توانایی حل کردن دستگاه هایی متشکل از دو، سه، و حتی بیشتر معادلۀ خطی، عالی می باشد، اما هدف از آن چیست؟ هدف اینست که کاربردهای آن در زندگی واقعی بسیارند. و خارج از کلاسهای جبر، جایی که تکنولوژی وارد کار می شود، تعداد معادلات بزرگ و غافلگیرکننده می گردند. وضعیت زیر را که می توانید با سه معادله حلش کنید، بررسی کنید؛ ممکن است مسألۀ زیر برای شما چیز جالبی باشد.





شما سعی دارید تا بهای همبرگر، چیپس، و نوشیدنی غیرالکلی را بیابید. شما می دانید که یکی از دوستانتان چهار همبرگر، دو چیپس، و سه نوشیدنی غیر الکلی را با قیمت \(14$\) خریده است؛ دوست دیگری شش همبرگر و شش نوشیدنی را به قیمت \(18$\) خریده است؛ و دوست سوم شما، پنج همبرگر، شش چیپس، و هشت نوشیدنی را \(27$\) خریداری کرده است.

شما می توانید با ایجاد سه معادله، بهای همبرگر، چیپس، و نوشیدنی را بدست آورید. اجازه دهید \(h\) نشان دهندۀ بهای یک همبرگر (hamburger) باشد، \(f\) نشان دهندۀ بهای یک چیپس (fries)، و \(d\) نشان دهندۀ بهای یک نوشیدنی غیر الکلی (soft drink) باشد. خریدهای سه دوستتان را به لحاظ این متغیرها بنویسید، به دستگاه زیر خواهید رسید:
$$
\begin{cases}
4h+2f+3d=14 \\[2ex]
6h+6d=18 \\[2ex]
5h+6f+8d=27
\end{cases}
$$
از آنجا که یکی از این معادلات فاقد متغیر \(f\) می باشد، شما آن متغیر را برای حذف کردن گزینش می کنید. جملات موجود در معادلۀ اول را در \(-3\) ضرب کنید و آنها را با جملات موجود در معادلۀ آخر جمع بزنید:
$$
\begin{array}{c c c}
-3(4h+2f+3d=14) & \to & -12h-6f-9d=-42 \\[2ex]
& & 5h+6f+8d=27 \\[2ex] \hline
& & -7h -d = -15
\end{array}
$$
جملات این معادلۀ جدید را در \(6\) ضرب کنید و آن را با جملات موجود در معادلۀ اصلی وسطی جمع بزنید. سپس آن را برای بدست آوردن \(h\) حل کنید:
$$
\begin{array}{c c c}
6(-7h-d=-15) & \to & -42h-6d=-90 \\[2ex]
& & 6h+6d=18 \\[2ex] \hline
& & -36h = -72 \\[2ex]
& & h=2
\end{array}
$$
شما دریافتید که قیمت یک همبرگر \(2$\) می باشد. این مقدار را در معادلۀ اصلی وسطی جایگذاری کنید تا به \(6(2)+6d=18\) برسید. با تفریق کردن \(12\) از هر سمت، به \(6d=6\) یا همان \(d=1\) می رسید. قیمت یک نوشیدنی غیرالکلی \(1$\) می باشد. این دو مقدار را بردارید و در معادلۀ اصلی اول جایگذاری کنید تا به \(4(2)+2f+3(1)=14\) برسید، که بعد از ساده سازی به \(2f+11=14\) تبدیل می گردد. با تفریق \(11\) از هر سمت آن، به \(2f=3\) یا \(f=1.5\) می رسید. قیمت چیپس \(1.50$\) می باشد. بنابراین، اگر بخواهید یک همبرگر، یک چیپس، و یک نوشیدنی غیرالکلی بخرید، باید \(2$+1.50$+1$=4.50$\) هزینه کنید.