در دستگاه های معادلات خطی، متغیرها دارای توانی از یک می باشند، و شما معمولاً فقط یک پاسخ را می یابید. همچنان که توانها بزرگتر می گردند، امکان وجود چندین پاسخ نیز رشد می کند، و دستگاه های معادلات غیرخطی (systems of nonlinear equations) ایجاد می شوند. به عنوان مثال، یک خط و یک شلجمی (سهمی) ممکن است در دو نقطه، یا یک نقطه همدیگر را قطع کنند، یا اینکه به هیچ وجه همدیگر را قطع نکنند. یک دایره و بیضی می توانند در چهار نقطۀ متفاوت همدیگر را قطع کنند. و نامساویها (inequalities) را در نظر بگیرید. نمودار نامساویها شامل پاسخهای زیادی می باشد. هنگامی که دو نامساوی را در کنار یکدیگر قرار می دهید، احتمالات هیجان انگیز می شوند.





یکی از مهمترین بخشهای حل کردن دستگاه های غیرخطی، برنامه ریزی می باشد. اگر از آنچه که قرار است اتفاق بیفتد، درکی جزئی داشته باشید، کار ساده ای برای برنامه ریزی جهت رسیدن به پاسخ دارید، و هنگامی هم که پیش بینی های شما درست از آب در بیایند، بیشتر متقاعد خواهید شد. در این فصل، درخواهید یافت، یک خط و یک شلجمی در چندین نقطه می توانند همدیگر را قطع کنند، و به چند روش یک شلجمی و یک دایره می توانند از یکدیگر عبور کنند. همچنین به شما کمک خواهم کرد تا یک دایره و یک بیضی را تصور کنید ـــ هنگامی که یکی از آنها را بر روی دیگری قرار می دهید، می توانید برنامه ریزی کنید که انتظار یافتن چند نقطۀ تقاطع را داشته باشید. در نهایت، خواهید دید چگونه نمودار نامساویها را ترسیم کنید و نواحی منحنی بین دایره ها و مانند آن را بدست آورید.

تقاطع شلجمی ها با خطها

شلجمی (parabola) یک منحنی U شکلِ قابل پیش بینی و نرم می باشد که جزئیات آن را در فصل 7 برای شما مطرح کردم. همچنین خط نیز بسیار قابل پیش بینی می باشد؛ خط با نرخِ یکسانی، برای همیشه و تا ابد، رو به سمت بالا، پایین، چپ، یا راست می رود. اگر این دو ویژگی را در کنار یکدیگر قرار دهید، می توانید با دقت قابل توجهی پیش بینی کنید که اگر یک خط و یک شلجمی فضای یکسانی را به اشتراک بگذارند، چه اتفاقی خواهد افتاد.

هنگامی که معادلات یک خط و یک شلجمی را با یکدیگر ترکیب می کنید، یکی از سه نتیجۀ زیر را بدست می آورید (که می توانید در شکل 1-13 آن را ببینید):

• دو پاسخ مشترک (بخش a از شکل 1-13)
  
• یک پاسخ مشترک (بخش b از شکل 1-13)
  
• بدون هیچ پاسخ مشترک (بخش c از شکل 1-13)
  

شما معمولاً در یک معادله \(x\)ها را جایگزین \(y\) می کنید، زیرا اغلب دیده می شود که در توابع \(y\)ها با تعداد زیادی \(x\) برابر قرار داده شده اند. ممکن است مجبور شوید تا \(y\)ها را جایگزین \(x\)ها کنید، اما این استثناء می باشد. در صورت نیاز انعطاف پذیر باشد.

تعیین نقاط تقاطع بین خط و شلجمی

نمودارهای یک خط و یک شلجمی می توانند در دو نقطه یا یک نقطه و یا هیچ نقطه، همدیگر را قطع کنند (شکل 1-13 را ببینید). از لحاظ معادلات، این بیانیه ها به دو پاسخ مشترک، یک پاسخ، یا بدون پاسخ، تفسیر می گردند.

یافتن دو پاسخ

شلجمیِ \(y=3x^2-4x-1\) و خط \(x+y=5\) دارای دو نقطۀ مشترک می باشند. برای حل کردن جهت یافتن این دو پاسخ با استفاده از روش جایگذاری، ابتدا در معادلۀ خط آن را برای \(y\) حل می کنید: \(y=-x+5\) . اکنون این معادل \(y\) را در معادلۀ اول جایگذاری می کنید، و معادلۀ جدید را برابر با صفر قرار می دهید، و مانند سایر معادلات درجه دوم، آن را فاکتورگیری می کنید:
$$
y=3x^2-4x-1 \\[2ex]
-x+5=3x^2-4x-1 \\[2ex]
0=3x^2-3x-6 \\[2ex]
0=3(x^2-x-2) \\[2ex]
0=3(x-2)(x+1)
$$

با قرار دادن هر کدام از فاکتورهای دوجمله ای برابر با صفر، به نتایج \(x=2\) و \(x=-1\) می رسید. هنگامیکه این مقادیر را در معادلۀ \(y=-x+5\) جایگذاری می کنید، در می یابید که وقتیکه \(x=2\)، سپس \(y=3\) ، و وقتیکه \(x=-1\)، سپس \(y=6\) . بنابراین، دو نقطۀ تقاطع عبارت از \((2,3)\) و \((-1,6)\) می باشند. شکل 2-13 نمودار این شلجمی \((y=3x^2-4x-1)\)، نمودار این خط \((y=-x+5)\)، و دو نقطۀ تقاطع را به شما نشان می دهد.

یافتن یک پاسخ

هنگامیکه یک خط و یک شلجمی دارای یک نقطۀ تقاطع باشند، و از این رو یک پاسخ مشترک را به اشتراک بگذارند، آن خط تانژانت (tangent) آن سهمی می باشد. یک خط و یک منحنی، اگر همدیگر را لمس کنند یا دقیقاً یک نقطه را به اشتراک بگذارند و اگر به نظر برسد آن خط انحنا را در آن نقطه دنبال کرده باشد، می توانند تانژانت (مماس) بر یکدیگر باشند. همچنین دو منحنی نیز می توانند تانژانت یکدیگر باشند ـــ آنها در یک نقطه همدیگر را لمس می کنند و سپس هر کدام به راه خودشان ادامه می دهند. به عنوان مثال، شلجمیِ \(y=-x^2+5x+6\) و خط \(y=3x+7\) ، فقط یک نقطۀ مشترک دارند ـــ در نقطۀ تماس (tangency) آنها. شکل 3-13 به شما نشان می دهد چگونه یک خط و یک شلجمی می توانند تانژانت (مماس) باشند.


شما مختصات نقطه ای را که این شلجمی و خط با یکدیگر به اشتراک گذارده اند با استفاده از دستگاه معادلاتی که با این شلجمی و خط شکل گرفته اند، پیدا می کنید. معادل \(y\) را در معادلۀ خط، در معادلۀ شلجمی شکل، جایگذاری می کنید و آن را برای \(x\) حل می کنید.
$$
y=-x^2+5x+6 \\[2ex]
3x+7=-x^2+5x+6 \\[2ex]
0=-x^2+2x-1 \\[2ex]
0=-1(x^2-2x+1) \\[2ex]
0=-1(x-1)^2 \\[2ex]
x=1
$$

با جایگذاری \(x=1\) در معادلۀ خط، به نتیجۀ \(y=3(1)+7=10\) می رسید. مختصات نقطۀ تماس برابر با \((1,10)\) می باشد.

بدون پاسخ

هنگامی که در یک دستگاه معادلاتِ شامل یک شلجمی و خط، پاسخی وجود نداشته باشد، اگر نمودار آن دو شکل را ترسیم کنید، درخواهید یافت که مسیرهای آنها هرگز از یکدیگر عبور نمی کنند. همچنین هنگامیکه برای مسألۀ جبر آن، به یک نتیجۀ بدون پاسخ برسید، در می یابید که آن شلجمی و خط همدیگر را قطع نمی کنند ـــ نیازی هم به ترسیم نمودار آنها نمی باشد. به عنوان مثال، اگر دستگاه معادلاتِ شامل شلجمیِ \(x=y^2-4y+3\) و خطِ \(y=2x+5\) را با استفاده از روش جایگذاری حل کنید، به نتایج زیر خواهید رسید:
$$
x=y^2-4y+3 \\[2ex]
x=(2x+5)^2-4(2x+5)+3 \\[2ex]
x=4x^2+20x+25-8x-20+3 \\[2ex]
0=4x^2+11x+8
$$
حتی با وجود اینکه این درجۀ دوم قابل فاکتورگیری نمی باشد، تاکنون این معادله کاملاً خوب به نظر می رسد. شما نیاز دارید که به فرمول حل کردن معادلات درجه دوم متوسل گردید. اگر در مورد فرمول حل کردن معادلات درجه دوم نیاز به یک یادآوری دارید، فصل 3 را مورد بازنگری قرار دهید. با جایگذاری اعداد از روی معادلۀ درجه دوم در فرمول، به نتایج زیر می رسید:
$$
x=\frac{-11 \pm \sqrt{121-4(4)(8)}}{2(4)}=\frac{-11 \pm \sqrt{121-128}}{8}=\frac{-11 \pm \sqrt{-7}}{8}
$$
صبر کنید! شما می توانید همینجا متوقف شوید. می بینید که مقداری منفی زیر رادیکال قرار گرفته است. جذر \(-7\) عددی حقیقی نمی باشد، بنابراین برای \(x\) پاسخی وجود ندارد (برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد اعداد غیرحقیقی، فصل 14 را ببینید). پاسخ ناموجود (nonexistent) سرنخ بزرگ شما می باشد که این دستگاه معادلات دارای پاسخ مشترکی نمی باشد، بدین معنا که این شلجمی و خط هرگز همدیگر را قطع نمی کنند. شکل 4-13 نمودار این شلجمی و خط را نشان می دهد. شما می توانید ببینید که چرا هیچ پاسخی نیافتید. من دوست داشتم می توانستم یک راه ساده تر به شما نشان بدهم که قبل از انجام همۀ این کارها بتوانید بگویید این دستگاه معادلات دارای پاسخی نمی باشد، اما گاهی اوقات حتی شرلوک هلمز هم برای یافتن سرنخ هایش نیاز به اندکی کاوش بیشتر دارد. یادتان باشد که رسیدن به پاسخِ "بدون پاسخ" یک پاسخ کاملاً شایسته و صحیح می باشد.