ماتریس و انواع مختلف آن

ماتریس (matrix) یک آرایش مستطیلی شکل از اعداد می باشد. ماتریس دارای تعداد یکسانی از عناصر (elements) در هر کدام از ردیف هایش می باشد، و هر ستون تعداد یکسانی از عناصر را به اشتراک می گذارد. قرار دادن اعداد یا عناصر در یک آرایش منظم به شما امکان می دهد تا اطلاعات را سازماندهی کنید، به سرعت به اطلاعات دسترسی داشته باشید، محاسباتی را انجام بدهید که شامل مقداری از ورودیهای آن ماتریس باشد، و با نتایج بدست آمده به صورت موثر ارتباط برقرار کنید.

در این فصل، شما درخواهید یافت چگونه ماتریس ها را جمع و تفریق کنید، چگونه ماتریس ها را ضرب کنید، و چگونه دستگاه هایی از معادلات را با استفاده از ماتریس ها حل کنید. فرآیندهای این فصل به آسانی برای استفاده در فناوری سازگار می باشند ـــ شما می توانید این اطلاعات را به یک صفحۀ گسترده یا ماشین حساب نموداری برای کمک گرفتن در مورد محاسبۀ مقادیر زیادی از داده ها، منتقل کنید.

توصیف انواع مختلف ماتریس ها

ماتریس دارای اندازه (size)، یا بُعد (dimension) می باشد. شما قبل از اینکه بتوانید با هر عملیات ماتریس کار را ادامه بدهید، باید اندازۀ آن را شناسایی کنید.

یادتان باشد: شما ابعاد (dimensions) یک ماتریس را در یک ترتیب خاص به آن می دهید، ابتدا تعداد ردیف ها (rows) در آن ماتریس را مشخص می سازید، و سپس تعداد ستون ها (columns) را نام می برید. معمولاً، تعداد ردیف ها و ستونها را در دو سمت یک علامت $\times$ قرار می دهید: $ \text{rows } \times \text{ columns}$

در زیر این پاراگراف، شما چهار ماتریس را می بینید. ابعاد آنها به ترتیب از چپ به راست بدین شرح می باشند: $2 × 4$ ، $3 × 3$ ، $1 × 5$ ، و $3 × 1$ . کروشه های (brackets) اطراف آرایش اعداد به عنوان یک شاخص واضح نشان می دهند که شما با ماتریس ها سر و کار دارید.

$$
\begin{bmatrix}
1&3&-2&4\\
0&-3&5&9\\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
4&-2&1\\
-1&0&0\\
-3&3&1\\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
1&2&3&2&4\\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
2\\
0\\
-4\\
\end{bmatrix}
$$

توجه: هنگامی که مجبور هستید با بیش از یک ماتریس سر و کار داشته باشید، می توانید با برچسب گذاری ماتریس ها با اسامی مختلف، آنها را ردیابی نمایید. ماتریس ها را به صورت سنتی با حروف بزرگ الفبا برچسب گذاری می کنند، مانند ماتریس $A$ یا ماتریس $B$ ، تا از آشفتگی جلوگیری شود.

اعدادی که در آرایش مستطیلی شکل ماتریس ظاهر می شوند عناصر (elements) آن ماتریس نامیده می شوند. برای ارجاع دادن به هر عنصر از ماتریس، این کار را با ذکر کردن نام ماتریس، در شکل حروف کوچک، و در ادامۀ آن آوردن شمارۀ ردیف و سپس شمارۀ ستون مربوط به آن عنصر، به صورت زیرنویس، انجام می دهید. به عنوان مثال، عنصر موجود در اولین ردیف و سومین ستون از ماتریکس $B$ را به صورت $b_{13}$ مورد اشاره قرار می دهید. اگر تعداد ردیفها یا ستونها، بزرگتر از نه باشد، بین این دو عدد یک ویرگول (comma) قرار می دهید.

ماتریس سطری، ماتریس ستونی

ماتریس ها در اندازه های (یا ابعاد) بسیاری وجود دارند، درست مانند مستطیل ها، اما به جای اینکه طول و عرض آنها را اندازه گیری کنید، تعداد سطرها و ستونهای ماتریس را اندازه گیری می کنید. ماتریس هایی را که تنها یک سطر داشته باشند، ماتریس سطری (row matrix) و ماتریس هایی را که تنها یک ستون داشته باشند، ماتریس ستونی (column matrix) می نامند. یک ماتریس سطری، دارای ابعاد $1 \times n$ می باشد، که در آن $n$ تعداد ستونها است. ماتریس $A$ که در ادامه آمده است، یک ماتریس سطری با ابعاد $1 \times 5$ می باشد:
$$
A=
\begin{bmatrix}
1&-3&4&5&0
\end{bmatrix}
$$
یک ماتریس ستونی، دارای ابعاد $m \times 1$ می باشد. ماتریس $B$ که در شکل زیر نشان داده شده است، یک ماتریس ستونی با ابعاد $4 \times 1$ می باشد.
$$
B=
\begin{bmatrix}
6\\
-3\\
0\\
1\\
\end{bmatrix}
$$

ماتریس مربعی

ماتریس مربعی (square matrix) دارای تعداد برابری سطر و ستون می باشد. ماتریس های مربعی دارای ابعادی همچون $2 \times 2$ ، $3 \times 3$ ، $8 \times 8$ ، و به همین ترتیب می باشند. عناصر (درایه ها) ماتریس های مربعی می توانند هر تعداد باشند ـــ گرچه، برخی از ماتریس های مربعیِ خاص دارای برچسب ماتریس های همانی (identity matrices) می باشند (در همین فصل به ماتریس همانی خواهیم پرداخت). همۀ ماتریس ها دارای آرایش مستطیلی شکل می باشند، و مربع نیز نوع خاصی از مستطیل ها است.

ماتریس صفر

ماتریس های صفر (Zero matrices) می توانند هر ابعادی را داشته باشند ـــ می توانند دارای هر تعداد سطر یا ستون باشند. ماتریس های نشان داده شده در شکل زیر همگی ماتریس ها صفر هستند، زیرا درایه های (عناصر یا اجزاء) آنها از صفر تشکیل شده است.

یادتان باشد: ماتریس های صفر ممکن است زیاد چشمگیر به نظر نرسند ـــ از این گذشته، چیز زیادی در خودشان ندارند ـــ اما برای انجام عملیات حسابی بر روی ماتریس ها ضروری می باشند. درست مانند اینکه برای جمع و تفریق به صفرها نیاز دارید، برای جمع و تفریق ماتریس ها نیز به ماتریس های صفر نیاز دارید.

$$
C=
\begin{bmatrix}
0&0&0\\
0&0&0\\
0&0&0\\
\end{bmatrix}

D=
\begin{bmatrix}
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
\end{bmatrix}
$$

ماتریس همانی

ماتریس های همانی (Identity matrices) چندین ویژگی را از لحاظ ابعاد و درایه هایشان، به شکل ماتریس صفر اضافه می کنند. یک ماتریس همانی باید:

یک ماتریس مربعی باشد.
دارای یک نوار مورب از $1$ها باشد که از سمت بالا و چپ ماتریس تا سمت پایین و راست ماتریس امتداد یافته باشد.
دارای صفرها خارج از محدودۀ این نوار مورب $1$ها باشند.

در ادامه سه ماتریس همانی را می بینید، هرچند شما می توانید با سبک های بسیاری آنها را ببینید.
$$
E=
\begin{bmatrix}
1&0\\
0&1\\
\end{bmatrix}

F=
\begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1\\
\end{bmatrix}

G=
\begin{bmatrix}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
$$

یادتان باشد: ماتریس های همانی ابزاری برای ضرب ماتریس ها و معکوس ماتریس ها می باشند. ماتریس های همانی بسیار شبیه عدد یک در ضرب اعداد عمل می کنند. اگر عددی را در یک ضرب کنید، چه اتفاقی می افتد؟ آن عدد هویت خودش را حفظ می کند. هنگامی که یک ماتریس را در یک ماتریس همانی ضرب می کنید، همان رفتار را مشاهده می کنید ـــ آن ماتریس بدون تغییر باقی می ماند.

آموزش قبلی صفحۀ اصلی دوره آموزش بعدی