اعداد موهومی (Imaginary numbers) نتیجۀ تصورات ریاضیدانان می باشند. نه، اعداد موهومی، واقعی نیستند ـــ اگرچه، آیا هیچ عدد واقعی سُراغ دارید؟ آیا می توانید عددی را لمس کنید؟ آیا می توانید آن را احساس کنید؟ چه کسی تصمیم گرفت تا عدد \(9\) به شکلی که امروزه می بینیم، باشد، و چه چیزی باعث می شود تا بگوییم آن شخص درست گفته است؟





ریاضیدانان اعداد حقیقی (real numbers) را به این شکل تعریف کرده اند: تمامی اعداد کامل، اعداد مثبت و منفی، کسرها و اعداد اعشاری، رادیکال ها ـــ هر چیزی که بتوانید به استفاده از آن در شمارش، ترسیم نمودار، و مقایسۀ مقادیر فکر کنید. ریاضیدانان اعداد موهومی را زمانی معرفی کردند که بدون آنها نمی توانستند حل مسأله ها را به پایان برسانند. به عنوان مثال، هنگامی که یک معادلۀ درجه دوم همچون \(x^2+x+4=0\) را برای رسیدن به ریشه های آن حل می کنید، به سرعت در می یابید که نمی توانید عددی حقیقی را به عنوان ریشه های این معادله بیابید. با استفاده از فرمول حل کردن معادلۀ درجه دوم به نتایج زیر می رسید:
$$
x=\frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4(1)(4)}}{2(1)}=\frac{-1 \pm \sqrt{-15}}{2}
$$
این پاسخها به نوعی پاسخهای نهایی به نظر می رسند ـــ شبیه وقتیکه شما جایی برای رفتن نداشته باشید. اما شما نمی توانید جذر یک عدد منفی را بیابید، زیرا، هیچ عدد حقیقی وجود ندارد که در خودش ضرب گردد و حاصل آن عددی منفی شود. بنابراین، ریاضیدانان به جای اینکه در این مرحله بدون هیچ پاسخ نهایی گیر کنند، به قانون جدیدی دست یافتند: آنها اجازه دادند \(i^2=-1\) باشد. آنها عددی برای جایگزینی با \(\sqrt{-1}\) یافتند، و آن را \(i\) نامیدند. هنگامی که شما جذر هر سمت را می گیرید، به نتیجۀ \(\sqrt{i^2}=\sqrt{-1}, i=\sqrt{-1}\) می رسید. در این شکل، شما می توانید مسأله ها را تکمیل کنید و پاسخها را با \(i\)هایی در آنها بنویسید.

در این فصل، شما درخواهید یافت، چگونه اعداد موهومی و عبارات مختلطی که این اعداد در آنها ظاهر می شوند را ایجاد کنید، با آنها کار کنید، و تجزیه و تحلیلشان نمایید.

ساده سازی توانهایی از \(i\)

توانهایی از \(x\) (که نشان دهندۀ اعداد حقیقی می باشند) ـــ \(x^2\)، \(x^3\) ، \(x^4\)، و به همین ترتیب ـــ از قوانین توانها تبعیت می کنند، مانند اینکه هنگام ضرب توانها، نماها را با یکدیگر جمع می زنید، و موقع تقسیم توانها، نماها را از یکدیگر تفریق می کنید. توانهای \(i\) (که نشان دهندۀ اعداد موهومی می باشند) نیز از این قوانین تبعیت می کنند. هرچند، توانهای \(i\) ، چند ویژگی شسته و رفته دارند که آنها را از سایر اعداد تفکیک می کند.

• \(i=i\)
  
• \(i^2=-1\) : این معادل سازی از تعریف اعداد موهومی می آید.
  
• \(i^3=-i\) : با استفاده از قوانین توان ها ـــ \(i^3=i^2 \cdot i\) ـــ و جایگزین کردن \(i^2\) با \(-1\)؛ بنابراین، \(i^3=(-1) \cdot i = -i\)
  
• \(i^4=1\) : زیرا \(i^4=i^2 \cdot i^2 = (-1)(-1) = 1\)
  
• \(i^5=i\) : زیرا \(i^5=i^4 \cdot i=(1)(i)=i\)
  
• \(i^6=-1\) : زیرا \(i^6=i^4 \cdot i^2 = (1)(-1)=-1\)
  
• \(i^7=-i\) : زیرا \(i^7=i^4 \cdot i^2 \cdot i= (1)(-1)(i)=-i\)
  
• \(i^8=1\) : زیرا \(i^8=i^4 \cdot i^4 = (1)(1)=1\)
  

دو مثال زیر را در نظر بگیرید که توانهایی از \(i\) می باشند، و به چگونگی تعیین کردن مقادیر بازنویسی شدۀ آنها توجه کنید؛ اگر بخواهید توانی از \(i\) را بیابید، از قوانین توانها و چهار توان اول از \(i\) استفاده می کنید:

• \(i^{41}=i\) : زیرا \(i^{41}=i^{40} \cdot i = (i^4)^{10} \cdot (i) = (1)^{10} \cdot i = 1 \cdot i = i\)
  
• \(i^{935}=-i\) : زیرا \(i^{935}=i^{932} \cdot i^3 = (i^4)^{233}(i^3)=(1)^{233}(-i)=1(-i)=-i\)
  

به نظر می رسد فرآیند تغییر دادن توانهای \(i\) کار زیادی را نیاز داشته باشد ـــ بعلاوۀ اینکه شما نیاز دارید تا بدانید چه عددی را در چهار ضرب کنید تا به یک توان بالاتر برسید (شما می خواهید مضربی از چهار را بیابید ـــ بزرگترین مقدار ممکن که از توان مربوطه کوچکتر باشد). اما اگر یک الگوی خاص را در توانهای \(i\) بشناسید، نیازی ندارید تا وارد این مراحل به توان رساندن شوید.


بنابراین، برای تغییر دادن توانهایی از \(i\)، تمام کاری که نیاز به انجام آن دارید اینست که بفهمید، آن توان از \(i\) در ارتباط با مضربهایی از چهار، در کجا قرار دارد. به عنوان مثال، اگر نیاز به مقدار \(i^{5001}\) داشته باشید، می دانید که \(5000\) مضربی از \(4\) می باشد (زیرا با \(00\) خاتمه یافته است)، و \(5001\) مقدار \(1\) واحد از \(5000\) بزرگتر است، بنابراین \(i^{5001}=i\) . هنگامی که قانونی برای کاهش توانهای اعداد داشته باشید، واقعاً عبارتها را ساده تر می کند.