برای حل کردن یک دستگاه دارای دو معادلۀ خطی (که پاسخهای آن اعداد صحیح می باشند)، می توانید نمودار هر دو معادله را در محورهای \(X\) و \(Y\) یکسانی ترسیم کنید. (برای یادآوری در مورد چگونگی ترسیم نمودار خطها می توانید فصل 5 را بازنگری کنید.) با ترسیم نمودارها بر روی کاغذ، یکی از این سه چیز را خواهید دید ـــ خطهای متقاطع (یک پاسخ)، خطهای یکسان (بی نهایت پاسخ)، یا خطهای موازی (بدون پاسخ).

تعیین دقیق محل تقاطع

خطها از تعداد بسیار زیادی نقطه تشکیل شده اند. هنگامیکه دو خط از یکدیگر عبور می کنند، فقط یکی از آن نقاط را به اشتراک می گذارند. ترسیم نمودار دو خط متقاطع به شما امکان می دهد تا آن نقطۀ خاص را با مشاهدۀ محل تقاطع دو خط بر رو نمودار، تعیین کنید. شما نیاز خواهید داشت تا خیلی با دقت کار ترسیم نمودار را انجام بدهید، از یک مداد نوک تیز و یک خط کش بدون هیچ پستی و بلندی، استفاده کنید. نتایج ترسیم نمودار بسیار لذت بخش خواهند بود.

به عنوان مثال، دستگاه خطیِ سر راستِ زیر را در نظر بگیرید:
$$
\begin{cases}
2x+3y=12 \\[2ex]
x-y=11
\end{cases}
$$
یک روش سریع برای ترسیم این خطها اینست که تقاطع های آنها را بیابید ـــ جایی که از محورها عبور می کنند. در معادلۀ اول، اگر \(x=0\) باشد، و آن را برای بدست آوردن \(y\) حل کنید، به \(y=4\) می رسید، بنابراین عرض از مبدأ برابر با \((0,4)\) می باشد؛ در همان معادله اگر \(y=0\) باشد، به \(x=6\) می رسید، بنابراین طول از مبدأ برابر با \((6,0)\) خواهد بود. این دو نقطه را روی نمودار قرار دهید و خطی را از میان آنها ترسیم کنید. کار مشابهی را در مورد معادلۀ دیگر یعنی \(x-y=11\) ، نیز انجام دهید؛ تقاطع های \((0,-11)\) و \((11,0)\) را خواهید یافت. شکل 1-12 نمودار این دو خط را با استفاده از تقاطع هایشان، نشان می دهد.


این دو خط در نقطۀ \((9,-2)\) یکدیگر را قطع می کنند. با شمارش شبکه های موجود بر روی نمودار این نقاط را تعیین می کنید. این روش به شما نشان می دهد که ترسیم دقیق نمودار خطها چقدر حائز اهمیت می باشد!

نقطۀ \((9,-2)\) به عنوان پاسخ این دستگاه، دقیقاً به چه معنا می باشد؟ بدین معنا می باشد که اگر \(x=9\) و \(y=-2\) باشد، هر دو معادلۀ موجود در دستگاه، گزاره هایی صحیح خواهند بود. سعی کنید تا این مقادیر را بکار گیرید. آنها را در معادلۀ اول قرار دهید:
$$
2(9) + 3(–2) = 12 \\
18 – 6 = 12 \\
12 = 12
$$
در معادلۀ دوم:
$$
9 – (–2) = 11\\
9 + 2 = 11\\
11 = 11
$$
پاسخ \(x=9\) و \(y=-2\) تنها پاسخهایی هستند که در هر دوی این معادلات بدرستی کار خواهند کرد.

وجود بی نهایت پاسخ برای یک دستگاه معادلۀ خطی

یک وضعیت خاص که در دستگاه های معادلات خطی رخ می دهد اینست که به نظر می رسد هر چیزی کار می کند. هر نقطه ای را که برای یک معادله بیابید، برای معادلۀ دیگر نیز بدرستی کار می کند. این سناریوی تطابق همه چیز، زمانی اتفاق می افتد که معادلات در واقع روش های مختلفی برای توصیف یک خط مشابه باشند.


برای مثال، دستگاه معادلات زیر را در نظر بگیرید:
$$
\begin{cases}
x+3y=7 \\[2ex]
2x+6y=14
\end{cases}
$$

شما می توانید بگویید که معادلۀ دوم دوبرابر اولی می باشد. با این حال، گاهی اوقات، این همسان بودن وقتیکه معادلات در شکلهای مختلفی ظاهر می شوند، تغییر قیافه می دهد. در اینجا همان دستگاه مثال قبلی را داریم، فقط در اینجا، معادلۀ دوم در شکل شیب-تقاطع (slope-intercept) نوشته شده است:
$$
\begin{cases}
x+3y=7 \\[2ex]
y=-{1\over3}x+{7\over3}
\end{cases}
$$
در اینجا همسان بودن، بدیهی نیست، اما وقتیکه نمودار این دو معادله را ترسیم کنید، نمی توانید یک نمودار را از نمودار دیگر متمایز کنید، زیرا هر دوی آنها خط یکسانی می باشند (برای یادآوری در مورد چگونگی ترسیم نمودار خطها می توانید فصل 5 را مورد بازنگری قرار دهید).

برخورد با خطهای موازی

خطهای موازی هرگز یکدیگر را قطع نمی کنند و هرگز چیزی را با یکدیگر به اشتراک نمی گذارند، به استثناء جهت حرکتشان (به عبارتی شیب آنها؛ برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد شیب خط، فصل 5 را بازنگری کنید). بنابراین، وقتیکه دستگاه های معادلات خطی را حل می کنید که هیچ پاسخی ندارند، فوراً خواهید دانست که خطهای ارائه شده در معادلات آن دستگاه با یکدیگر موازی می باشند.

به عنوان مثال، دستگاه زیر هیچ پاسخی ندارد:
$$
\begin{cases}
x+2y=8 \\[2ex]
3x+6y=7
\end{cases}
$$
هنگامی که نمودار این دو خط را ترسیم می کنید ـــ که طول از مبدأ هایشان در \(({7\over3},0)\) و \((8,0)\) و عرض از مبدأهایشان در \((0,{7\over6})\) و \((0,4)\) می باشند ـــ خواهید دید که آنها هرگز همدیگر را لمس نخواهند کرد، حتی اگر این نمودار را برای همیشه و تا ابد ادامه بدهید. شکل 2-12 به شما نشان می دهد، این خطها چه گونه هستند.