خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


حل کردن دستگاه معادلات خطی با قانون کرامر

حل کردن دستگاه معادلات خطی با قانون کرامر
نویسنده : امیر انصاری
حل کردن دستگاه معادلات خطی با روش ترسیم نمودار (graphing)، روش حذف (elimination)، یا روش جایگذاری (substitution) معمولاً کاملاً قابل انجام و ساده می باشد. با این حال شما روش دیگری نیز دارید که بهتر است به خاطر داشته باشید، نام این روش قانون کرامر (Cramer’s Rule) می باشد. هنگامی که پاسخها شامل کسرهای بی نظم با مخرج هایی شبیه \(47\) ، \(319\) ، یا برخی مقادیر واقعاً بزرگ و تند باشند، قانون کرامر بسیار زیبا و نرم عمل می کند. قانون کرامر مقدار کسری دقیق پاسخهایی را که می یابید، به شما می دهد ـــ و نه برخی مقادیر اعشاری گرد شده که شما با یک ماشین حساب یا کامپیوتر بدست آورده اید ـــ و شما می توانید از این قانون برای هر دستگاه معادلات خطی استفاده کنید. با این وجود، این بهترین روش نیست، زیرا هم پیچیده تر است و هم نسبت به سایر روشها زمان بیشتری می برد. با این حال، هنگامی که پاسخها، کسرهای بزرگ باشند، ارزش تلاش بیشتر برای استفاده از این روش را دارد.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



تنظیم دستگاه خطی برای قانون کرامر


قوانین جبر: برای استفاده از قانون کرامر، ابتدا باید دو معادلۀ خطی را در شکل زیر بنویسید:
$$
\begin{cases}
a_1x+b_1y=c_1 \\[2ex]
a_2x+b_2y=c_2
\end{cases}
$$
در این دو معادله، متغیرها در یک سمت ـــ به ترتیب \(x\) ، \(y\) ـــ و جملۀ ثابت، \(c\)، در سمت دیگر قرار دارد. این ضرایب زیرنویس های \(1\) و \(2\) را با خودشان حمل می کنند، تا شناسایی کنید آنها از چه معادلاتی می آیند.

قدم بعدی شما اینست که \(d\) را برای نشان دادن تفاضل بین دو حاصلضرب از ضرایب \(x\) و \(y\) ، اختصاص بدهید: \(d=a_1 b_2 - b_1 a_2\) . در اینجا ترتیب تفریق بسیار مهم می باشد.

نکته: یک روش ساده برای به یاد آوری ترتیب حاصلضربها و تفریق، اینست که ضرایب را در یک مربع تصور کنید که آنها را به شکل مورب ضرب و تفریق می کنید.

ضریب موجود در بالا و سمت چپ را در ضریب موجود در پایین و سمت راست ضرب می کنید و آن را از حاصلضرب ضریب موجود در بالا و سمت راست در ضریب موجود در پایین و سمت چپ، تفریق می کنید:
$$
\begin{array}{|c c |}
a_1 & b_1 \\[2ex]
a_2 & b_2
\end{array}
$$

شما پاسخهای این دستگاه، یعنی مقادیر \(x\) و \(y\) را با تقسیم کردن سایر تفاضل هایی که هوشمندانه ساخته شده اند، بر مقدار \(d\)، می یابید. شما می توانید این تفاضل ها را به حافظه بسپارید، یا مربع هایی را که با جایگزین کردن مقادیر \(a\)ها و \(b\)ها، با \(c\)ها ، تشکیل داده اید، تصور کنید، و در آن مربع ها ضرب های متقاطع را انجام بدهید و سپس تفریق کنید:
$$
\begin{array}{|c c |}
c_1 & b_1 \\[2ex]
c_2 & b_2
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{|c c |}
a_1 & c_1 \\[2ex]
a_2 & c_2
\end{array}
$$
قوانین جبر: وقتیکه دو معادلۀ خطی دارید که در شکل صحیح نوشته شده اند، برای حل کردن آنها جهت بدست آوردن \(x\) و \(y\) با استفاده از قانون کرامر، از معادلات زیر استفاده کنید:
$$
x=\frac{c_1 b_2 - b_1 c_2}{d} = \frac{c_1 b_2 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - b_1 a_2} \\[2ex]
y=\frac{a_1 c_2 - c_1 a_2}{d} = \frac{a_1 c_2 - c_1 a_2}{a_1 b_2 - b_1 a_2}
$$

به کار بردن قانون کرامر بر روی یک دستگاه خطی


شما می توانید بیشتر دستگاه های معادلات را با روش حذف یا جایگذاری، حل کنید، اما برخی از دستگاه ها، بدلیل کسرهایی که از آنها بیرون می زند، می توانند واقعاً مخوف شوند. اگر از قانون کرامر استفاده کنید، کار بسیار ساده تر می شود.

به عنوان مثال، دستگاه معادلات خطی زیر را در نظر بگیرید:
$$
\begin{cases}
13x+7y=25 \\[2ex]
10x-9y=13
\end{cases}
$$
جهت حل کردن این دستگاه با روش کرامر، ابتدا مقدار مخرج معادله ای که می خواهید بسازید، یعنی \(d\) ، را می یابید. با استفاده از فرمول \(d\) خواهید داشت:
$$
d=a_1 b_2 - b_1 a_2 \\[2ex]
d=13(-9) - 7(10) = -117 - 70 = -187
$$
اکنون که مقدار \(d\) را در اختیار دارید، ابتدا سعی کنید \(x\) را بیابید:
$$
x=\frac{c_1 b_2 - b_1 c_2}{d}=\frac{25(-9)-7(13)}{-187} = \frac{-225-91}{-187}=\frac{-316}{-187}=\frac{316}{187}
$$
نیازی نیست تا آن مقدار ترسناک \(x\) را در یکی از معادلات جایگزین کنید تا \(y\) را بدست آورید، کافیست از فرمول بدست آوردن \(y\) در قانون کرامر استفاده کنید:
$$
y=\frac{a_1 c_2 - c_1 a_2}{d}=\frac{13(13) - 25(10)}{-187}=\frac{169-250}{-187}=\frac{-81}{-187}=\frac{81}{187}
$$
بدلیل وجود کسرها، درست آزمایی پاسخها زیاد جالب نخواهند بود، اما گریزی نیست و درست آزمایی پاسخها در جبر یک ضرورت اجتناب ناپذیر است. با جایگذاری کسرهای بدست آمده به عنوان مقادیر \(x\) و \(y\) در معادلات اصلی، خواهید دید که پاسخهای بدست آمده صحیح می باشند.

هشدار: اگر در هنگام استفاده از قانون کرامر، با \(d=0\) مواجه شدید، باید متوقف شوید. شما نمی توانید عددی را بر صفر تقسیم کنید. وجود مقدار صفر برای \(d\) نشان دهندۀ اینست که دستگاه شما یا هیچ پاسخی ندارد و یا اینکه بی نهایت پاسخ دارد ـــ خطها موازی می باشند و یا اینکه هر دو معادله به خطهای یکسانی اشاره دارند. در هر صورت، قانون کرامر شکست خورده است و در اینگونه مواقع باید از سایر روش ها استفاده نمایید.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.