خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


به کار بردن مجموع دنباله ها در دنیای واقعی

به کار بردن مجموع دنباله ها در دنیای واقعی
نویسنده : امیر انصاری
داشتن ابزارهایی برای جمع کردن تمامی جملات موجود در یک دنبالۀ ریاضی از دیدگاه انجام تکالیف درسی، بسیار رضایتبخش است، اما خارج از کلاس درس هدف از آن چیست؟ چرا شخصی باید نیاز داشته باشد تا قادر به جمع زدن جملات دنباله ها در دنیای واقعی باشد؟ شما ممکن است از کاربردهای محتمل آن در جنبه های مختلف زندگی و شغلی، سورپرایز شوید. امیدوارم، این سه مثال که در این کتاب آورده ام راهنمایی در مورد سودمند بودن دانستن مجموع جملات دنباله ها برای شما باشد.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



تمیز کردن آمفی تئاتر


بعد از اینکه یک گروه موسیقی محبوب در یک آمفی تئاتر بزرگ برنامه اش را اجرا کرد، شما برای کار تمیز کردن سالن آن استخدام شده اید. یکی از وظایف شما اینست که تمامی صندلی هایِ طبقۀ اصلی را با بخار تمیز کنید. از آنجا که تمیز کردن هر صندلی، دو دقیقه زمان می برد، شما نیاز دارید تا زمان کافی برای انجام کل کار تخصیص بدهید. رئیس تعمیر و نگهداری به شما می گوید که ردیف اول دارای \(36\) صندلی می باشد، و هر ردیف بعد از آن دارای یک صندلی بیشتر می باشد. سالن تئاتر دارای \(25\) ردیف است. چندتا صندلی در سالن قرار دارد؟ چقدر زمان برای تمیز کردنشان نیاز است؟

این مسأله نیاز به مجموع یک دنبالۀ حسابی دارد. اولین جمله برابر با \(36\) می باشد، تفاضل مشترک \(1\) است، و شما \(25\) جمله دارید. با استفاده از فرمول محاسبۀ مجموع جملات یک دنبالۀ حسابی، شما محاسبات زیر را انجام می دهید:
$$
S_n={n \over2}[2a_1+(n-1)d] \\[2ex]
={25 \over2}[2(36)+(25-1) \cdot 1] \\[2ex]
={25 \over2}[72+24] \\[2ex]
={25 \over2}[96]=1,200
$$
شما \(1,200\) صندلی دارید که باید با بخار تمیزشان کنید. با توجه به اینکه تمیز کردن هر کدام از صندلی ها \(2\) دقیقه زمان می برد، باید \(2,400\) دقیقه یا بعبارتی \(40\) ساعت برای این کار وقت بگذارید. شاید بهتر باشد از سایرین کمک بگیرید!

مذاکره کردن برای پول تو جیبی تان


شما به پدرتان نزدیک می شوید و با او در مورد افزایش پول توجیبی تان صحبت می کنید، زیرا \($10\) در هفته برای هزینه های شما کفایت نمی کند. او پاسخ می دهد: "به هیچ وجه. مگر تا زمانی که نمرات ریاضی تان را بهبود دهید." سپس با او مذاکره می کنید و پیشنهاد زیر را به او می دهید: در روز اول ماه \(1\) سنت بگیرید، در روز دوم ماه \(2\) سنت، در روز سوم \(4\) سنت، در روز چهارم \(8\) سنت، و به همین ترتیب، هر روز مبلغ دوبرابر روز قبل شود، و این رویه تا آخر ماه ادامه یابد. در آن مرحله، پدرتان نمرات ریاضی شما را بررسی کند و اگر نمراتتان خوب بود اقدام به افزایش پول توجیبی تان کند. او می داند که شما چقدر حیله گر هستید، بنابراین از شما می خواهد تا توضیح دهید که قبل از اینکه او موافقت کند چه کار می خواهید کنید.

با این سیستم جدید در ماه ژانویه که \(31\) روز دارد، چقدر بدست می آورید؟ با استفاده از فرمول مجموع دنباله های هندسی که اولین جملۀ آن \(1\) ، نسبت مشترک آن \(2\)، و تعداد جملات \(31\) می باشند، محاسبات زیر را انجام می دهید:
$$
S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r} \\[2ex]
= \frac{1(1-2^{31})}{1-2} \\[2ex]
= \frac{1(1-2,147,483,648)}{-1} \\[2ex]
= 2,147,483,647
$$
البته پاسخ شما در واحد پنی (سکه یک سنتی) می باشد، بنابراین آن را به دلار تبدیل می کنید. پول توجیبی شما مجموعاً \($21,474,836.47\) می شود. حالا پدرتان در مورد مهارتهای ریاضی تان چه فکری خواهد کرد؟!

توپ فنری


مثال توپ فنری از کتاب اول من یعنی جبر 1 می آید. اگر می خواهید روی این مثال مروری داشته باشید اینجا را بخوانید. در آنجا از مثال توپ فنری استفاده کردم تا به شما نشان بدهم توانها چگونه کار می کنند؛ البته فرمولی را هم در آنجا مورد استفاده قرار دادم که بدلیل نبودن پیش نیازهای آموزشی لازم، تفسیرش نکردم که در اینجا جزئیات آن را خواهید دید.

شما می خواهید مجموع فواصلی را که یک توپ فنری در برخوردهایش با زمین دارد را در \(n\) جهش، محاسبه کنید (مسافتی که توپ بالا می رود و پایین می آید، دوباره بالا می رود و پایین می آید و ...)، همینطور سقوط اولیه توپ را نیز در آن لحاظ کنید. مفروض مسأله بر اینست که هربار که توپ به زمین می خورد \(75\) درصد ارتفاعی را که از آن سقوط کرده است، بالا می رود. شما این توپ را از یک پنجره در ارتفاع \(40\) فوتی به سمت زمین رها می کنید. شکل 2-16 بهتر این مسأله را نشان می دهد.

به کار بردن مجموع دنباله ها در دنیای واقعی
همانطور که در تصویر می بینید، فاصلۀ اولیه \(40\) فوت می باشد. توپ \(75\) درصد این ارتفاع را به سمت بالا باز می گردد، که می شود \(30\) فوت، و دوباره \(30\) فوت سقوط می کند. دوباره \(75\) درصد ارتفاع قبلی اش بالا می رود، که می شود \(22.5\) فوت، و این فرآیند تکرار می شود. به استثناء اولین سقوط که \(40\) فوت است، سایر اندازه ها هر کدام دوبار رو به سمت بالا و پایین اتفاق می افتند.

سوال اینست که این توپ فنری، در \(10\) جهش مجموعاً چه مسافتی را طی می کند، بعلاوۀ مسافت اولیه؟ برای یافتن پاسخ این سوال با استفاده از دنبالۀ هندسی، اولین جمله را برابر با \(30\) قرار می دهید، نسبت برابر با \(0.75\) می باشد و تعداد دفعات یعنی \(n\) برابر با \(10\) می باشد. شما این مجموع را دو برابر می کنید تا مسافتی را که توپ رو به سمت بالا و پایین طی کرده است را بدست آورید، و در نهایت آن \(40\) فوت اولیه را نیز به آن می افزایید.

ابتدا، مجموع جملات دنباله را بدست می آورید:
$$
S_{10}=\frac{30(1-0.75^{10})}{1-0.75} \\[2ex]
=\frac{30(1-0.0563135147)}{0.25} \\[2ex]
=\frac{30(0.9436864853)}{0.25} \\[2ex]
=113.2423782
$$
اکنون، مجموع جملات دنباله را دوبرابر می کنید و \(40\) فوت اولیه را نیز بدان می افزایید:
$$ 2(113.2423782) + 40 = 266.4847565 \text{ feet} $$
این توپ در \(10\) جهش، در حدود \(266\) فوت را می پیماید. احسنت!

نکات فنی: فرمولی که در کتاب جبر 1 مطرح نمودم به این شکل بود:
\( \text{Distance } = 40 + 240 \bigl[ 1-0.75^n \bigr] \) . من این فرمول را با دوبرابر کردن فرمول مجموع جملات دنباله و افزودن \(40\) به آن به شرحی که در ادامه جزئیاتش را می بینید، ایجاد کرده ام:
$$
\text{Distance } = 40 + 2 \biggl[ \frac{30(1-0.75^n)}{1-0.75} \biggr] \\[2ex]
= 40 + \frac{60(1-0.75^n)}{0.25} \\[2ex]
= 40 + \frac{60(1-0.75^n)}{0.25} \cdot {4\over4} \\[2ex]
= 40 + \frac{4(60)(1-0.75^n)}{4(0.25)} \\[2ex]
= 40 + \frac{240(1-0.75^n)}{1} \\[2ex]
= 40 + 240(1-0.75^n) \\[2ex]
$$



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.