هنگامی که عملیات فاکتوریل (Factorial) را انجام می دهید، عددی را که عملیات فاکتوریل را بر روی آن انجام می دهید در هر عدد صحیح مثبتِ کوچکتر از آن عدد ضرب می کنید. عملیات فاکتوریل با یک علامت تعجب \((!)\) نشان داده می شود. من عملیات فاکتوریل را در فصل 16 پوشش دادم و از آن در برخی از دنباله ها استفاده نمودم، اما تا زمانی که از آن در جایگشت (permutations)، ترکیب (combinations)، و مسأله های احتمال (probability)، استفاده نکنید، به جایگاه اصلی آن نمی رسید.





یکی از دلایل اصلی که از عملیات فاکتوریل در ارتباط با مجموعه ها استفاده می کنید، شمارش تعداد اعضاء آن مجموعه می باشد. هنگامی که اعداد زیبا، مجزا، و کوچک هستند، شما هیچ مشکلی ندارید. اما هنگامی که مجموعه ها بسیار بزرگ می شوند ـــ مانند شمارش تعداد دست دادن افراد با یکدیگر وقتیکه در یک باشگاه \(40\) نفر، همگی با یکدیگر دست می دهند ـــ شما نیاز به روشی برای شمارش سیستماتیک دارید. فاکتوریل ها درون فرمولها قرار می گیرند تا اینگونه شمارش ها را برای شما میسر سازند.

قابل مدیریت ساختن فاکتوریل

هنگامیکه عملیات فاکتوریل را در یک مسألۀ شمارش یا گسترش دوجمله ایها در جبر، به کار می گیرید، خود را در معرض این ریسک قرار می دهید که اعداد بسیار بزرگی را تولید کنید. فقط ببینید که چقدر سریع فاکتوریل رشد می کند:
$$
1! = 1 \\
2! = 2 \cdot 1 = 2 \\
3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \\
4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \\
5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \\
6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720 \\
7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5,040 \\
8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 40,320 \\
9! = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 362,880 \\
10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3,628,800
$$
دو عدد آخر را در لیست بررسی کنید. شما می توانید ببینید که \(10!\) ارقامی مشابه با \(9!\) دارد ـــ فقط یک صفر اضافی دارد. این مشاهده یکی از ویژگیهای عملیات فاکتوریل را شرح می دهد. ویژگی دیگر، تعریف \(0!\) می باشد.


اگر بدانید که \(13! = 6,227,020,800\) است، و به دنبال \(14!\) باشید، ابتدا باید ماشین حسابتان را امتحان کنید. بیشتر ماشین حسابهای دستی، زمانی که به عددی تا این حد بزرگ می رسند، آن را با نماد علمی نشان می دهند. ماشین حسابها مقدار دقیق آن را به شما نمی دهند ـــ آن را تا هشت رقم اعشار گرد می کنند. اما اگر شما خستگی ناپذیر باشید، می توانید \(14!\) را با استفاده از ویژگی اول فاکتوریل بیابید:
\(14!=14 \cdot 13!=14(6,227,020,800) = 87,178,291,200\) . (به صورت دستی ضرب شده است!)

ساده سازی فاکتوریل

فرآیند ساده سازی فاکتوریل در کسرها، مسأله های ضرب، یا فرمولها، به حد کافی ساده می باشد، مشروط بر اینکه چگونگی کارکرد عملیات فاکتوریل را به خاطر داشته باشید. به عنوان مثال، اگر بخواهید کسر \(\frac{8!}{4!}\) را ساده سازی کنید، شما نمی توانید صرفاً \(8\) را بر \(4\) تقسیم کنید تا به \(2!\) برسید. فاکتوریل ها اینگونه کار نمی کنند. شما درخواهید یافت که کاهش کسرها و سپس کار کردن با آن مقادیر در یک کسر، بسیار ساده تر و دقیقتر از تلاش برای یافتن مقادیر بزرگ ایجاد شده توسط فاکتوریل ها می باشد.

شما رشته ای از اعداد را که در یکدیگر ضرب شده اند، دارید، بنابراین حاصلضرب تمامی آن اعداد برای استفاده در فاکتورگیری یا کاهش یک کسر، مناسب می باشند. به دو فاکتوریل زیر توجه کنید:
$$
\frac{8!}{4!}=\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}
$$

شما می بینید که در هنگام پاسخ دادن به یک مسأله همچون \({40! \over 37!3!}\) ، این فرآیند چقدر سودمند می باشد. مقدار \(40!\) بسیار بزرگ است، و همچنین \(37!\) نیز عدد خیلی بزرگی است. اما شکل کاهش یافته شدۀ این کسر کاملاً زیبا می باشد. شما می توانید این کسر را با استفاده از ویژگی اول فاکتوریل ها کاهش دهید:
$$
\frac{40!}{3!37!}=\frac{40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 37!} \\
=\frac{40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot \cancel{37!}}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cancel{37!}} \\
=\frac{40 \cdot \cancel{39}^{13} \cdot \cancel{38}^{19} \cdot}{\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1 \cdot} \\
=40 \cdot 13 \cdot 19=9,880
$$
مقادیر \(39\) و \(38\) در صورت کسر هر کدام بر یکی از فاکتورهای موجود در مخرج کسر بخش پذیر هستند. آنچه را که باقی مانده است در یکدیگر ضرب می کنید تا به پاسخ مسأله برسید.