اثبات های هندسی دو ستونۀ سنتی مسلماً مهمترین موضوع در دوره های استاندارد دبیرستان می باشند. و ـــ متاسفم که حامل خبر بدی هستم ـــ اثبات های هندسی بیشتر از هر چیز دیگری در برنامه های تحصیلی ریاضیات دبیرستان، دانش آموزان را با دشواری مواجه می کند. اما قبل از اینکه هندسه را در سبد دوره های بی فایدۀ درسی بیندازید، خبر خوب اینجاست: در طول این چندین فصل، ده استراتژی فوق العاده سودمند را به شما ارائه می کنم تا اثبات ها را از آنچیزی که در ابتدا به نظر می آیند برای شما ساده تر سازم. این استراتژی ها را تمرین کنید، تا در کوتاهترین زمان ممکن، تبدیل به یک نویسندۀ اثبات حرفه ای گردید.





در این فصل، من زمینه را برای اثبات های دو ستونی که در فصل های بعدی انجام خواهید داد، آماده می کنم. ابتدا یک طرح الگو وار به شما ارائه می کنم که تمامی اجزاء یک اثبات دو ستونی و اینکه آنها به کجا می روند، را به شما نشان می دهد. سپس، به شما توضیح خواهم داد چگونه چیزی را با استفاده از استدلال قیاسی (deductive argument) اثبات کنید. در پایان، به شما نشان می دهم چگونه از استدلال قیاسی (deductive reasoning) در اثبات ها استفاده کنید.

اجزای یک اثبات هندسی رسمی

یک اثبات هندسی دو ستونی شامل یک شکل هندسی از چیزی می باشد. یک یا چند چیز که در مورد این شکل هندسی صحیح می باشند، به شما گفته شده است، به اینها مفروضات (givens) یا داده های مسأله می گویند، و از شما خواسته می شود تا چیز دیگری را که در مورد این شکل صحیح می باشد، اثبات کنید، که به آن گزاره اثبات (prove statement) گفته می شود. خلاصه ماجرا همین است. هر اثباتی به شکل زیر ادامه می یابد:

1. شما با یک یا چند تا از حقایق داده شده در مورد این شکل هندسی آغاز می کنید.
   
2. سپس چیزی را بیان می کنید که یکی از این حقایق یا چند تا از آنها را دنبال می کند؛ سپس چیزی را بیان می کنید که از آن ادامه می یابد؛ سپس چیزی را که از آن ادامه می یابد؛ و به همین ترتیب.
   هر استنتاج (deduction) شما را به موارد بعدی هدایت می کند.
   
3. شما کار را با ایجاد آخرین استنتاج خاتمه می دهید ـــ حقیقتی که برای اثباتش تلاش داشتید.
   

هر اثبات هندسیِ دو ستونیِ استاندارد، شامل عناصر زیر می باشد. مدل اثبات در شکل 1-4 چگونگی قرار گرفتن این عناصر در کنار یکدیگر را نشان می دهد.

• شکل هندسی (diagram): شکل یا اشکال موجود در این طرح موضوع اصلی اثبات می باشند. هدف شما اینست که حقایقی را در مورد این شکل هندسی اثبات کنید (به عنوان مثال، اینکه دو مثلث یا دو زاویه در شکل با یکدیگر همنهشت می باشند). شکل هندسی اثبات، معمولاً ، اما نه همیشه، به درستی ترسیم می شود. با این حال، فراموش نکنید که شما نمی توانید فرض بگیرید چیزهایی که به نظر صحیح می رسند، صحیح هستند. به عنوان مثال، دو زاویه که همنهشت به نظر می رسند الزاماً همنهشت نیستند. (در این ارتباط در فصل 3 توضیحات لازم را ارائه کرده ایم.)
  
  
• مفروضات یا داده ها (givens): مفروضات حقایق صحیحی در مورد شکل هندسی اثبات هستند که شما بر اساس آنها به هدفتان، یعنی گزارۀ اثبات می رسید. شما همواره یک اثبات را با یکی از مفروضات، که آن را در خط 1 از ستون گزاره ها قرار می دهید، آغاز می کنید.
  بیشتر مردم دوست دارند تا شکل هندسی را علامت گذاری کنند تا داده های ارائه شده توسط مفروضات مسأله را نشان دهند. به عنوان مثال، اگر یکی از مفروضات این باشد که \(\overline{AB} \cong \overline{CB} \) ، شما می توانید بر روی هر دوی این پاره خطها در شکل تیک هایی قرار دهید، بنابراین هرگاه که نگاهی اجمالی به شکل بیندازید، این همنهشتی فوراً خودش را نشان خواهد داد.
  
  
• گزارۀ اثبات (prove statement): گزارۀ اثبات واقعیتی در مورد شکل است که شما باید با زنجیره ای از استنتاج های منطقی آن را تصدیق کنید. گزارۀ اثبات همواره در آخرین خط از ستون گزاره ها قرارمی گیرد.
  
  
• ستون گزاره (statement column): در ستون گزاره، شما تمامی حقایق داده شده، حقایقی که استنتاج کرده اید، و در خط آخرِ آن گزارۀ اثبات را قرار می دهید. در این ستون، شما حقایقی خاص در مورد شکل های هندسی خاصی را قرار می دهید، مانند \(\angle{ABD} \cong \angle{CBD}\) .
  
  
• ستون دلیل (reason column): در ستون دلیل، شما دلایلتان برای هر گزاره ای که ایجاد کرده اید را قرار می دهید. در این ستون، شما قواعد عمومی در مورد چیزها را به صورت عمومی می نویسید، مانند اگر یک زاویه تنصیف شود، سپس به دو بخش همنهشت تقسیم می گردد. در اینجا اسامی اشیاء خاصی را قرار نمی دهید.