خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


قضایای جمع و تفریق پاره خطها و زاویه ها

قضایای جمع و تفریق پاره خطها و زاویه ها
نویسنده : امیر انصاری
در این بخش، من به شما هشت قضیۀ ساده می دهم: چهار تا از این قضایا در مورد جمع و تفریق پاره خطها و چهار تای دیگر در مورد جمع و تفریق زاویه ها می باشد (هر دو نوع دقیقاً به شیوه مشابه ای عمل می کنند). من مطمئن هستم شما با این قضایا هیچ مشکلی نخواهید داشت، زیرا همۀ آنها شامل مفاهیمی می باشند که شما به سادگی می توانید درکشان کنید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



قضایای جمع (Addition theorems)


در این بخش چهار قضیۀ جمع را مطالعه می کنیم: دو تا از آنها برای پاره خطها و دوتای دیگر برای زاویه ها هستند.

از این دو قضیۀ جمع برای اثبات هایی که شامل سه پاره خط یا سه زاویه می باشند، استفاده کنید:

  • جمع پاره خطها (Segment addition) ـــ در مورد مجموعاً سه پاره خط: اگر یک پاره خط به دو پاره خط همنهشت اضافه گردد، سپس مجموع آنها همنهشت می باشند.
  • جمع زاویه ها (Angle addition) ـــ در مورد مجموعاً سه زاویه: اگر یک زاویه به دو زاویۀ همنهشت اضافه گردد، سپس مجموع آنها هنهشت می باشند.

بعد از اینکه شما با اثبات هایتان احساس راحتی بیشتری کردید و قضایا را بخوبی دانستید، می توانید این قضایا را خلاصه کنید و به شکل "جمع پاره خط" یا "جمع زاویه" و یا به سادگی فقط "جمع" بنویسید؛ اگرچه، هنگام شروع کار، نگارش قضایا در شکل کامل آنها ایدۀ خوبی میباشد.

شکل 1-5 به شما نشان می دهد، این دو قضیه چگونه کار می کنند.

قضایای جمع و تفریق پاره خطها و زاویه ها
اگر شما \(\overline{BC}\) را به دو پاره خط همنهشتِ \(\overline{AB}\) و \(\overline{CD}\) بیفزایید، مجموع آنها، یعنی \(\overline{AC}\) و \(\overline{BD}\)، همنهشت هستند. به عبارت دیگر، \(8+2=8+2\) . شگفت انگیز است!

و اگر شما \(\angle{QTR}\) را به زوایای همنهشتِ \(\angle{PTQ}\) و \(\angle{RTS}\) بیفزایید، مجموع آنها، یعنی \(\angle{PTR}\) و \(\angle{QTS}\) ، همنهشت خواهند بود: \(30^{\circ} + 50^{\circ} = 30^{\circ}+50^{\circ}\) . بسیار با استعدادید!

نکته: در اثباتها مشابه شکل 1-5 نخواهد بود که اندازۀ پاره خطها و زوایا را به شما بدهند. من اندازه ها را در شکل قرار داده ام تا شما به سادگی بتوانید آنچه را که در حال وقوع است، درک کنید.

همچنانکه در این کتاب با قضایا مواجه می شوید، به تصاویر همراه آنها با دقت توجه کنید. این تصاویر منطق قضایا را به روشی بصری به شما نشان می دهند که می تواند در به یاد آوری کلمات قضایا به شما کمک کند. سعی کنید خودتان را اینگونه امتحان کنید که ابتدا قضیه ای را بخوانید و ببینید که آیا می توانید تصویر مرتبط با آن را بکشید، و همینطور سعی کنید تا با نگاه کردن به یک تصویر، قضیۀ مربوط به آن را بنویسید.

از این قضایای جمع برای اثباتهای شامل چهار پاره خط یا چهار زاویه استفاده کنید (همچنین به طور خلاصه با نام "جمع پاره خط"، "جمع زاویه"، یا فقط "جمع" شناخته می شوند):

  • جمع پاره خط (برای مجموعاً چهار پاره خط): اگر دو پاره خط همنهشت به دو پاره خط همنهشت دیگر اضافه شوند، سپس مجموع آنها همنهشت خواهند بود.
  • جمع زوایا (برای مجموعاً چهار زاویه): اگر دو زاویۀ همنهشت به دو زاویۀ همنهشت دیگر اضافه شوند، سپس مجموع آنها همنهشت خواهند بود.

شکل 2-5 که این قضایا را نشان می دهد، بررسی کنید.

قضایای جمع و تفریق پاره خطها و زاویه ها
اگر \(\overline{PQ}\) و \(\overline{ST}\) همنهشت باشند و \(\overline{QR}\) و \(\overline{TU}\) همنهشت باشند، سپس قطعاً \(\overline{PR}\) با \(\overline{SU}\) همنهشت خواهند بود.

و اگر \(\angle{AYE} \cong \angle{UYO}\) (فرض کنید هر دو \(40^{\circ}\) باشند) و \(\angle{EYI} \cong \angle{OYI}\) (فرض کنید هر دوی آنها \(20^{\circ}\) باشند)، سپس \(\angle{AYI} \cong \angle{UYI}\) (هر دوی آنها \(60^{\circ}\) خواهند بود).

اکنون برای مثال یک اثبات داریم، که از جمع پاره خطها استفاده می کند:

قضایای جمع و تفریق پاره خطها و زاویه ها
داده ها:
\(\overline{MD} \cong \overline{VI}\)
\(\overline{DX} \cong \overline{CV}\)
اثبات:
\(\overline{MC} \cong \overline{XI}\)

من آن چیزی را که در مورد این اثبات منجر به یک استراتژی بازی می گردد درون دو پاسخ ستونی زیر، بین خطهای شماره گذاری شده قرار داده ام.

قضایای جمع و تفریق پاره خطها و زاویه ها
من انتظار دارم که شما بدانید آنچه که بعد از این دو خط می آید چیست، اما به منظور استدلال آوردن، وانمود می کنم که شما نمی دانید. گزارۀ 3 باید از یک یا دو تا از این داده ها استفاده کند. برای دیدن اینکه چگونه می توانید از چهار پاره خط داده شده استفاده کنید، برای این پاره خطها اندازه های دلخواهی را انتخاب کنید: فرض کنید \(\overline{MD}\) و \(\overline{VI}\) هر دو دارای طول \(5\) می باشند، و \(\overline{DX}\) و \(\overline{CV}\) هر دو دارای اندازۀ \(2\) می باشند. یقیناً این منجر می شود تا هر دو پاره خطهای \(\overline{MX}\) و \(\overline{CI}\) برابر با \(7\) گردند، و البته، این جمع نامیده می شود. اکنون شما خط \(3\) را دارید.

قضایای جمع و تفریق پاره خطها و زاویه ها
ترجمۀ شکل:
اگر دو پاره خط همنهشت به دو پاره خط همنهشت دیگر اضافه گردند، سپس مجموع آنها همنهشت خواهند بود.

قضایای جمع و تفریق پاره خطها و زاویه ها
حالا فرض کنید که \(\overline{XC}\) برابر با \(10\) باشد. این منجر می شود تا هر دو پاره خطهای \(\overline{MC}\) و \(\overline{XI}\) برابر با \(17\) گردند، و بنابراین آنها همنهشت خواهند بود. این نسخه سه پاره خطی از جمع پاره خط می باشد، و این آخر ماجرا بود.

ترجمۀ شکل:
اگر یک پاره خط به دو پاره خط همنهشت اضافه گردد، سپس مجموع آنها همنهشت خواهند بود.

راستی، آیا روش دیگر انجام این اثبات را می دانید؟ این روش از قضیۀ جمع سه پاره خط در خط 3 و از قضیۀ جمع چهار پاره خط در خط 4 استفاده می کند.

قبل از اینکه به سراغ مثال بعدی بروید، این دو نکته را بررسی کنید ـــ این نکات مهم هستند! این نکات معمولاً منجر می شوند تا یک مسألۀ مهارت آمیز بسیار ساده تر گردد و اگر جایی گیر کردید شما را رهایی می بخشند:

  • استفاده از هر کدام از داده ها. شما باید با هر داده ای در اثبات کاری را انجام بدهید. بنابراین اگر شما مطمئن نیستید که چگونه یک اثبات را انجام بدهید، تا زمانیکه به ازاء هر کدام از داده ها، از خودتان نپرسیده اید "چرا آنها این داده را به من داده اند؟"، تسلیم نشوید. سپس اگر هر چیزی را که بدنبال هر کدام از داده ها می آید بنویسید (حتی اگر ندانید این داده ها چگونه ممکن است به شما کمک کنند)، ممکن است بدانید چگونه باید ادامه بدهید. شما ممکن است یک معلم هندسه داشته باشید که تمایل داشته باشد نکات انحرافی را در داده های مسأله بگنجاند، اما در تمامی کتاب هندسه که من می شناسم، مولفان آنها به شما داده های نامربوط نمی دهند. و این بدین معناست که هر داده ای یک راهنمای جاسازی شده در اثبات می باشد.

  • کار رو به سمت عقب. فکر کردن به اینکه یک اثبات چگونه به انتها می رسد ـــ خطهای آخر و یکی مانده به آخر چه شکلی خواهند بود ـــ معمولاً بسیار سودمند می باشد. در برخی از اثبات ها، شما ممکن است قادر باشید تا رو به سمت عقب کار کنید، از آخرین گزاره به گزارۀ یکی مانده به آخر برسید، و سپس به گزارۀ دو تا مانده به آخر، و شاید به گزارۀ سه تا مانده به آخر هم برسید. این کار انجام اثبات را ساده تر می سازد، زیرا شما دیگر مجبور نخواهید بود تا تمامی روشهایی را که از داده به اثبات می رسید، بدانید. اثبات، از دیدگاهی، کوتاه می باشد. هنگامی که جایی در میانۀ یک اثبات گیر کرده باشید، و یا گاهی اوقات در ابتدای شروع درگیر شدن با یک اثبات، می توانید از این فرآیند استفاده کنید.

اثبات زیر به شما نشان می دهد چگونه از نسخۀ زاویه ها استفاده کنید:

قضایای جمع و تفریق پاره خطها و زاویه ها
داده ها:
\(\overrightarrow{TB}\) ، \(\angle{XTZ}\) را تنصیف می کند.
\(\overrightarrow{TX}\) و \(\overrightarrow{TZ}\) ، \(\angle{LTR}\) را تثلیث می کنند.
اثبات کنید:
\(\overrightarrow{TB}\) ، \(\angle{LTR}\) را تنصیف می کند.

در این اثبات، من یک استراتژی جزئی به بخشی از اثبات که ممکن است افراد در آن گیر کنند، افزوده ام. تنها مفاهیمی که این استراتژی فاقد آنها می باشد چیزهایی هستند که بلافاصله بعد از دو داده می آیند (که شما در خطهای 2 و 4 می بینید).

قضایای جمع و تفریق پاره خطها و زاویه ها
ترجمۀ شکل:
  1. \(\overrightarrow{TB}\) ، \(\angle{XTZ}\) را تنصیف می کند.
    داده ها. (چرا آنها باید این را به شما بگویند. گزارۀ 2 را ببینید.)
  2. \(\angle{XTB} \cong \angle{ZTB}\)
    اگر یک زاویه تنصیف شود، سپس به دو زاویۀ همنهشت تقسیم می شود (تعریف تنصیف).
  3. \(\overrightarrow{TX}\) و \(\overrightarrow{TZ}\) ، \(\angle{LTR}\) را تثلیث می کند.
    داده ها. (و چرا آنها باید این را به شما بگویند؟)
  4. \(\angle{LTX} \cong \angle{RTZ}\)
    اگر زاویه ای تثلیث شود، سپس به سه بخش همنهشت تقسیم می گردد (تعریف تثلیث).

فرض کنید شما اینجا گیر کرده اید. سعی کنید به انتهای اثبات بروید و از آنجا رو به عقب کار کنید. شما می دانید که آخرین گزاره باید نتیجه گیریِ اثبات باشد، \(\overrightarrow{TB}\) ، \(\angle{LTR}\) را تنصیف می کند. اکنون از خودتان بپرسید برای اینکه بتوانید تصمیم بگیرید نتیجه گیری نهایی درست می باشد، چه چیزی را باید بدانید. برای اینکه بتوانید نتیجه بگیرید یک نیم خط، یک زاویه را تنصیف می کند، شما باید بدانید که آن نیمخط زاویۀ مربوطه را به دو زاویۀ برابر تقسیم می کند. بنابراین، گزارۀ یکی مانده به آخر، باید \(\angle{LTB} \cong \angle{RTB}\) باشد. و اینکه چگونه به آن نتیجه گیری رسیده اید؟ خوب، با جمع زاویه ها. زاویه های همنهشت از گزاره های 2 و 4 به \(\angle{LTB}\) و \(\angle{RTB}\) اضافه می شوند. تمام شد.

قضایای جمع و تفریق پاره خطها و زاویه ها
ترجمۀ شکل:
  1. \(\angle{LTB} \cong \angle{RTB}\)
    اگر دو زاویۀ همنهشت به دو زاویۀ همنهشت دیگر اضافه شوند، سپس مجموع آنها همنهشت می باشند.
  2. \(\overrightarrow{TB}\) ، \(\angle{LTR}\) را تنصیف می کند.
    اگر یک نیمخط یک زاویه را به دو زاویۀ همنهشت تقسیم کند، سپس آن زاویه را تنصیف می کند (تعریف تنصیف).

قضایای تفریق (Subtraction theorems)


در این بخش، من چهار قضیۀ تفریق را به شما معرفی می کنم: دو تا برای پاره خطها و دو تا برای زاویه ها. هر کدام از اینها با یکی از قضایای جمع، متناظر می باشد.

در اینجا قضیۀ تفریق برای سه پاره خط و سه زاویه را داریم (به طور مختصر به آنها "تفریق پاره خط" (segment subtraction)، "تفریق زاویه" (angle subtraction)، یا فقط "تفریق" (subtraction) می گویند):

  • تفریق پاره خط (مجموعاً سه پاره خط): اگر یک پاره خط از دو پاره خط دیگر تفریق گردد، سپس تفاضل آنها همنهشت می باشند.
  • تفریق زاویه (مجموعاً سه زاویه): اگر یک زاویه از دو زاویۀ همنهشت تفریق گردد، سپس تفاضل آنها همنهشت می باشند.

شکل 3-5 که کمکی بصری برای این دو قضیه را ارائه می دهد، بررسی کنید. اگر \(\overline{JL} \cong \overline{KM}\) ، سپس \(\overline{JK}\) باید با \(\overline{LM}\) همنهشت باشند. (فرض کنید \(\overline{KL}\) دارای طول \(3\) و \(\overline{JL}\) و \(\overline{KM}\) هر دو دارای طول \(10\) باشند. سپس \(\overline{JK}\) و \(\overline{LM}\) هر دو دارای طول \(10-3\) یا \(7\) می باشند.) در مورد زاویه ها، اگر \(\angle{EFB} \cong \angle{DFG}\) و شما \(\angle{GFB}\) را از هر دوی آنها تفریق کنید، در نهایت به تفاضل همنهشت ها می رسید، \(\angle{EFG}\) و \(\angle{DFB}\) .

قضایای جمع و تفریق پاره خطها و زاویه ها
در اینجا آخرین و البته نه کم اهمیت ترین، قضایای تفریق برای چهار پاره خط و چهار زاویه را داریم (مختصر شدۀ این قضایا درست شبیه مختصر شدۀ قضایای تفریق برای سه چیز می باشند):

  • تفریق پاره خط (مجموعاً چهار پاره خط): اگر دو پاره خط همنهشت از دو پاره خط همنهشت دیگر تفریق گردد، سپس تفاضل آنها همنهشت می باشند.
  • تفاضل زاویه (مجموعاً چهار زاویه): اگر دو زاویۀ همنهشت از دو زاویۀ همنهشت دیگر تفریق گردند، سپس تفاضل بین آنها همنهشت می باشند.

شکل 4-5 این دو قضیه را توصیف می کند.

قضایای جمع و تفریق پاره خطها و زاویه ها
از آنجا که \(\overline{AC}\) و \(\overline{DF}\) همنهشت می باشند و \(\overline{BC}\) و \(\overline{EF}\) همنهشت می باشند، \(\overline{AB}\) و \(\overline{DE}\) نیز باید همنهشت باشند (هر دوی آنها باید برابر با \(14-5\) یا \(9\) باشند). این در مورد زاویه ها نیز بطور یکسانی کار می کند: اگر \(\angle{UZW}\) و \(\angle{YZW}\) همنهشت باشند و \(\angle{VZW}\) و \(\angle{XZW}\) نیز همنهشت باشند، سپس تفریق جفت زاویه های کوچکتر از جفت بزرگتر، منجر با باقی ماندن زاویه های همنهشت \(\angle{UZV}\) و \(\angle{YZX}\) می گردد.

قبل از اینکه پاسخ رسمی دو ستونیِ اثبات بعدی را بخوانید، سعی کنید تا به استراتژی بازی خودتان فکر کنید یا با استدلالهای مبتنی بر قضاوت صحیح ، فکر کنید که چرا گزارۀ اثبات باید صحیح باشد. راهنما: ایجاد اندازه هایی برای زاویه های همنهشت در داده ها و برای \(\angle{PUS}\) و \(\angle{QUR}\) ممکن است به شما کمک کنند بدانید چیزها چگونه کار می کنند.

قضایای جمع و تفریق پاره خطها و زاویه ها
داده ها:
\(\angle{PUR} \cong \angle{SUQ}\)
\(\overrightarrow{UT}\) ، \(\angle{PUS}\) را تنصیف می کند
اثبات کنید:
\(\angle{QUT} \cong \angle{RUT}\)

قضایای جمع و تفریق پاره خطها و زاویه ها
ترجمۀ شکل:
  1. \(\angle{PUR} \cong \angle{SUQ}\)
    داده ها.
  2. \(\angle{PUQ} \cong \angle{SUR}\)
    اگر یک زاویه \((\angle{QUR})\) از دو زاویۀ همنهشت \((\angle{PUR} \text{ and } \angle{SUQ})\) تفریق گردد، سپس تفاضل آنها همنهشت می باشند.
  3. \(\overrightarrow{UT}\) ، \(\angle{PUS}\) را تنصیف می کند.
    داده ها.
  4. \(\angle{PUT} \cong \angle{SUT}\)
    اگر یک نیمخط یک زاویه را تنصیف کند، آن را به دو زاویۀ همنهشت تقسیم می کند (تعریف تنصیف).
  5. \(\angle{QUT} \cong \angle{RUT}\)
    اگر دو زاویۀ همنهشت (زاویه های موجود در گزارۀ 2) به دو زاویۀ همنهشت دیگر اضافه شوند (زاویه های موجود در گزارۀ 4)، سپس مجموع آنها همنهشت خواهند بود.

به سادگی آب خوردن بود، اینطور نیست؟ اکنون، قبل از اینکه به سراغ بخش بعدی بروید، موارد زیر را بررسی کنید. شما ممکن است متوجه شده باشید که هر کدام از قضایایِ جمع با یکی از قضایای تفریق متناظر می باشند و اینکه یک شکل هندسی یکسان برای توصیف هر جفت متناظر از قضایا مورد استفاده قرار گرفتند. شکل 1-5 ، که در مورد قضایای جمع می باشد، با شکل 3-5 که در مورد قضایای تفریق می باشد، جفت است؛ و شکل 2-5 و 4-5 به شیوۀ یکسانی با یکدیگر جفتند. بخاطر شباهت این شکل ها و مفاهیم پشتِ آنها، افراد گاهی قضایای جمع و قضایای تفریق را با یکدیگر اشتباه می گیرند. در اینجا چگونگی تشخیص آنها از یکدیگر را می بینید.

در یک اثبات، شما زمانی از قضایای جمع استفاده می کنید که پاره خطها، یا زاویه های کوچک را می افزایید و دو پاره خط یا زاویۀ بزرگ را نتیجه می گیرید. زمانی از قضایای تفریق استفاده می کنید که شما پاره خطها یا زاویه هایی را از پاره خطها یا زاویه هایی بزرگتر تفریق می کنید تا به دو پاره خط یا زاویۀ کوچکتر در نتیجه گیری برسید. به طور خلاصه، قضایای جمع شما را از کوچک به بزرگ می برند؛ قضایای تفریق شما را از بزرگ به کوچک می برند.




مطالب مرتبط :

نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.