فرمولهای خاص برای مجموع جملات دنباله ها

جبر چندین نوع خاص از دنباله ها و سری ها را ارائه می دهد که ممکن است در ریاضیات عالی (higher mathematics) همچون حسابان (calculus) و در کاربردهای مالی و کاربردهای فیزیک، به وفور از آنها استفاده کنید. در این کاربردها، شما فرمول هایی برای محاسبۀ مجموع جملات این دنباله ها دارید. جمع زدن اعداد صحیح متوالی کاری است که با فرمولی که در اختیار دارید، کار آسانی شده است. همچنین، شمارش کاشی های مورد استفاده در کفِ زمین یا مورد استفاده در خاتم کاری، محاسبۀ مجموع مبلغ حقوق مقرری سالیانه، و کاربردهای اینچنینی دیگر نیز از مجموع اعداد موجود در دنباله ها استفاده می کنند.

قوانین جبر: در اینجا چندین فرمول خاص برای محاسبۀ مجموع جملات موجود در دنباله ها را می بینید:

مجموع $n$ عدد صحیح مثبت اول:
$$ 1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2} $$
مجموع مربع $n$ عدد صحیح مثبت اول:
$$ 1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$
مجموع مکعب $n$ عدد صحیح مثبت اول:
$$ 1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4} $$
مجموع $n$ عدد فرد و صحیح مثبت اول:
$$ 1+3+5+7+...+(2n-1)=n^2 $$

به عنوان مثال، اگر مجموع $10$ عدد مربع صحیح مثبت اول را بخواهید، با استفاده از فرمول آن به نتایج زیر می رسید:
$$
\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\[3ex]
1+4+9+...+100=\frac{10(10+1)(20+1)}{6} \\[3ex]
=\frac{10(11)(21)}{6} =385
$$
توجه داشته باشید که $n$ تعداد جملات می باشد و نه خود جمله.

یادتان باشد: برای استفاده از فرمول مجموع اعداد فرد صحیح مثبت، شما نیاز دارید تا تعداد جملات را مشخص سازید ـــ که در انتهای دنبالۀ این اعداد مشخص شده است. به عنوان مثال، اگر بخواهید تمامی اعداد فرد بین $1$ تا $49$ را جمع بزنید، شما در اینجا جملۀ $49$ را مشخص کرده اید. با استفاده از معادلۀ $2n-1$ برای $49$ ، خواهید دید که $n=25$ می گردد، زیرا $2(25)-1=50-1=49$ . بنابراین، از $n=25$ در فرمول استفاده می کنید:
$$
1+3+5+...+49=25^2=625
$$

آموزش قبلی صفحۀ اصلی دوره آموزش بعدی