حل کردن دستگاه معادلات خطی با روش جایگذاری

روش دیگری که برای حل کردن دستگاه معادلات خطی مورد استفاده قرار می گیرد، جایگذاری (substitution) نام دارد که به آن روش جانشینی نیز گفته می شود. برخی از افراد ترجیح می دهند تا بیشتر اوقات از این روش استفاده کنند، زیرا برای حل کردن معادلات دارای توان بالاتر نیاز به استفاده از آن دارید؛ با این روش، شما صرفاً نیاز به مهارت پیدا کردن در یک روش خواهید داشت. جانشینی در جبر، گاهی اوقات شبیه جانشینی بازیکن در مسابقات ورزشی می باشد ـــ شما بازیکنی را با تعویض کردن جانشین بازیکن دیگری می کنید که بتواند در آن موقعیت خاص بازی کند و انتظار نتایج بهتری را دارید. در جبر هم انتظار شما از جانشینی همین است؟ یک اشکال روش جایگذاری اینست که ممکن است مجبور شوید با کسرها کار کنید، که در روش حذف (elimination) می توانید از آن صرفنظر کنید. انتخاب اینکه برای حل کردن دستگاه معادلات خطی از روش حذف یا از روش جایگذاری استفاده کنید، اغلب یک انتخاب شخصی می باشد.

روش جایگذاری

اجرای جایگذاری در دستگاهی متشکل از دو معادلۀ خطی یک فرآیند دو مرحله ای می باشد:

یکی از معادلات را برای بدست آوردن یکی از متغیرها، $x$ یا $y$ ، حل کنید.
مقدار آن متغیر را در معادلۀ دیگر جایگذاری کنید.

به عنوان مثال، دستگاه زیر را در نظر بگیرید:
$$
\begin{cases}
2x-y=1 \\[2ex]
3x-2y=8
\end{cases}
$$
جهت حل کردن این دستگاه، با روش جایگذاری، ابتدا به دنبال متغیری می گردید که می توانید آن را به عنوان کاندیدای احتمالی مرحلۀ اول گلچین کنید. به عبارت دیگر، می خواهید معادله را برای بدست آوردن آن متغیر حل کنید.

نکته: قبل از جایگذاری، بدنبال متغیری با ضریب $1$ یا $-1$ بگردید تا از آن برای حل کردن یکی از معادلات استفاده کنید. با چسبیدن به جملاتی که دارای ضریبهای $1$ یا $-1$ می باشند، از جایگذاری کسرها در سایر معادلات اجتناب می کنید. گاهی اوقات هم اجتناب از کسرها غیر ممکن می شود؛ در آن موارد، شما باید جمله ای را انتخاب کنید که دارای کوچکترین ضریب ممکن باشد، تا کسرها زیاد بدهیکل نشوند.

در معادلۀ مثال قبل، جملۀ $y$ در معادلۀ اول دارای ضریبی از $-1$ می باشد، بنابراین شما باید این معادله را برای بدست آوردن $y$ حل کنید (آن را طوری بازنویسی کنید که $y$ در یک سمت معادله منزوی گردد). به نتیجۀ $y=2x-1$ خواهید رسید. حالا می توانید $2x-1$ را به جای $y$ در معادلۀ دیگر جایگزین کنید:
$$
3x-2y=8 \\[2ex]
3x-2(2x-1)=8 \\[2ex]
3x-4x+2=8 \\[2ex]
-x=6 \\[2ex]
x=-6
$$
شما قبلاً معادلۀ $y=2x-1$ را ایجاد کرده اید، بنابراین می توانید مقدار $x=-6$ را در آن معادله جایگذاری کنید تا به $y$ برسید: $y=2(-6)-1=-12-1=-13$ . برای درست آزمایی کارتان، هر دو مقدار $x=-6$ و $y=-13$ را در معادله که آن را تغییر نداده اید قرار دهید (در این مورد، در معادلۀ دوم):
$$
3(–6) – 2(–13) = 8\\[2ex]
–18 + 26 = 8 \\[2ex]
8 = 8
$$
کار شما درست آزمایی شد.

شناسایی خطهای موازی و خطهای یکسان

همانطور که در آموزش روش حذف در همین فصل اشاره کردم، اگر با یک نقطۀ ساده از تقاطع در پاسختان مواجه شوید، همه چیز خوب پیش رفته است. اما همچنین در هنگام استفاده از روش جایگذاری، ممکن است با یک وضعیت غیرممکن (خطهای موازی) و یا با یک وضعیت همیشه ممکن (خطهای یکسان) برخورد کنید.

نکته: در اینجا اشاراتی برای شناسایی این دو مورد خاص دارید:

هنگامی که خطها موازی باشند، نتیجۀ جبری یک گزارۀ غیرممکن خواهد بود. شما به معادله ای خواهید رسید که نمی تواند صحیح باشد، مانند $2=6$.
هنگامی که خطها یکسان باشند، نتیجۀ جبری یک گزارۀ همواره صحیح خواهد بود. یک مثال از این حالت $7=7$ می باشد.

مواجه شدن با وضعیت غیرممکن: خطهای موازی

دستگاه معادلات زیر پاسخی ندارد:
$$
\begin{cases}
3x-2y=4 \\[2ex]
y={3\over2}x+2
\end{cases}
$$
اگر نمودار این خطها را ترسیم کنید، خواهید دید که نمودار آن خطهایی موازی را نشان می دهد. همچنین هنگامی که سعی کنید این دستگاه را با جبر حل کنید به یک گزارۀ غیرممکن خواهید رسید. با استفاده از روش جایگذاری برای حل این دستگاه، معادل $y$ را از معادلۀ دوم در معادلۀ اول جایگذاری می کنید:
$$
3x-2y=4 \\[2ex]
3x-2\biggl({3\over2}x+2\biggr)=4 \\[2ex]
3x-3x-4=4 \\[2ex]
-4=4
$$
این جایگذاری یک گزارۀ نادرست تولید می کند. این معادله همواره اشتباه می باشد، بنابراین هرگز نمی توانید برای آن پاسخی بیابید.

روبرو شدن با وضعیت همیشه ممکن: خطهای یکسان

دستگاه معادلات زیر، دو روش برای نشان دادن یک معادلۀ یکسان را ارائه می کند ـــ هر دوی این معادلات، خط یکسانی را نمایندگی می کنند:
$$
\begin{cases}
3x-2y=4 \\[2ex]
y={3\over2}x-2
\end{cases}
$$
اگر نمودار این معادلات را ترسیم کنید، یک خط یکسان را تولید خواهند کرد. اگر این دستگاه را با استفاده از روش جایگذاری حل کنید، معادل $y$ را در معادلۀ اول جایگذاری می کنید:
$$
3x-2y=4 \\[2ex]
3x-2\biggl({3\over2}x-2\biggr)=4 \\[2ex]
3x-3x+4=4 \\[2ex]
4=4
$$
جایگذاری معادله ای را تولید می کند که همواره صحیح می باشد. بنابراین، هر جفت از مقادیر که برای یک معادله درست کار کنند، برای معادلۀ دیگر نیز درست کار خواهند کرد.

نکته: شما می توانید این پاسخ را در شکل $(x,y)$ برای مختصات یک نقطه با استفاده از یک متغیر ـــ در این مورد متغیر $x$ ـــ بنویسید و متغیر دیگر را به لحاظ $x$ بنویسید. پاسخ مثال قبلی عبارت از $\biggl(x,{3\over2}x-2\biggr)$ می باشد. مقدار $y$ همواره دو واحد کمتر از دو سوم $x$ می باشد. اگر مقداری را برای $x$ انتخاب کنید، می توانید آن را در مختصات دوم بنویسید تا $y$ را از روی آن بدست آورید. برای مثال، اگر $x=6$ را انتخاب کرده اید، آن را در پاسخ قرار بدهید تا $y$ را بدست آورید:
$$
\biggl(6,{3\over2}(6)-2\biggr) \\[2ex]
=(6,9-2) \\[2ex]
=(6,7)
$$
نقطۀ $(6,7)$، همانند بی نهایت نقطۀ دیگر، برای هر دو معادله کار می کند.

آموزش قبلی صفحۀ اصلی دوره آموزش بعدی