حل کردن دستگاه معادلات خطی با روش حذف

با وجود اینکه حل کردن دستگاه معادلات خطی با روش ترسیم نمودار، سرشار از سرگرمی می باشد، روش ترسیم نمودار یک اشکال بزرگ دارد: پیدا کردن پاسخهایی که اعداد صحیح نمی باشند، تقریباً غیرممکن است. همچنین روش ترسیم نمودار زمان بر است و نیاز به دقت فراوان دارد. روش هایی که ریاضیدانان برای حل کردن دستگاه های معادلات خطی ترجیح می دهند، شامل استفاده از جبر می باشد. دو روش بیشتر ترجیح داده شده و رایج، برای حل کردن دستگاه معادلات خطی شامل روش حذف (elimination) و روش جایگذاری (Substitution) می باشند. در این آموزش به روش حذف می پردازیم و سایر روشها را نیز در ادامۀ همین فصل بررسی می کنیم. تشخیص اینکه باید از کدام روش استفاده کنید، بستگی به شکل آغازین معادلات و البته ترجیح شخصی شما دارد.

یادتان باشد: روش حذف (elimination)، همچنین با اسامی ترکیب خطی (linear combination) و جمع/تفریق (add/subtract) نیز شناسایی می شود. کلمۀ حذف، کاری را که دقیقاً در این روش انجام می شود، توصیف می کند، اما کلمۀ جمع/تفریق چگونگی انجام این کار را بازگو می کند.

رسیدن به نقطۀ حذف

برای پیش بُردن روش حذف، شما نیاز دارید تا آن دو معادله را با یکدیگر جمع بزنید، یا یکی از آنها را از دیگری تفریق کنید، و یکی از متغیرها را حذف کنید تا از شر آن خلاص گردید. گاهی اوقات شما مجبور می شوید قبل از اینکه عملیات جمع یا تفریق معادله ها را انجام بدهید، یک یا هر دو معادله را بر عددی که با دقت انتخاب شده است ضرب کنید.

به عنوان مثال، دستگاه معادلات زیر را در نظر بگیرید:
$$
\begin{cases}
3x-5y=2 \\[2ex]
2x+5y=18
\end{cases}
$$
در این دستگاه معادلات، شما می توانید با جمع کردن دو معادله با یکدیگر متغیر $y$ را حذف کنید. دو جملۀ $y$ در این دو معادله، معکوس یکدیگر می باشند. عبارت حاصل از جمع زدن این دو معادله برابر با $5x=20$ می باشد. با تقسیم کردن هر سمت از این معادله بر $5$ ، به $x=4$ می رسید. هنگامیکه $x=4$ را در معادلۀ اول قرار می دهید، به $3(4)-5y=2$ می رسید. با حل کردن این معادله برای $y$ به $y=2$ می رسید. بنابراین، پاسخ این دستگاه $x=4, y=2$ می باشد. اگر نمودار این دو خط متناظر با این دو معادله را ترسیم کنید، خواهید دید که آنها در نقطۀ $(4,2)$ یکدیگر را قطع می کنند.

نکته: شما همواره باید پاسخها را درست آزمایی کنید تا مطمئن شوید به پاسخهای صحیحی رسیده اید. یک روش برای درست آزمایی مثال قبل، اینست که مقادیر $x$ و $y$ را در معادلۀ دوم با $4$ و $2$ جایگذاری کنید (معادله ای که از آن برای حل کردن متغیر دوم استفاده نکرده اید) تا ببینید آیا گزاره مربوطه صحیح می باشد. با جایگزین کردن متغیرها خواهید داشت:
$$
2(4) + 5(2) = 18\\
8 + 10 = 18\\
18 = 18
$$
همانطور که می بینید به درستی کار می کند!

دستگاه معادلات زیر را در نظر بگیرید:
$$
\begin{cases}
3x-2y=17 \\[2ex]
2x-5y=26
\end{cases}
$$
در این دستگاه معادلات قبل از آنکه دو معادله را با هم جمع یا تفریق کنید، نیاز به اندکی تنظیمات دارید. اگر این دو معادله را در شکل فعلی شان با یکدیگر جمع بزنید، به معادله دیگری می رسید: $5x-7y=43$ . شما یک معادلۀ کاملاً زیبا را ساخته اید، و پاسخ آن نیز با دو معادلۀ قبل یکسان می باشد، اما این معادلۀ سوم در پیدا کردن پاسخ دستگاه، کمکی به شما نمی کند. قبل از اینکه جمع یا تفریق کنید، نیاز دارید تا مطمئن شوید یکی از این متغیرها در این دو معادله، باید با همتایش در معادلۀ دیگر یکسان یا متضاد آن باشد؛ در این صورت، وقتیکه معادلات را جمع یا تفریق می کنید، آن متغیر حذف خواهد شد.

شما چندین گزینۀ مختلف برای انتخاب دارید تا معادلات موجود در این مثال را برای حذف کردن متغیرها آماده سازید:

شما می توانید اولین معادله را در $2$ ، و دومین معادله را در $3$ ضرب کنید و سپس معادلات را تفریق کنید تا متغیرهای $x$ حذف گردند.
شما می توانید اولین معادله را در $2$ ، و دومین معادله را در $-3$ ضرب کنید و سپس معادلات را جمع کنید تا متغیرهای $x$ حذف گردند.
شما می توانید اولین معادله را در $5$ ، و دومین معادله را در $2$ ضرب کنید و سپس معادلات را تفریق کنید تا متغیرهای $y$ حذف گردند.
شما می توانید اولین معادله را در $5$ ، و دومین معادله را در $-2$ ضرب کنید و سپس معادلات را جمع کنید تا متغیرهای $y$ حذف گردند.

یادتان باشد: هنگامی که با ضرب کردن سراسر یک معادله در یک عدد منفی مواجه می شوید، مطمئن شوید که هر جمله در آن معادله را در علامت منفی ضرب کرده اید؛ علامت هر کدام از جملات تغییر خواهد کرد.

اگر در مثال قبلی انتخاب شما این باشد که با ضرب کردن معادلۀ اول در $2$ و معادلۀ دوم در $-3$ قصد حل کردن دستگاه را دارید، نسخۀ جدیدی از دستگاه را به شرح زیر بدست خواهید آورد:
$$
\begin{cases}
6x-4y=34 \\[2ex]
-6x+15y=-78
\end{cases}
$$
با جمع کردن این دو معادله با یکدیگر، به $11y=-44$ می رسید، متغیرهای $x$ حذف می شوند. با تقسیم کردن هر سمت از این معادلۀ جدید بر $11$ ، به $y=-4$ می رسید. این مقدار را در معادلۀ اصلی اول جایگزین کنید.

نکته: همیشه به معادلات اصلی باز گردید تا آنها را برای سایر متغیرها حل کنید یا کارتان را درست آزمایی نمایید. با این روش، شانس بیشتری برای به دام انداختن خطاها خواهید داشت.

با جایگزینی $-4$ به جای متغیر $y$ ، به $3x-2(-4)=17$ می رسید. با حل کردن آن برای $x$ به $x=3$ می رسید. اکنون با قرار دادن $3$ و $-4$ در معادلۀ اصلی دوم، پاسخهای بدست آمده را درست آزمایی کنید. با جایگزینی این مقادیر به نتایج زیر می رسید:
$$
2(3) – 5(–4) = 26 \\
6 + 20 = 26 \\
26 = 26
$$
درست آزمایی با موفقیت انجام شد! پاسخ این دستگاه $(3,-4)$ می باشد.

تشخیص پاسخها برای خطهای موازی و خطهای یکسان

هنگامی که نمودار دستگاه های معادلات خطی را ترسیم می کنید، اگر دستگاهی خطهای موازی تولید کند یا دارای معادلاتی باشد که خط یکسانی را ارائه کنند، تشخیص این موارد از روی نمودار، تقریباً واضح می باشد. با این وجود، از لحاظ جبری شما نیازی ندارید تا برای تشخیص این وضعیت ها نمودار خطها را ترسیم کنید؛ شما صرفاً باید بدانید، دنبال چه چیزی باشید.

به عنوان مثال، هنگامی که دستگاه زیر را حل می کنید، معادلۀ دوم را در $-1$ ضرب می کنید و سپس معادلات را با یکدیگر جمع می زنید. نتیجۀ بدست آمده $0=5$ می باشد. این زیاد خوب نیست. این گزارۀ غلط سیگنالی به شما می دهد که این دستگاه دارای پاسخی نمی باشد و خطها موازی هستند.
$$
\begin{cases}
3x+5y=12 \\[2ex]
3x+5y=7
\end{cases}
$$
$$
\begin{array}{c}
3x+5y=12 \\[2ex]
-3x-5y=-7 \\[2ex]
\hline
0+0=5
\end{array}
$$
در مقابل، هنگامی که دو معادله داشته باشید که هر دوی آنها اشاره به خط یکسانی داشته باشند و آن معادلات را با روش حذف با یکدیگر جمع بزنید، به معادله ای خواهید رسید که همواره صحیح می باشد، مانند $0=0$ یا $5=5$ .

آموزش قبلی صفحۀ اصلی دوره آموزش بعدی