خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


استفاده از دستگاه معادلات برای تجزیۀ کسرها

استفاده از دستگاه معادلات برای تجزیۀ کسرها
نویسنده : امیر انصاری
اگر یک کسر جبری مانند مثالی که در ادامه آمده است، داشته باشید ـــ یک تابع گویا که در صورت و مخرج آن چمدجمله ایهایی وجود داشته باشند ـــ می توانید تعیین کنید که کدام دو کسر با یکدیگر جمع شده اند تا حاصل جمعشان کسر فعلی شده است. این فرآیند تجزیه کسرها (decomposing fractions) نامیده می شود. دلیل اینکه شما می خواهید کسرها را تجزیه کنید اینست که هنگامی که مخرج ها عباراتی خطی باشند، می توانید از مزایای آن بهره مند شوید. شما می توانید این تکنیک را با دو، سه، چهار، پنج، و یا تعداد بیشتری کسر، مورد استفاده قرار دهید. البته، دستگاه معادلات با توجه به تعداد کسرها رشد می کند.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



مثال:
$$ \frac{7x-1}{x^2-x-6} $$
نام "تجزیه" حاکی از اینست که نوعی کالبدشکافی در حال وقوع می باشد. شما می توانید این کالبدشکافی را انتخاب با دقت اعداد صحیح بنامید. همچنین، تجزیۀ کسرها، یک روش خیلی سودمند براش تعیین یک تابع اولیه (antiderivative) در حسابان می باشد.

کسر \(\frac{7x-1}{x^2-x-6}\) دارای مخرج \(x^2-x-6\) می باشد، که به \((x+2)(x-3)\) فاکتورگیری می شود. این بدین معنا می باشد که شما دو کسر دارید، یکی با مخرج \(x+2\) و دیگری با مخرج \(x-3\) ، که می توانید آنها را با هم جمع بزنید تا کسری را با صورت \(7x-1\) بیابید. (برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد چگونگی فاکتورگیری فصل 3 را ببینید.)

یادتان باشد: در هنگام جمع زدن کسرها، شما نیاز به یک مخرج مشترک دارید. اگر دو مخرج از کسرهایی که در حال جمع زدن آنها می باشید، هیچ چیز مشترکی با یکدیگر نداشته باشند، مخرج مشترک آنها حاصلضرب آن دو مخرج می باشد. برای مثال، برای جمع زدن \({3\over4}+{1\over3}\) ، مخرج مشترک آنها \(12\) می باشد، که حاصلضرب \(4\) و \(3\) است.

به مثال خودمان برگردیم. برای یافتن صورت دو کسر مورد نیاز که حاصلجمشان کسر اصلی ما گردد، معادلۀ زیر را بنویسید:
$$ \frac{7x-1}{(x+2)(x-3)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-3} $$
صورتها عبارت از \(A\) و \(B\) می باشند. اکنون با ایجاد مخرج مشترک و ضرب کردن آنها در جملات مناسب، این دو کسر را با یکدیگر ترکیب می کنید:
$$ \frac{7x-1}{(x+2)(x-3)}=\biggl(\frac{A}{x+2} \cdot \frac{x-3}{x-3} \biggr)+\biggl(\frac{B}{x-3} \cdot \frac{x+2}{x+2} \biggr) \\[4ex]
=\frac{A(x-3)+B(x+2)}{(x+2)(x-3)}
$$
کسر مثال شما و کسری که به تازگی ایجاد کرده اید، اگر صورتشان با هم برابر باشند، با یکدیگر برابر می باشند. بنابراین می توانید معادله ای بنویسید که این ارتباط را بیان کند:
$$ 7x-1 =A(x-3)+B(x+2) $$
این معادله را ابتدا با توزیع کردن (distributing) حروف \(A\) و \(B\) بر روی جملات مرتبطشان در سمت راست معادله و سپس بازچینش جملات به نحوی که دو جملۀ دارای \(x\) در کنار یکدیگر و دو جملۀ بدون \(x\) نیز در کنار یکدیگر قرار بگیرند، حل می کنید. اکنون \(x\) را از دو جملۀ اول فاکتور بگیرید و دو جملۀ آخر را با یکدیگر گروه بندی کنید:
$$
\begin{array}{c c}
7x-1 & =A(x-3)+B(x+2) \\[2ex]
& =Ax-3A+Bx+2B \\[2ex]
& = (A+B)x+(-3A+2B)
\end{array}
$$
در صورت اصلی کسر می توانید مشاهده کنید که ضریب \(x\) برابر با \(7\) می باشد. در آخرین معادلۀ ایجاد شده توسط شما، ضریب \(x\) برابر با \(A+B\) است. اینها را برابر با یکدیگر قرار دهید تا به معادلۀ \(7=A+B\) برسید. جملۀ ثابت در صورت معادلۀ اصلی برابر با \(-1\) می باشد. در آخرین معادلۀ ایجاد شدۀ شما، جملۀ ثابت برابر با \(-3A+2B\) می باشد. اینها را برابر با یکدیگر قرار دهید تا به معادلۀ \(-1=-3A+2B\) برسید. اکنون دستگاه معادلات خطی زیر را دارید:
$$
\begin{cases}
7=A+B \\[2ex]
-1=-3A+2B
\end{cases}
$$
جملات موجود در معادلۀ بالا را در \(3\) ضرب کنید و آنها را با معادلۀ دوم جمع بزنید:
$$
\begin{array}{c}
3A+3B=21 \\[2ex]
-3A+2B=-1 \\[2ex] \hline
5B=20 \\[2ex]
B=4
\end{array}
$$
شما دریافتید که \(B=4\) می باشد. اکنون \(B=4\) را در \(A+B=7\) جایگزین کنید تا به \(A=3\) برسید. حالا صورت کسرها را در اختیار دارید:
$$
\frac{7x-1}{(x+2)(x-3)}=\frac{3}{x+2}+\frac{4}{x-3}
$$



نمایش دیدگاه ها (1 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.