استنتاج های اثبات در مورد شکل های هندسی

در اینجا چیزی غیرمعمول در مورد مطالعۀ هندسه داریم: در اشکال هندسی، شما اجازه ندارید تا فرض بگیرید هر آنچه که به نظر صحیح می رسد، صحیح باشد.

مثلث موجود در شکل 9-3 را در نظر بگیرید، اگر این شکل در یک محتوای غیر هندسی ظاهر شود (به عنوان مثال، این شکل می تواند یک سقف با یک تیرچۀ افقی و یک نگهدارندۀ عمودی باشد)، کاملاً منطقی است که نتیجه گیری کنیم دو سمت سقف با هم برابرند، آن تیرچه کاملاً افقی، آن نگهدارنده کاملاً عمودی، و بنابراین نگهدارنده و تیرچۀ افقی بر یکدیگر عمود باشند. اگرچه، در صورتی که این تصویر را در یک مسألۀ هندسی ببینید، نمی توانید هیچکدام از این فرض ها را داشته باشید. این چیزها باید قطعاً به شکل صحیح پدیدار شده باشند (درواقع، بسیار محتمل است که صحیح باشند)، اما شما نمی توانید مفروض بگیرید که صحیح اند. در عوض، شما باید صحیح بودن آنها را با منطق محکم ریاضی اثبات کنید. این روش برخورد با شکلها شما را در اثبات چیزها با استفاده از استدلال قیاسی بسیار دقیق، تمرین می دهد.

یک روش برای درک اینکه چرا اشکال در دوره های هندسه اینگونه رفتار می کنند اینست که در نظر بگیرید صرف اینکه دو خط در یک شکل عمود به نظر می آیند تضمین نمی کند آنها دقیقاً بر یکدیگر عمود باشند. به عنوان مثال، در شکل 9-3 دو زاویه ای که در دو سمت \(\overline{BD}\) قرار دارند، می توانند \(89.99^{\circ}\) و \(90.01^{\circ}\) باشند و نه دقیقاً \(90^{\circ}\) . حتی اگر دقیق ترین ابزارهای اندازه گیری در جهان را برای اندازه گیری این زاویه ها در اختیار داشته باشید، شما هرگز نمی توانید کاملاً درست و دقیق باشید. هیچ ابزاری نمی تواند تفاوت بین یک زاویۀ \(90^{\circ}\) و به عنوان مثال یک زاویۀ \(90.00000000001^{\circ}\) را اندازه گیری کند. بنابراین اگر بخواهید با اطمینان بگویید که دو خط متعامد می باشند، باید از منطق خالص استفاده کنید و نه اندازه گیری.

در اینجا لیستی از چیزهایی را داریم که شما می توانید و یا نمی توانید در مورد شکل های هندسی فرض بگیرید. دوباره به شکل 9-3 مراجعه کنید.

در اشکال هندسی، شما می توانید چهار چیز را فرض بگیرید؛ تمامی آنها باید با خطهای راست انجام شده باند. در اینجا مثالی از هر نوع از فرض های معتبر را با استفاده از \(\triangle{ABC}\) داریم:

\(\overline{AC}\) راست می باشد.
\(\angle{ADC}\) یک زاویۀ نیم صفحه می باشد.
\(A\) ، \(D\) ، و \(C\) هم راستا می باشند.
\(D\) بین \(A\) و \(C\) قرار دارد.

در شکل های هندسی، شما نمی توانید چیزهایی را که در ارتباط با اندازۀ پاره خطها یا زاویه ها می باشند، فرض بگیرید. شما نمی توانید فرض بگیرید که پاره خطها و زاویه هایی که به نظر همنهشت می رسند، همنهشت باشند یا پاره خطها و زاویه هایی که به نظر نابرابر می رسند، با یکدیگر نابرابرند؛ همچنین نمی توانید چیزی را در مورد اندازه های نسبی پاره خطها و زاویه ها فرض بگیرید. به عنوان مثال، در شکل 9-3 فرض های زیر الزاماً صحیح نمی باشند:

\(\overline{AB} \cong \overline{CB}\) ؛ \(\overline{AD} \cong \overline{CD}\)
\(D\) نقطۀ میانی \(\overline{AC}\) است.
\(\angle{A} \cong \angle{C}\) ؛ \(\angle{ABD} \cong \angle{CBD}\)
\(\overrightarrow{BD}\) نیمساز \(\angle{ABC}\) است (یعنی آن را تنصیف می کند).
\(\overline{AC} \bot \overline{BD}\)
\(\angle{ADB}\) یک زاویۀ قائمه می باشد.
\(AB\) (که طول \(\overline{AB}\) می باشد) بزرگتر از \(AD\) است.
\(\angle{ADB}\) بزرگتر از \(\angle{A}\) می باشد.

اکنون، من نمی خواهم پیشنهاد کنم که اینکه اشکال چگونه ظاهر شده اند مهم نمی باشند. مخصوصاً وقتی که اثبات های هندسی را انجام می دهید، ایده خوبی است که شکل های هندسی مربوط به اثبات را بررسی کنید و به اینکه آیا پاره خط ها، زاویه ها، و مثلث ها همنهشت به نظر برسند توجه کنید. اگر آنها همنهشت به نظر آیند، به احتمال زیاد همنهشت هستند، بنابراین ظاهر یک شکل هندسی یک راهنمایی ارزشمند در مورد حقیقت آن شکل هندسی می باشد. اما برای تصدیق کردن اینکه چیزی در واقعیت صحیح می باشد، شما باید آن را اثبات کنید.

برای بعدی آماده باشید، زیرا در این بحث قدری عجیب و غریب در مورد رفتار شکل ها، من بدترین ها را برای آخر کار نگهداشته ام. گاهی اوقات، معلم ها و مولف ها شما را سورپرایز می کنند و شکل هایی ترسیم می کنند که نسبت به شکل مناسب آنها پیچ و تاب خورده است. این ممکن است عجیب به نظر آید، اما بر اساس قواعد بازی هندسه، مجاز به این کار می باشند. خوشبختانه، شکل های پیچ و تاب خورده مانند اینها کمیاب هستند.

شکل 10-3 را در نظر بگیرید. مثلث داده شده در سمت چپ یک مثلث است که شما ممکن است در مسأله های هندسی ببینید. در این مسالۀ خاص، از شما خواسته شده است تا \(x\) و \(y\)، یعنی طول دو ضلع نامشخص این مثلث را تعیین کنید. کلید حل این مسأله اینست که این سه زاویه به عنوان همنهشت علامت تیک خورده اند. همانطور که ممکن است خودتان هم بدانید، تنها مثلثی که سه زاویۀ آن با هم برابرند مثلث متساوی الاضلاع (equilateral triangle) می باشد، که دارای سه زاویۀ برابر \(60^{\circ}\) و سه ضلع برابر می باشد. بنابراین در این مسأله \(x\) و \(y\) هر دو باید برابر با \(5\) باشند. شکل سمت راست آنچیزی را که این مثلث در واقعیت باید باشد به شما نشان می دهد. بنابراین، شکل 10-3 مثالی از پاره خطها و زاویه هایِ برابر است که طوری ترسیم شده اند که نابرابر به نظر آیند.

حالا شکل 11-3 را بررسی کنید. این شکل نوع مخالف پیچاندن تصویر را تشریح می کند: پاره خطها و زوایایی که در واقعیت نابرابر هستند در این شکل هندسی برابر به نظر می رسند. اگر چهارضلعیِ (quadrilateral) موجود در سمت چپ تصویر در یک محتوای غیرهندسی ظاهر شود، قطعاً به آن به عنوان یک مستطیل اشاره می کردید (و با خیال راحت فرض می کردید که چهار زاویۀ آن زاویه های قائمه می باشند). اما در این شکل هندسی، اگر آن را یک مستطیل بنامید، اشتباه کرده اید. علیرغم ظاهر آن، یک مستطیل نمی باشد؛ این شکل یک چهارضلعیِ بدون نام است. شکل واقعی آن را در سمت راست بررسی کنید.

اگر در فهمیدن این رفتار عجیبِ شکل های هندسی مشکل دارید، نگران نباشید. در فصل های بعدی و هنگامی که اینها را به صورت عملی ببینید، به تدریج برایتان بدیهی می گردد.

آموزش قبلی صفحۀ اصلی دوره آموزش بعدی