خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


آشنایی با اثبات های هندسی

آشنایی با اثبات های هندسی
نویسنده : امیر انصاری
اثبات های هندسی (Geometry proofs) از چشم انداز ریاضی یک چیز عجیب و غریب محسوب می شوند، و تقریباً تنها جایی که شما با اثبات های هندسی مواجه می شوید، یک دورۀ هندسه است. اگر همین الان در یک دورۀ هندسه هستید و با خودتان می اندیشید هدف از مطالعۀ چیزی که شما هرگز دوباره آن را استفاده نخواهید کرد، چه می باشد، در همین بخش به آن خواهیم پرداخت. فعلاً، من صرفاً می خواهم یک خلاصۀ خیلی کوتاه از اینکه یک اثبات هندسی چه می باشد، به شما ارائه بدهم.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



یک اثبات هندسی ـــ مانند هر اثبات دیگری در ریاضی ـــ یک استدلال است که با حقایق شناخته شده، آغاز می شود، از آنجا از طریق یک سری از استنتاج های منطقی ادامه می یابد، و با چیزی که می خواهید اثباتش کنید، خاتمه می یابد.

ریاضیدانان برای بیش از \(2000\) سال است که اثبات ها را ـــ در هندسه و همه نواحی دیگر ریاضی ـــ می نویسند. کار اصلی یک ریاضیدان امروزی اینست که با نوشتن اثبات های رسمی، چیزها را اثبات کند. این چگونگی رشد رشته ریاضی می باشد: همچنان که ایده های بیشتر و بیشتری اثبات می گردند، بدنۀ دانش ریاضی رشد می کند. اثبات ها همواره نقش با ارزشی در ریاضی بازی کرده و می کنند. و این یکی از دلایلی است که آنها را مطالعه می کنید. در بخش دوم این کتاب تمامی جزئیات اثبات ها را کنکاش می کنیم؛ در بخشی که در ادامه می آید، من به شما کمک می کنم تا در مسیر درست قرار بگیرید.

آشنایی تدریجی با اثبات ها با یک مثال روز مره


شما احتمالاً هرگز متوجه اش نشده اید، اما گاهی اوقات هنگامی که در زندگی روزمره حقایقی را در مورد یک وضعیت لحاظ می کنید، از همان نوع منطق قیاسی استفاده می کنید که در اثبات های هندسی مورد استفاده قرار می گیرد. اگرچه موضوعات متفاوت هستند، ماهیت پایه ای این استدلال یکسان می باشد.

در اینجا مثالی از منطق در زندگی واقعی داریم. فرض کنید که در یک پارتی در منزل سندرا (Sandra) هستید. شما بدون اینکه سندرا بداند به او علاقه مند هستید، اما او چندماهی است که با جانی (Johnny) قرار می گذارد. شما نگاهی به مهمانان می اندازید و متوجه می شوید که جانی مشغول صحبت با جودی (Judy) است، و اندکی بعد آنها را می بینید که در محوطۀ باز بیرون خانه با هم قدم می زنند. هنگامی که به داخل برمیگردند، جودی حلقۀ جانی را بدستش کرده است. شما دیروز بدنیا نیامده اید، بنابراین دو را با دو جمع می زنید و متوجه می شوید که رابطۀ سندرا با جانی به خطر افتاده است و در واقع هر دقیقه ممکن است خاتمه یابد. شما نگاهی به سندرا می اندازید و متوجه می شوید که او مشغول ترک اتاق با قطرات اشک در چشمانش می باشد. وقتی او بر می گردد، شما با خودتان می اندیشید، شاید ایده بدی نباشد که نزد او بروید و با او صحبت کنید.

حالا، با فرض گرفتن سناریوی این پارتی، به نظر نمی رسد چیزی شامل استدلال قیاسی باشد. استدلال های قیاسی تمایل دارند تا شامل مراحل زیادی یا زنجیره ای از منطق شبیه این باشند: "اگر A، سپس B؛ و اگر B سپس C؛ اگر C سپس D؛ و به همین ترتیب". ناکامی این مهمانی به هیچ وجه ممکن نیست چیزی شبیه این باشد، زیرا شما احتمالاً آن را به عنوان یک حادثۀ جدا ببینید. شما جودی را می بینید که با حلقۀ جانی در دستش وارد می شود، به سندرا نگاه می کنید و می بینید که ناراحت است، و کل سناریو فوراً برای شما واضح می گردد. همه اش بدیهی است ـــ به نظر نمی رسد هیچ استنتاج منطقی مورد نیاز باشد.

تبدیل کردن منطق روزانه به یک اثبات


تصور کنید که مجبور هستید کل فرآیند تفکرات درونی تان در مورد مهمانی را به کسی که هیچ دانشی در مورد رفتار انسان ها ندارد، توضیح بدهید. به عنوان مثال، تصور کنید شما مجبور هستید تفکراتتان را به یک مریخی فرضی که هیچ دانشی در مورد ما انسانها ندارد، توضیح بدهید. در این مورد، شما نیاز خواهید داشت تا استدلال هایتان را گام به گام برای او تشریح کنید.

در اینجا اینکه استدلال شما چطور پیش خواهد رفت را می بینید. توجه داشته باشید که در هر گزاره، دلایل در داخل پرانتز آمده اند:

  1. سندرا و جانی با هم قرار می گذارند و بیرون می روند (این یک حقیقت است که رخ داده است).
  2. جانی و جودی برای دقایقی بیرون می روند (این نیز رخ داده است).
  3. هنگامی که جودی بازمیگردد یک حلقۀ جدید در انگشتش دارد (حقیقت سومی که رخ داده است).
  4. بنابراین او حلقۀ جانی را دستش کرده است (احتمال اینکه حلقه را جانی داده باشد خیلی بیشتر از اینست که آن را از روی زمین پیدا کرده باشد).
  5. بنابراین جودی و جانی با هم برای قرارهای رُمانتیک بیرون می روند (از آنجا که وقتی پسری حلقه اش را به دختری می دهد، به این معنا می باشد که با هم قرار می گذارند و بیرون می روند).
  6. بنابراین سندرا و جانی بزودی رابطه شان را خاتمه می دهند (زیرا یک دختر نمی خواهد به قرار گذاشتن با پسری که حلقه اش را به دختر دیگری داده است، ادامه بدهد).
  7. بنابراین، سندرا بزودی در دسترس خواهد بود (زیرا این اتفاقی است که بعد از جدایی افراد رخ می دهد).
  8. بنابراین من باید آنجا بروم و با او صحبت کنم (چون دوستش دارم و می خواهم با او باشم).

این استدلال هشت مرحله ای به شما نشان می دهد که در پس زمینۀ ذهن شما یک زنجیره از استنتاج های منطقی رخ می دهند، حتی اگر در زندگی واقعی دلایل شما و نتیجه گیری هایتان در مورد سندرا، فوراً به ذهن شما برسند. و این استدلال اندکی مزۀ دلایل گام به گام که در اثبات های هندسی مورد استفاده قرار می دهید را به شما می چشاند. در بخش بعدی، اولین اثبات هندسی تان را خواهید دید.

نمونه ای از یک اثبات هندسی ساده


اثبات های هندسی مشابه استدلال های پارتی که در بخش قبلی دیدید، می باشند، فقط با اندکی غم کمتر. آنها نوع یکسانی از نتیجه گیریهای میانی را دنبال می کنند که شما را به نتیجه گیری نهایی هدایت می کند: با چند حقیقت داده شده، می گویید A و B، سپس می گویید بنابراین، C؛ سپس بنابراین، D؛ سپس بنابراین، E؛ و به همین ترتیب تا آنکه شما به نتیجه گیری نهایی تان برسید. در اینجا یک مثال خیلی ساده داریم که از پاره خطهای موجود در شکل 1-1 استفاده می کند.

آشنایی با اثبات های هندسی
برای این اثبات، به شما گفته شده است که پاره خط \(\overline{PS}\) با پاره خط \(\overline{WZ}\) هم نهشت (congruent) می باشد (یعنی با هم یکسان هستند)، پاره خط \(\overline{PQ}\) با \(\overline{WX}\) هم نهشت می باشند، و \(\overline{QR}\) و \(\overline{XY}\) نیز هم نهشت هستند. (راستی، به جای اینکه هر بار بگویید هم نهشت هستند می توانید از نماد هم نهشت بودن یعنی \(\cong\) استفاده کنید که معنای یکسانی می دهد.) شما باید اثبات کنید که \( \overline{RS} \cong \overline{YZ} \) می باشد. اکنون، شما ممکن است با خودتان فکر کنید، "این بدیهی است ـــ اگر \(\overline{PS}\) و \(\overline{WZ}\) طول یکسانی داشته باشند و هر دوی این پاره خطها دارای تکه های کوچک برابری باشند و تکه های متوسط برابری داشته باشند، سپس تکه های طولانی سوم نیز باید برابر باشند." و البته شما درست هم می گویید. اما این روشی نیست که بازی اثبات آنگونه انجام شود. شما باید هر گام کوچک در تفکراتتان را بنویسید بنابراین هیچ شکافی بین استدلالهای شما نباشد. در اینجا زنجیرۀ کامل استتناج منطقی را داریم:

  1. \(\overline{PS} \cong \overline{WZ}\) (این یک حقیقت داده شده است).
  2. \(\overline{PQ} \cong \overline{WX}\) و \(\overline{QR} \cong \overline{XY}\) (این حقایق نیز داده شده اند).
  3. بنابراین، \(\overline{PR} \cong \overline{WY}\) (زیرا اگر شما چیزهای برابر را به چیزهای برابر اضافه کنید، به مجموع برابری می رسید).
  4. بنابراین، \(\overline{RS} \cong \overline{YZ}\) (زیرا اگر با پاره خطهای یکسانی آغاز کنید، پاره خطهای کامل \(\overline{PS}\) و \(\overline{WZ}\) ، و بخشهای یکسانی را از آنها کم کنید، \(\overline{PR}\) و \(\overline{WY}\) ، بخش هایی که باقی می مانند باید با هم برابر باشند).

در اثبات های رسمی، شما گزاره هایتان را (مانند \(\overline{PR} \cong \overline{WY}\) در مرحلۀ سوم) در یک ستون می نویسید و دلیل آوریهایتان برای آن گزاره را در ستون دیگری می نویسید. در فصل 4 این تنظیمات به شما نشان داده می شوند.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.