شما سالها پیش با جدول ضرب آشنا شدید. شما به سرعت می توانید حاصلضرب \(7\) و \(9\) یا \(8\) و \(6\) را یگویید. در این فصل، شما چند الگو و ترفند جدید یاد می گیرید تا در حاصلضرب ها و عملیات ها به شما کمک کنند ـــ ترفندهایی که در زمان شما صرفه جویی می کنند. همچنین شما تمایل دارید که وقتی از این ترفندها استفاده می کنید به پاسخ صحیح برسید (قطعاً که به دنبال پاسخهای اشتباه نمی باشید). و به این فکر کنید که چطور با استفاده از این ترفندها می توانید دوستان و همکارانتان را شگفت زده کنید.





اما قبل از اینکه کار را شروع کنید، باید یک اعترافی بکنم: در این فصل ترفندهای دیگری را نیز بازگو کرده ام، چون می دانستم شما عاشق آنها هستید.

مربع کردن اعدادی که به \(5\) ختم می شوند

شما می دانید که مربع \(5\) برابر با \(25\) است. اما در مورد \(15^2\) ، \(25^2\) ، \(35^2\) ، و به همین ترتیب، چطور؟ ماشین حسابتان همراهتان نیست؟ نگران نباشید.


به عنوان مثال، برای مربع کردن \(35\) ، ابتدا \(25\) را که دو رقم آخر پاسخ می باشد، می نویسید. اکنون \(3\) را در عدد بزرگتر بعد از آن یعنی \(4\) ضرب می کنید تا به \(12\) برسید. \(12\) را قبل از \(25\) می نویسید، و اکنون پاسخ را دارید: \(35^2=1,225\) . برای مربع کردن \(65\)، شما می دانید که \(6 \cdot 7 = 42\) ، پس \(65^2=4,225\) .

این ترفند حتی در مورد اعداد سه رقمی نیز درست کار می کند. شما می توانید مربع عدد \(105\) را با ضرب کردن \(10 \cdot 11\) که به شما \(110\) را نتیجه می دهد، بدست آورید: \(105^2=11,025\) .

یافتن مربع کامل بعدی

در بخش قبلی، شما دریافتید چگونه مربع اعدادی را که به \(5\) ختم می شوند، محاسبه کنید. اما در مورد سایر مربع ها چطور؟ یک ویژگی بسیار زیبا که شما می توانید مورد استفاده قرار دهید، با مربع بعدی در هر لیستی از مربع های اعداد کامل، سر و کار دارد. این ویژگی بیان می دارد که شما می توانید با گرفتن مربع عددی که هم اکنون دارید و افزودن ریشه عدد فعلی بعلاوۀ عدد بعدی، به مربع بعدی در لیست برسید.

به عنوان مثال، اگر بدانید که \(25^2=625\) ، و به دنبال \(26^2\) باشید، صرفاً کافیست \(625\) را با \(25\) و سپس با \(26\) جمع بزنید، که برابر با \(625+25+26=676\) می شود. برای یافتن مربع \(81\) ، ابتدا مربع \(80\) را بدست می آورید که می شود \(80^2=6,400\) و سپس عناصر مربوطه را به آن می افزایید: \(6,400+80+81=6,561\) .

شناسایی الگوها در مضرب های \(9\)

آیا تاکنون متوجه چیز خاصی در مورد ده مضرب اولیۀ عدد \(9\) شده اید؟ در اینجا این لیست را می بینید (توجه داشته باشید که من اولین مضرب را به یک عدد دو رقمی تبدیل کرده ام):
\(09, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90\)
هر کدام از این مضربها دارای دو رقم می باشند که حاصل جمع آن دو رقم \(9\) می شود. همچنین، رقم اول هر مضرب برابر با یک واحد کمتر از ضریب آن می باشد. بنابرین، هنگامی که \(7\) را در \(9\) ضرب می کنید، شما با یک رقم کمتر از \(7\) آغاز می کنید، یعنی عدد \(6\). برای بدست آوردن حاصلجمع، \(9-6\) را که برابر با \(3\) می شود بدست می آورید. حاصلضرب \(7\) و \(9\) برابر با \(63\) می باشد.

بیرون راندنِ \(9\)ها: عملیات جمع

یک روش عالی برای انجام سریع درست آزمایی عملیات جمع یا ضرب اینست که \(9\)ها را بیرون برانیم. ساده ترین راه برای توصیف این روش اینست که آن را نشان دهیم.

فرض کنید شما باید ستونهای زیر را با یکدیگر جمع بزنید، و می خواهید بدون اینکه دوباره عملیات جمع را تکرار کنید، کارتان را درست آزمایی نمایید (بسیاری از مردم، با جمع زدن دوباره متوجه خطایشان نمی شوند، زیرا همان اشتباه را دوباره تکرار می کنند ـــ این اشتباه در مغزشان جاساز شده است):
$$
\begin{array}{c c}
&1492 \\
&1984 \\
&2006 \\
&1776 \\
+&1812 \\ \hline
&9070 \\
\end{array}
$$
برای درست آزمایی کارتان، به تمامی ارقام در اعداد نگاه می کنید. با خط زدن همۀ \(9\)ها کار را آغاز کنید. و در اینجا متوقف نشوید! شما همچنین باید تمامی اعدادی را که حاصلجمعشان با یکدیگر \(9\) می گردد را نیز خط بزنید ـــ \(1\) و \(8\) در دومین عدد، و \(1\) و \(8\) در پنجمین عدد. شما همچنین \(2\) و \(6\) را در سومین عدد و \(1\) در چهارمین عدد را خط می زنید:
$$
\require{cancel}
\begin{array}{c c}
&14\cancel{9}2 \\
&\cancel{1} \cancel{9}\cancel{8}4 \\
&\cancel{2}00\cancel{6} \\
&\cancel{1}776 \\
+&\cancel{1}\cancel{8}12 \\ \hline
&9070 \\
\end{array}
$$
اکنون \(1\) ، \(4\) ، و \(4\) را در اولین و دومین عدد خط بزنید. \(2\) و \(7\) را در اولین و چهارمین عدد و \(7\) و \(2\) را در چهارمین و پنجمین عدد خط بزنید:
$$
\require{cancel}
\begin{array}{c c}
&\cancel{1}\cancel{4}\cancel{9}\cancel{2} \\
&\cancel{1}\cancel{9}\cancel{8}\cancel{4} \\
&\cancel{2}00\cancel{6} \\
&\cancel{1}\cancel{7}\cancel{7}6 \\
+&\cancel{1}\cancel{8}1\cancel{2} \\ \hline
&9070 \\
\end{array}
$$
چه چیزی باقی می ماند؟ چیز زیادی باقی نمی ماند! تمامی اعدادی را که خط نخورده اند با یکدیگر جمع بزنید. به نتیجۀ \(0+0+6+1=7\) می رسید. اگر عددی که بدست آورده اید بزرگتر از \(9\) باشد، ارقام آن جمع را با یکدیگر جمع بزنید (و باز هم اگر بزرگتر از \(9\) باشد ارقام آن جمع را با یکدیگر جمع بزنید).

اکنون به پاسخ در مسالۀ جمع نگاه کنید. \(9\) را در آن خط بزنید، و \(7\) باقی می ماند. این \(7\) با آن \(7\) که در درست آزمایی بدست آوردید، مطابقت می کند. این مجموع درست آزمایی می شود، زیرا این اعداد با هم یکسان هستند.

بیرون راندن \(9\)ها: عملیات ضرب

بخش قبلی به شما نشان داد چگونه با بیرون راندن \(9\)ها عملیات جمع را درست آزمایی کنید؛ در اینجا چگونگی بیرون راندن \(9\)ها را در یک عملیات ضرب می بینید. شما \(9\)ها و یا مجموع \(9\)ها را در اولین عدد خط می زنید. (اگر نتوانید چیزی را خط بزنید، ارقام را با هم جمع بزنید. اگر مجموعشان از \(9\) بزرگتر باشد، دوباره آن ارقام را با هم جمع بزنید.) کار یکسانی را در مورد عدد دوم انجام دهید. این فرآیند را دوباره با پاسخ تکرار کنید. در اینجا مثالی داریم:
$$
\begin{array}{c c}
&4812 \\
\times &7535\\ \hline
&36,258,420
\end{array}
$$
در عدد اول، مجموع \(9\) را \((8+1)\) خط می زنید و سپس دو رقم باقیمانده را با هم جمع می زنید \((4+2=6)\). در عدد دوم، ارقام را با هم جمع می زنید و به مجموع \(20\) می رسید. سپس آن ارقام را با هم جمع می زنید \((2+0)\) تا به مجموع \(2\) برسید. در پاسخ، دو مجموعه از ارقام را که حاصلجمعشان \(9\) می شود، می یابید \((3+6, 5+4)\) . بعد از خط زدن آنها، باقیماندۀ ارقام را با هم جمع می زنید و سپس مجموعشان را با هم جمع می زنید \((2 + 8 + 2 + 0 = 12; 1 + 2 = 3)\) .

با ضرب کردن مجموع \(6\) که از عدد اول بدست آمده است در \(2\) که از عدد دوم بدست آمده است به \(12\) می رسید. دو رقم \(12\) را با هم جمع می زنید که \(3\) می شود. این \(3\) با \(3\) بدست آمده از پاسخ مطابقت می کند. این پاسخ درست آزمایی شد.

ضرب کردن در \(11\)

ضرب کردن اعداد تک رقمی در \(11\) ساده می باشد. شما صرفاً آن تک رقم را می گیرید، دو تا از آن می سازید، و کار تمام است. ضرب کردن عددی بزرگتر در \(11\) اندکی مهارت می خواهد. اگرچه، شما می توانید با قرار دادن \(0\) در ابتدا و انتهای عدد مربوطه و جمع زدن ارقام مجاور با یکدیگر، کار را آسان کنید.

به عنوان مثال، هنگامیکه ضرب \(142,327 \cdot 11\) را انجام می دهید، یک صفر در ابتدا و انتهای عدد قرار می دهید، هر رقم در عدد اصلی را دوبار ذکر می کنید که نتیجۀ \(01144223322770\) را می دهد. اکنون هر جفت از ارقام مجاور را با یکدیگر جمع می زنید:
$$ 0 + 1, 1 + 4, 4 + 2, 2 + 3, 3 + 2, 2 + 7, 7 + 0 $$
حاصل جمع ها عبارت از \(1, 5, 6, 5, 5, 9, 7\) می باشند، بنابراین حاصلضرب \(142,327 \cdot 11\) برابر با \(1,565,597\) می شود.


به عنوان مثال، هنگام ضرب \(56,429 \cdot 11\) ، شما جمعهای زیر را انجام می دهید:
$$ 0 + 5, 5 + 6, 6 + 4, 4 + 2, 2 + 9, 9 + 0 $$
حاصل جمع ها عبارت از \(5, 11, 10, 6, 11, 9\) می باشند. اگر از سمت راست پاسخ آغاز کنید، خواهید دید که آخرین رقم برابر با \(9\) می باشد. حالا این مراحل را دنبال کنید:

1. رقم یکان \(11\) یعنی \(1\) را به جای \(11\) قبل از \(9\) بنویسید و رقم دهگان آن یعنی \(1\) را به سمت چپ منتقل کنید، با این انتقال رقم \(6\) در سمت چپِ آن به \(7\) تبدیل می شود. حالا \(7\) را قبل از \(1\) بنویسید.
   هم اکنون \(719\) را دارید.
   
2. رقم \(0\) را قبل از \(7\) بنویسید و دهگان آن یعنی \(1\) را به سمت چپ منتقل کرده و با عدد \(11\) جمع بزنید.
   اکنون \(0719\) را دارید.
   با افزودن \(1\) به \(11\) نتیجۀ \(12\) را جایگزین آن کنید.
   
3. رقم \(2\) را قبل از \(0\) بنویسید و دهگان آن یعنی \(1\) را به سمت چپ یعنی \(5\) بیفزایید تا تبدیل به \(6\) شود. \(6\) را قبل از \(2\) بنویسید.
   اکنون \(620,719\) را دارید.
   

بنابراین:
$$ 56,429 \cdot 11 = 620,719 $$

ضرب کردن در \(5\)

برای ضرب ذهنی هر عددی در \(5\)، شما می توانید عدد مربوطه را نصف کنید و یک صفر به انتهای آن بیفزایید.

به عنوان مثال، برای ضرب کردن \(14 \cdot 5\) ، ابتدا \(14\) را نصف می کنید که می شود \(7\) ، و سپس یک \(0\) بعد از \(7\) قرار می دهید که می شود \(14 \cdot 5 = 70\) .

اما اگر عددی که می خواهید ضرب کنید، فرد باشد و نصف کردن آن منجر به نتیجه ای اعشاری گردد، چه می شود؟ در این مورد، شما به انتهای عدد مربوطه صفری اضافه نمی کنید؛ فقط ممیز اعشاری را نادیده می گیرید و حذفش می کنید.

به عنوان مثال، اگر بخواهید ضرب \(43 \cdot 5\) را انجام دهید، نصف \(43\) را بدست می آورید که \(21.5\) می شود. با حذف ممیز اعشاری به \(215\) می رسید ـــ \(43 \cdot 5 =215\) .

یافتن مخرج مشترک

هنگامی که کسرها را جمع یا تفریق می کنید، نیاز به یک مخرج مشترک دارید. به عنوان مثال، در مسالۀ زیر، مخرج مشترک باید کوچکترین مضرب مشترک بین \(16\) و \(24\) باشد (کوچکترین عددی که بر هر دوی این اعداد بخش پذیر باشد).
$$ \frac{3}{16}+\frac{5}{24} $$
یک روش سریع برای یافتن مخرج مشترک بین دو کسر اینست که مخرج بزرگتر را بگیریم و مضربهای آن را بررسی کنیم تا ببینیم آیا بر سایر مخرجها بخش پذیر می باشند یا خیر. در این مورد، شما با \(24 \cdot 2=48\) آغاز می کنید. \(48\) بر \(16\) بخش پذیر است \((48 \div 3 = 16)\) ، بنابراین \(48\) یک مخرج مشترک بین این دو کسر می باشد.

در مثال زیر، شما بدنبال کوچکترین مضرب مشترک بین \(15\) و \(20\) می گردید. با استفاده از مخرج بزرگتر، شما \(20 \cdot 2 = 40\) را امتحان می کنید. اما \(40\) بر \(15\) بخش پذیر نمی باشد. پس \(20 \cdot 3 = 60\) را امتحان می کنید. این بار شما برنده شدید؛ \(60\) بر \(15\) بخش پذیر است \((60 \div 4 =15)\) .
$$ \frac{13}{15}-\frac{3}{20} $$

تعیین مقسوم علیه ها

هنگام کاهش کسرها یا بیرون کشیدن فاکتورهایی از اعداد در جملات یک عبارت، شما به دنبال بزرگترین عددی هستید که دو عدد مختلف بر آن بخش پذیر باشند. به عنوان مثال، اگر بخواهید کسر \({36\over48}\) را کاهش دهید، باید بدنبال عددی بگردید که هم صورت و هم مخرج کسر بر آن بخش پذیر باشند. شما می دانید که هر دوی این اعداد بر \(2\) بخش پذیرند، زیرا هر دو زوج هستند. اما هدف شما اینست که کاهش را فقط در یک مرحله انجام بدهید، بنابراین شما بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD: the greatest common divisor) را می خواهید.

برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک، این مراحل را دنبال کنید:

1. عدد بزرگتر را بر عدد کوچکتر تقسیم کنید و باقیمانده را بررسی کنید.
   در مثال جاری، \(48 \div 36 =1\) و باقیماندۀ آن \(12\) می شود.
   
2. عدد کوچکتر را بر باقیمانده تقسیم کنید.
   در می یابید که \(36 \div 12 = 3\) و باقیمانده نیز \(0\) می باشد. شما هیچ باقیمانده ای بدست نیاوردید، بنابراین \(12\) بزرگترین مقسوم علیه مشترک می باشد. کسر کاهش یافته شده برابر با \({3\over4}\) می شود.
   

مسأله های دیگر ممکن است مراحل بیشتری داشته باشند. به عنوان مثال، برای کاهش کسر \({20\over28}\) شما بدنبال بزرگترین مقسوم علیه مشترک بین \(20\) و \(28\) خواهید بود. شما در می یابید که \(28 \div 20 =1\) و باقیماندۀ این تقسیم نیز \(8\) می باشد. اکنون \(20\) را بر \(8\) تقسیم می کنید: \(20 \div 8 = 2\) و باقیمانده 4 می باشد. اکنون \(8\) را بر باقیمانده تقسیم می کنید: \(8 \div 4 = 2\) ، اینبار باقیمانده \(0\) می شود. هنگامی که به باقیماندۀ صفر می رسید، آخرین عددی که تقسیم را بر آن انجام داده اید، بزرگترین مقسوم علیه مشترک می باشد. کسر ساده شده \({5\over7}\) می شود.

ضرب اعداد دو رقمی

برای اینکه دو عدد دورقمی را به صورت ذهنی در یکدیگر ضرب کنید، می توانید از روش FOIL که در فصل 1 توضیح دادیم، استفاده کنید. (FOIL: First, Outer, Inner, Last) .

به عنوان مثال، برای ضرب کردن \(23 \cdot 12\) ، بخش دوم را ابتدا با ضرب کردن \(3\) در \(2\) انجام دهید. \(6\) را در سمت راست پاسخ قرار دهید. اکنون ضرب متقابل را انجام بدهید. \(2\) در \(23\) را ضربدر \(2\) در \(12\) کنید. آن مقدار را به مقدار \(3\) ضربدر \(1\) بیفزایید، و \(7\) را بدست خواهید آورد، بخش بیرونی و درونی عملیات FOIL. حالا \(7\) را در مقایل \(6\) در پاسخ قرار دهید. اکنون \(2\) در \(23\) را در \(1\) در \(12\) ضرب کنید. \(2\) را در مقابل \(7\) و \(6\) در پاسخ قرار دهید: \(276\)