشتر اوقات می توانید به سادگی بگویید که کدام نوع از مخروطی ها را دارید.

• یک سهمی (parabola) فقط یک متغیر مربع دارد.
  $$ y^2=4ax \text{ or } x^2=4ay $$
  
• یک دایره (circle) کسری ندارد:
  $$ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 $$
  
• یک بیضی (ellipse) مجموع دو جملۀ متغیر را دارد:
  $$ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2}=1 $$
  
• یک هذلولی (hyperbola) تفاضل بین دو جملۀ متغیر را دارد:
  $$ \frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1 \text{ or } \frac{(y-k)^2}{b^2}-\frac{(x-h)^2}{a^2}=1 $$
  

با این وجود، گاهی اوقات، معادله ای که به شما داده شده است در شکل استاندارد نمی باشد. باید با استفاده از روش کامل کردن مربع و یا هر روش دیگری که لازم باشد، تغییر کند. بنابراین در این وضعیت، چگونه می توانید صرفاً با نگاه کردن به معادلۀ مربوطه، بگویید که مربوط به کدام نوع مخروطی می باشد؟

تمامی معادلات بالا را در شکل \(Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0\) در نظر بگیرید. در اینجا شما جملاتی مربع و جملاتی درجۀ اول، از هر دو متغیر \(x\) و \(y\) دارید. با دقت در اینکه \(A\) ، \(B\) ، \(C\) ، و \(D\) چه هستند، می توانید تعیین کنید که نوع مخروطی چه می باشد.


از این قوانین استفاده کنید تا تعیین نمایید در هر کدام از معادلات زیر، چه نوع مخروطی دارید:

• \(9x^2+4y^2-72x-24y+144=0\) یک بیضی می باشد، زیرا \(A \ne B\) ، و \(A\) و \(B\) هر دو مثبت می باشند. در واقع، شکل استاندارد این معادله (که با روش کامل کردن مربع به آن می رسید) برابر با \(\frac{(x-4)^2}{4}+\frac{(y-3)^2}{9}=1\) می باشد.
  
  
• \(2x^2+2y^2+12x-20+24=0\) یک دایره می باشد، زیرا \(A=B\). شکل استاندارد این معادله برابر با \((x+3)^2+(y-5)^2=22\) می باشد.
  
  
• \(9y^2-8x^2-18y-16x-71=0\) یک هذلولی می باشد، زیرا \(A\) و \(B\) دارای علامتهای متضاد می باشند. شکل استاندارد معادلۀ این هذلولی برابر با \(\frac{(y-1)^2}{8}-\frac{(x+1)^2}{9}=1\) می باشد.
  
  
• \(x^2+8x-6y+10=0\) یک سهمی (شلجمی) می باشد. در این معادله شما فقط یک جملۀ \(x^2\) می بینید ـــ تنها متغیری که به توان دوم رسیده است. شکل استاندارد این سهمی برابر با \((x+4)^2=6(y+1)\) می باشد.