خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


حل کردن دستگاه معادلات خطی با تعداد زیادی معادله و متغیر

حل کردن دستگاه معادلات خطی با تعداد زیادی معادله و متغیر
نویسنده : امیر انصاری
دستگاه های معادلات خطی می توانند در هر اندازه ای باشند. شما می توانید دو، سه، چهار، و یا حتی 100 معادلۀ خطی داشته باشید. (بعد از اینکه از سه یا چهار معادله عبور کردید، به تکنولوژی متوسل می شوید.) بعضی از این دستگاه ها دارای پاسخ هایی می باشند و برخی دیگر خیر. شما باید در آن عمیق شوید تا تعیین کنید که آیا می توانید پاسخی برای آن دستگاه بیابید یا خیر. شما می توانید برای حل کردن یک دستگاه که دارای هر تعداد معادلۀ خطی باشد، سعیتان را بکنید، اما تنها در صورتی می توانید یک پاسخ یکتا و منحصر به فرد (یا یک مجموعه از اعداد به عنوان پاسخ) برای آن دستگاه بیابید که تعداد متغیرها در آن دستگاه دست کم به اندازۀ تعداد معادله ها باشند. اگر دستگاهی دارای سه متغیر متفاوت باشد، شما دست کم سه معادلۀ مختلف نیاز دارید. داشن معادلات کافی برای متغیرها وجود یک پاسخ واحد را تضمین نمی کند، اما دست کم باید آنطور این روش را آغاز کنید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



فرآیند کلی برای حل کردن \(n\) معادله با \(n\) متغیر، اینست که به حذف کردن متغیرها ادامه بدهید. یک روش سیستماتیک اینست که با متغیر اول آغاز کنید، آن را حذف کنید، به سراغ متغیر دوم بروید، آن را حذف کنید، و به همین ترتیب، تا زمانی که به یک دستگاه کاهش یافته با دو معادله و دو متغیر برسید. در آن دستگاه، معادلات را برای رسیدن به پاسخها حل می کنید و سپس شروع به جایگذاری مقادیر یافت شده در معادلات اصلی می کنید. این فرآیند می تواند طولانی و خسته کننده باشد، و خطاها به راحتی ممکن است پیش آیند، اما اگر این روش را به صورت دستی انجام بدهید، یک روش بسیار کارآمد می باشد. هرچند، در مواقعی که دستگاه ها غیرقابل مدیریت می شوند، فناوری سودمندتر می شود.

دستگاه زیر دارای پنج معادله و پنج متغیر می باشد:
$$
\begin{cases}
x+y+z+w+t=3 \\[2ex]
2x-y+z-w+3t=28 \\[2ex]
3x+y-2z+w+t=-8 \\[2ex]
x-4y+z-w+2t=28 \\[2ex]
2x+3y+z-w+t=6
\end{cases}
$$
شما فرآیند را با حذف کردن \(x\)ها آغاز می کنید:

  1. جملات معادلۀ اول را در \(-2\) ضرب کنید و آنها را با معادلۀ دوم جمع بزنید.
  2. جملات معادلۀ اول را در \(-3\) ضرب کنید و آنها را با معادلۀ سوم جمع بزنید.
  3. جملات معادلۀ اول را در \(-1\) ضرب کنید و آنها را با معادلۀ چهارم جمع بزنید.
  4. جملات معادلۀ اول را در \(-2\) ضرب کنید و آنها را با معادلۀ آخر جمع بزنید.

بعد از اینکه این کار را تمام کردید، به دستگاهی می رسید که در آن \(x\)ها حذف شده اند:
$$
\begin{cases}
-3y-z-3w+t=22 \\[2ex]
-2y-5z-2w-2t=-17 \\[2ex]
-5y-2w+t=25 \\[2ex]
y-z-3w-t=0
\end{cases}
$$
اکنون با ضرب کردن آخرین معادله در \(3\)، \(2\)، و \(5\) و جمع کردن نتایج آن با اولین، دومین، و سومین معادله، \(y\)ها را حذف می کنید:
$$
\begin{cases}
-4z-12w-2t=22 \\[2ex]
-7z-8w-4t=-17 \\[2ex]
-5z-17w-4t=25
\end{cases}
$$
در این دستگاه با ضرب کردن جملات موجود در معادلۀ اول در \(7\) و معادلۀ دوم در \(-4\) و جمع زدن آنها با یکدیگر \(z\)ها را حذف می کنید. سپس با ضرب کردن معادلۀ دوم در \(5\) و معادلۀ سوم در \(-7\) و جمع زدن آنها با یکدیگر، این دو معادله را با هم جمع می زنید. دستگاه جدیدی که ایجاد کرده اید فقط دو معادله و دو متغیر خواهد داشت:
$$
\begin{cases}
-52w+2t=222 \\[2ex]
79w+8t=-260
\end{cases}
$$
برای حل کردن این دستگاه دارای دو متغیر در راحتترین روش ممکن، معادلۀ اول را در \(-4\) ضرب کرده و آن را با معادلۀ دوم جمع بزنید:
$$
\begin{array}{c}
208w-8t=-888 \\[2ex]
79w+8t=-260 \\[2ex] \hline
287w = -1,148 \\[2ex]
w=-4
\end{array}
$$
به پاسخ \(w=-4\) می رسید. اکنون مقدار \(w\) را در معادلۀ \(-52w+2t=222\) جایگزین کنید تا به \(-52(-4)+2t=222\) برسید، که با ساده سازی به نتیجۀ زیر می رسید:
$$ 208+2t=222 \to 2t=14 \to t=7 $$
این دو مقدار را در معادلۀ \(-4z-12w-2t=22\) جایگزین کنید. با این جایگذاری به \(-4z-12(-4)-2(7)=22\) می رسید، که با ساده سازی به نتیجه زیر می رسید:
$$ -4z+34=22 \to -4z=-12 \to z=3 $$
این سه مقدار را در \(y-z-3w-t=0\) جایگذاری کنید. با این جایگذاری خواهید داشت:
$$ y-(3)-3(-4)-7=0 \to y+2=0 \to y=-2 $$
فقط یک مرحله دیگر باقی مانده است. به معادلۀ \(x+y+w+t=3\) باز گردید، و مقادیر بدست آمده را در آن جایگذاری کنید. خواهید داشت:
$$ x+(-2)+3+(-4)+7=3 \to x+4=3 \to x=-1 $$
پاسخها بدین قرار می باشند:
$$ x=-1, y=-2, z=3, w=-4, t=7 $$
نکته: شما می توانید این پاسخها در یک پنج تائی مرتب (ordered quintuple) قرار دهید، ترتیب این پنج تائی بر اساس \((x, y, z, w, t)\) می باشد. در اینجا ترتیب قرار گیری بر اساس حروف الفبا نمی باشد، اما این بسیار مرسوم می باشد که ابتدا \(x، y، z\) را قرار دهند و سپس سایر متغیرها را بیاورند. شما این ترتیب را از روشی که مسأله بیان می دارد، شناسایی می کنید. در اینجا پنج تائی مرتب عبارت از \((–1, –2, 3, –4, 7)\) می باشد.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.