یکی از زیباترین کاربردهای ماتریسها اینست که می توانید با استفاده از آنها دستگاه های معادلات خطی را حل کنید. در فصل 12، دریافتید که چگونه می توانید دستگاه های معادلاتی متشکل از دو، سه، چهار، و تعداد بیشتری معادلات خطی را حل کنید. روش هایی که در آن فصل مورد استفاده قرار دادید، شامل حذف متغیرها و جایگذاری بودند. هنگامی که از ماتریسها استفاده می کنید، تنها به ضریب های متغیرهای موجود در مسأله رسیدگی می کنید. این روش آشفتگی کمتری دارد و حتی برای راحتی بیشتر، شما می توانید ماتریسها را در ماشین حسابهای نموداری و یا برنامه های کامپیوتری وارد نمایید.







برای حل کردن یک دستگاه معادلات مراحل زیر را دنبال کنید:

1. اطمینان حاصل کنید که تمامی متغیرهای موجود در معادلات در ترتیب یکسانی باشند.
   فقدان هر متغیر را با قرار دادن صفر پر کنید، و تمامی ثابتها را در سمت دیگر متغیرها در معادله قرار دهید.
   
2. یک ماتریس مربعی از ضریبها با نام \(A\) بسازید، از ضریب متغیرها در این ماتریس استفاده نمایید.
   
3. یک ماتریس ستونی از ثابتها با نام \(B\) بسازید، از مقادیر ثابت معادلات در این ماتریس استفاده کنید.
   
4. معکوس ماتریس ضریبها، یعنی \(A^{-1}\) را بیابید.
   شما می توانید این مرحله را با استفاده از روشی که در همین فصل گفتیم و یا با استفاده از ماشین حسابهای نموداری یا کامپیوترها انجام دهید.
   
5. معکوس ماتریس ضریبها را در ماتریس ثابتها ضرب کنید ـــ \(A^{-1} \cdot B\)
   ماتریس ستونی حاصل از ضرب این دو ماتریس، شامل پاسخهای دستگاه یا همان مقادیر متغیرها به ترتیب از بالا به پایین می باشد.
   

به عنوان مثال، فرض کنید می خواهید دستگاه معادلات زیر را حل کنید:
$$
\begin{cases}
x-2y+8z=5 \\[2ex]
2x+15z=3y+6 \\[2ex]
8y+22=4x+30z
\end{cases}
$$
ابتدا این معادلات را به نحوی بازنویسی می کنید که متغیرها به ترتیب ظاهر شوند و ثابتها در سمت راست معادلات قرار گیرند:
$$
\begin{cases}
x-2y+8z=5 \\[2ex]
2x-3y+15z=6 \\[2ex]
-4x+8y-30z=-22
\end{cases}
$$
اکنون مراحل \(2\) و \(3\) را با نوشتن ماتریس ضریبها، \(A\) ، و ماتریس ثابتها، \(B\)، انجام می دهید:
$$
A=
\begin{bmatrix}
1&-2&8\\
2&-3&15\\
-4&8&-30\\
\end{bmatrix}
, B=
\begin{bmatrix}
5\\
6\\
-22
\end{bmatrix}
$$
مرحلۀ \(4\) یافتن معکوس ماتریس \(A\) می باشد. این مراحل را دنبال کنید:

• ماتریس همانی را در کنار ماتریس اصلی بنویسید.
  
• سطر \(2\) را با \(-2\) ضربدر سطر \(1\) جمع بزنید و حاصل را در سطر \(2\) قرار دهید.
  
• سطر \(3\) را با \(4\) ضربدر سطر \(1\) جمع بزنید و حاصل را در سطر \(3\) قرار دهید.
  
• سطر \(1\) را با \(2\) ضربدر سطر \(2\) جمع بزنید و حاصل را در سطر \(1\) قرار دهید.
  
• سطر \(3\) را در \(0.5\) ضرب کنید.
  
• سطر \(1\) را با \(-6\) ضربدر سطر \(3\) جمع بزنید و حاصل را در سطر \(1\) قرار دهید.
  
• سطر \(2\) را به سطر \(3\) بیفزایید و حاصل را در سطر \(2\) قرار دهید.
  

ماتریس معکوس بدست آمد:
$$
A^{-1}=
\begin{bmatrix}
-15&2&-3\\
0&1&0.5\\
2&0&0.5\\
\end{bmatrix}
$$
حالا معکوس ماتریس \(A\) را در ماتریس ثابت یعنی \(B\) ضرب کنید؛ به یک ماتریس ستونی می رسید که پاسخها به ترتیب \(x\) ، \(y\) ، و \(z\) از بالا به پایین در آن لیست شده اند:
$$
A^{-1} \cdot B=
\begin{bmatrix}
-15&2&-3\\
0&1&0.5\\
2&0&0.5\\
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
5\\
6\\
-22
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3\\
-5\\
-1
\end{bmatrix}
$$
این ماتریس ستونی به شما می گوید که \(x=3\)، \(y=-5\)، و \(z=-1\) می باشند.