خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


حل کردن دستگاه معادلات خطی با سه معادله و سه متغیر

حل کردن دستگاه معادلات خطی با سه معادله و سه متغیر
نویسنده : امیر انصاری
دستگاه هایی متشکل از سه معادلۀ خطی نیز دارای پاسخ می باشند: مجموعه ای از اعداد (که همۀ آنها برای هر معادله یکسان هستند) که هر معادله را صحیح می کنند. هنگامی که یک دستگاه به جای دو متغیر، دارای سه متغیر باشد، دیگر نمودار آن معادلات را با خطها نشان نمی دهید. برای ترسیم نمودار این معادلات، شما مجبور خواهید بود تا یک نمودار سه بعدی از صفحات که نشان دهندۀ معادلاتِ شامل سه متغیر می باشند، ترسیم کنید. به عبارت دیگر، شما واقعاً نمی توانید با ترسیم نمودار پاسخها را بیابید. بهترین روش برای حل کردن دستگاه هایی دارای سه معادلۀ خطی شامل استفاده از مهارتهای جبری تان می باشد.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



حل کردن دستگاه دارای سه معادله با جبر


هنگامی که دستگاهی متشکل از سه معادلۀ خطی همراه با سه متغیر نامعلوم دارید، این دستگاه را با کاهش دادن سه معادلۀ دارای سه متغیر به دستگاهی متشکل از دو معادله همراه با دو متغیر، حل می کنید. در آن لحظه، به یک قلمروی آشنا باز می گردید و تمامی روش ها را برای حل کردن این دستگاه، در اختیار خواهید داشت. بعد از اینکه مقادیر دو تا از متغیرها در این دستگاه جدید را تعیین کردید، این مقادیر را در یکی از معادلات اصلی جایگذاری می کنید تا مقدار متغیر سوم را نیز بدست آورید.

به عنوان مثال، به منظور حل کردن دستگاه زیر، ابتدا متغیری را برای حذف کردن انتخاب می کنید:
$$
\begin{cases}
3x-2y+z=17 \\[2ex]
2x+y+2z=12 \\[2ex]
4x-3y-3z=6
\end{cases}
$$
دو کاندیدای اصلی برای حذف کردن عبارت از \(y\) و \(z\) می باشند، زیرا ضریب های آنها \(1\) و \(-1\) می باشند. اگر شما بتوانید در هنگام ضرب کردن سراسر یک معادله در یک عدد برای ایجاد مجموع صفر، از ضریب های بزرگتر در متغیرها اجتناب کنید، کار شما آسانتر می گردد. فرض کنید که انتخاب شما این باشد که می خواهید متغیر \(z\) را حذف کنید.

برای حذف کردن \(z\)ها از معادلات، دو تا از معادلات را با یکدیگر جمع می زنید ـــ البته بعد از اینکه آنها را در یک عدد مناسب ضرب کردید ـــ تا به معادلۀ جدیدی برسید. سپس این فرآیند را با ترکیب متفاوتی از دو معادله تکرار می کنید. نتایج شما دو معادله خواهند بود که تنها شامل متغیرهای \(x\) و \(y\) می باشند.

در مورد این مثال، با ضرب کردن جملات موجود در معادلۀ بالا در \(-2\) و جمع کردن آنها با جملات موجود در معادلۀ میانی کار را آغاز می کنید:
$$
\begin{array}{c c c}
-2(3x-2y+z=17) & \to & -6x+4y-2z=-34 \\[2ex]
& & 2x+y+2z=12 \\[2ex] \hline
& & -4x+5y=-22
\end{array}
$$
سپس، جملات موجود در معادلۀ بالا را (معادلۀ اصلی بالا، نه آن معادله ای که اندکی پیش ضرب نمودید) در \(3\) ضرب می کنید و آنها را با جملات موجود در معادلۀ پایین (دوباره، معادلۀ اصلی پایین) جمع می زنید:
$$
\begin{array}{c c c}
3(3x-2y+z=17) & \to & 9x-6y+3z=51 \\[2ex]
& & 4x-3y-3z=6 \\[2ex] \hline
& & 13x-9y=57
\end{array}
$$
دو معادله ای که با جمع زدن تولید کردید، یک دستگاه جدید معادلات را که شامل دو متغیر می باشد، تشکیل می دهند:
$$
\begin{cases}
-4x+5y=-22 \\[2ex]
13x-9y=57
\end{cases}
$$
برای حل کردن این دستگاه جدید، می توانید جملات موجود در معادلۀ اول را در \(9\) و جملات موجود در معادلۀ دوم را در \(5\) ضرب کنید تا ضرایب \(45\) و \(-45\) بر روی جملات \(y\) ایجاد گردند. سپس این دو معادله را با یکدیگر جمع می زنید تا از شر متغیرهای \(y\) خلاص شوید، و آن را برای بدست آوردن \(x\) حل می کنید:
$$
\begin{array}{c}
-36x+45y=-198 \\[2ex]
65x-45y=285 \\[2ex] \hline
29x = 87 \\[2ex]
x=3
\end{array}
$$
اکنون \(x=3\) را در معادلۀ \(-4x+5y=-22\) جایگزین می کنید. انتخاب این معادله صرفاً یک انتخاب دلخواه است ـــ هر معادلۀ دیگری نیز می توانست جای آن باشد. با جایگزینی \(x=3\) ، به \(-4(3)+5y=-22\) می رسید. با افزودن \(12\) هر سمت، به \(5y=-10\) یا \(y=-2\) می رسید.

نکته: شما می توانید با جایگذاری \(x=3\) و \(y=-2\) و در یکی از معادلات اصلی، کارتان را درست آزمایی کنید. یک عادت خوب اینست که مقادیر را در معادلۀ اول جایگذاری کنید و سپس با جایگذاری هر سه پاسخ در دو معادلۀ دیگر، کارتان را درست آزمایی کنید.

با جایگذاری \(x=3\) و \(y=-2\) در معادلۀ اول، به \(3(3)-2(-2)+z=17\) می رسید، که به شما نتیجۀ \(9+4+z=17\) را می دهد. \(13\) را از هر سمت معادله تفریق می کنید تا به نتیجۀ \(z=4\) برسید. اکنون این سه مقدار را در دو معادلۀ دیگر درست آزمایی کنید.
$$
2(3)+(-2)+2(4)=6-2+8=12 \\[2ex]
4(3)-3(-2)-3(4)=12+6-12=6
$$
هر دو معادله درست آزمایی شدند!

نکته: شما می توانید پاسخ این دستگاه را به شکل \(x=3,y=-2,z=4\) ، بنویسید، یا می توانید آن را به شکل یک سه تائی مرتب (ordered triple) بنویسید. یک سه تائی مرتب متشکل از سه عدد در داخل یک جفت پرانتز می باشد، که با ویرگول از یکدیگر جدا شده اند. ترتیب قرارگیریِ این اعداد مهم می باشد. اولین مقدار نشان دهندۀ \(x\) ، دومی نشان دهندۀ \(y\) ، و سومی \(z\) می باشد. پاسخ مثال قبلی را در حالت سه تائی مرتب به شکل \((3,-2,4)\) می نویسید. روش نگارش سه تائی مرتب یک روش ساده تر و شسته و رفته تر می باشد.

یک پاسخ تعمیم یافته برای ترکیب خطی


هنگام درگیر شدن با سه معادلۀ خطی و سه متغیر، ممکن است با وضعیتی مواجه شوید که یکی از معادلات یک ترکیب خطی با دو معادلۀ دیگر باشد. این بدین معنا می باشد که نمی توانید یک پاسخ واحد همچون \((3,-2,4)\) را برای این دستگاه بیابید. یک پاسخ تعمیم یافته تر می تواند \((-z,2z,z)\) باشد، که در آن شما عددی را برای \(z\) انتخاب می کنید که تعیین می کند مقادیر \(x\) و \(y\) چه می باشند. در این مورد، که پاسخ \((-z,2z,z)\) است، اگر \(z=7\) باشد، سه تائی مرتب \((-7,14,7)\) می شود. شما می توانید برای این دستگاه معادلاتِ خاص، بی نهایت پاسخ بیابید، اما شکل پاسخها بسیار خاص می باشند ـــ تمامی متغیرها دارای یک رابطه می باشند.

نکته: شما ابتدا زمانی به این درک می رسید که یک دستگاه دارای یک پاسخ تعمیم یافته می باشد، که در می یابید یکی از معادلات کاهش یافته که شما ایجاد کرده اید، مضربی از معادلۀ دیگر می باشد.

به عنوان مثال، دستگاه زیر را در نظر بگیرید:
$$
\begin{cases}
2x+3y-z=12 \\[2ex]
x-3y+4z=-12 \\[2ex]
5x-6y+11z=-24
\end{cases}
$$
برای حل کردن این دستگاه، می توانید با ضرب کردن جملات موجود در معادلۀ اول در \(4\) و جمع زدن آنها با معادلۀ دوم، \(z\)ها را حذف کنید. سپس جملات موجود در معادلۀ اول را در \(11\) ضرب می کنید و آنها را با معادلۀ سوم جمع می زنید:
$$
\begin{array}{c c c}
4(2x+3y-z=12) & \to & 8x+12y-4z=48 \\[2ex]
& & x - 3y +4z = -12 \\[2ex] \hline
& & 9x+9y=36 \\[4ex]
11(2x+3y-z=12) & \to & 22x+33y-11z=132 \\[2ex]
& & 5x - 6y +11z = -24 \\[2ex] \hline
& & 27x+27y=108
\end{array}
$$
معادلۀ دوم، یعنی \(27x+27y=108\)، سه برابر معادلۀ اول می باشد. از آنجا که این معادلات مضربهایی از یکدیگر می باشند، شما می دانید که این دستگاه یک پاسخ واحد ندارد؛ این دستگاه بی نهایت پاسخ دارد.

برای یافتن آن پاسخها، یکی از معادلات را بگیرید و آن را برای یک متغیر حل کنید. ممکن است انتخاب شما این باشد که معادلۀ \(9x+9y=36\) را برای \(y\) حل کنید. با تقسیم کردن سراسر این معادله بر \(9\) ، به \(x+y=4\) می رسید. با حل کردن آن برای \(y\) ، به \(y=4-x\) می رسید. این معادله را در یکی از معادلات دستگاه اصلی جایگذاری کنید تا آن را برای \(z\) به لحاظ \(x\) ، حل کنید. بعد از اینکه آن را برای بدست آوردن \(z\) با این روش حل کردید، سه متغیر دارید که همگی آنها نسخه هایی از \(x\) می باشند.

به عنوان مثال، با جایگذاری \(y=4-x\) در \(2x+3y-z=12\) به نتیجه زیر می رسید:
$$
2x+3(4-x)-z=12 \\[2ex]
2x+12-3x-z=12 \\[2ex]
-x-z=0 \\[2ex]
-x=z
$$
سه تائی مرتب که پاسخ این دستگاه را به شما می دهد برابر با \((x,4-x,-x)\) می باشد. شما می توانید بی نهایت پاسخ، که همگی با این الگو تعیین می گردند، پیدا کنید. فقط کافیست یک \(x\) انتخاب کنید، مانند \(x=3\) . پاسخ برابر با \((3,1,-3)\) می باشد. این مقادیر \(x\)، \(y\)، و \(z\) همگی در معادلات دستگاه اصلی به درستی کار می کنند.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.