خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


قضایای مضربهای مشابه و تقسیمات مشابه

قضایای مضربهای مشابه و تقسیمات مشابه
نویسنده : امیر انصاری
دو قضیۀ موجود در این بخش مبتنی بر ایده های بسیار ساده ای می باشند (ضرب و تقسیم)، اما آنها گاهی اوقات افراد را به اشتباه می اندازند، بنابراین مطمئن شوید که به چگونگی استفاده از این قضایا در مثالهای اثبات با دقت توجه کنید. و به نکات فوق العاده سودمند من توجه کنید. این نکات شما را از به اشتباه گرفتن قضایای مضرب های مشابه و تقسیمات مشابه با تعاریف نقطۀ میانی، تنصیف، و تثلیث (که در فصل 3 با آنها آشنا شدید) حفظ می کنند.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



قضیۀ مضرب های مشابه (Like Multiples): اگر دو پاره خط (یا زاویه) با یکدیگر همنهشت باشند، سپس مضرب های آنها با یکدیگر همنهشت می باشند. به عنوان مثال، اگر دو زاویۀ همنهشت داشته باشید، سپس سه برابرِ یکی از آنها با سه برابرِ دیگری، برابر خواهند بود.

شکل 5-5 را ببینید. اگر \(\overline{AB} \cong \overline{WX}\) و \(\overline{AD}\) و \(\overline{WZ}\) هر دو تثلیث شده باشند، سپس قضیۀ مضربهای مشابه به شما می گوید که \(\overline{AD} \cong \overline{WZ}\) .

قضایای مضربهای مشابه و تقسیمات مشابه
قضیۀ تقسیمات مشابه (Like Divisions): اگر دو پاره خط (یا زاویه) همنهشت باشند، سپس تقسیمات مشابه آنها، همنهشت می باشند. به عنوان مثال، اگر دو پاره خط همنهشت داشته باشید، سپس \({1\over4}\) از یکی با \({1\over4}\) از دیگری برابر می باشد، یا \({1\over10}\) از یکی با \({1\over10}\) از دیگری برابر می باشند، و به همین ترتیب.

به شکل 6-5 بنگرید. اگر \(\angle{BAC} \cong \angle{YXZ}\) و هر دوی این زاویه ها تنصیف شده باشند، سپس قضیۀ تقسیمات مشابه به شما می گوید که \(\angle{1} \cong \angle{3}\) و \(\angle{2} \cong \angle{4}\) . و همچنین شما می توانید با استفاده از این قضیه نتیجه بگیرید که \(\angle{1} \cong \angle{4}\) و \(\angle{2} \cong \angle{3}\) . اما توجه داشته باشید که شما نمی توانید با استفاده از قضیۀ تقسیمات مشابه نتیجه بگیرید که \(\angle{1} \cong \angle{2}\) یا \(\angle{3} \cong \angle{4}\) . این همنهشتی ها از رویِ قضیۀ تنصیف اثبات می شوند.

قضایای مضربهای مشابه و تقسیمات مشابه
گاهی اوقات افراد قضیۀ مضرب های مشابه و قضیۀ تقسیمات مشابه را با یکدیگر قاطی می کنند. در اینجا نکته ای برای تمایز بین این دو قضیه داریم: در یک اثبات، شما زمانی از قضیۀ مضرب های مشابه استفاده می کنید که با استفاده از دو پاره خط (یا زوایۀ) کوچکِ همنهشت نتیجه بگیرید که دو پاره خط (یا زاویۀ) بزرگ همنهشت می باشند. شما زمانی از قضیۀ تقسیمات مشابه استفاده می کنید که از چیزهای بزرگ همنهشت برای نتیجه گیری همنهشتی دو چیز کوچک استفاده کنید. به صورت خلاصه، مضرب های مشترک شما را از کوچک به بزرگ می برند؛ تقسیمات مشابه شما را از بزرگ به کوچک می برند.

هنگامی که به داده ها در یک اثبات نگاه می کنید و می بینید یکی از اصطلاحات نقطۀ میانی (midpoint)، تنصیف، یا تثلیث دو مرتبه نام برده شده است، سپس شما احتمالاً یا از قضیۀ مضرب های مشابه و یا از قضیۀ تقسیمات مشابه استفاده می کنید. اما اگر این اصطلاح فقط یکبار مورد استفاده قرار گرفته باشد، شما احتمالاً از تعریف آن اصطلاح استفاده خواهید کرد.

شما چگونگی استفاده از قضیۀ مضرب های مشابه را در اثبات بعدی می بینید.

قضایای مضربهای مشابه و تقسیمات مشابه
داده ها:
\(\angle{EHM} \cong \angle{JMH}\)
\(\angle{NHM} \cong \angle{IMH}\)
\(\overrightarrow{HE}\) و \(\overrightarrow{HF}\) ، \(\angle{GHN}\) را تثلیث می کنند
\(\overrightarrow{MJ}\) و \(\overrightarrow{MK}\) ، \(\angle{LMI}\) را تثلیث می کنند
اثبات کنید:
\(\angle{GHN} \cong \angle{LMI}\)

استراتژی بازی: در اینجا فرایند فکری احتمالی شما برای این اثبات را می بینید: از خودتان بپرسید چگونه می توانید از این داده ها استفاده کنید. در این اثبات، ببینید چه چیزی را می توانید از جفت زاویه های همنهشت داده شده، نتیجه گیری کنید؟ اگر نه، برای این زاویه ها اندازه های دلخواه تعیین کنید. به عنوان مثال فرض کنید \(\angle{EHM}\) و \(\angle{JMH}\) هر کدام \(65^{\circ}\) باشند و \(\angle{NHM}\) و \(\angle{IMH}\) هر کدام \(40^{\circ}\) باشند. در ادامۀ آن چه چیزی خواهد بود؟ شما \(40^{\circ}\) را از \(65^{\circ}\) تفریق می کنید و به \(25^{\circ}\) برای \(\angle{EHN}\) و \(\angle{JMI}\) می رسید. سپس، هنگامی که می بینید تثلیث دو بار در سایر داده ها نام برده شده است، زنگی در ذهن شما به صدا در می آید و باعث می شود به قضایای مضرب های مشابه یا تقسیمات مشابه فکر کنید. از آنجا که شما از چیزهای کوچک استفاده می کنید (\(\angle{EHN}\) و \(\angle{JMI}\)) تا همنهشتی چیزهای بزرگتر را نتیجه بگیرید (\(\angle{GHN}\) و \(\angle{LMI}\)) ، قضیۀ مضربهای مشابه چیزی است که دقیقاً بدنبالش هستید.

قضایای مضربهای مشابه و تقسیمات مشابه
ترجمۀ شکل:
  1. \(\angle{EHM} \cong \angle{JMH}\)
    داده ها.
  2. \(\angle{NHM} \cong \angle{IMH}\)
    داده ها.
  3. \(\angle{EHN} \cong \angle{JMI}\)
    اگر دو زاویۀ همنهشت از دو زاویۀ همنهشت دیگر تفریق گردند، سپس تفاضل آنها با یکدیگر همنهشت می باشند.
  4. \(\overrightarrow{HE}\) و \(\overrightarrow{HF}\) ، \(\angle{GHN}\) را ثتثلیث می کنند.
    داده ها.
  5. \(\overrightarrow{MJ}\) و \(\overrightarrow{MK}\) ، \(\angle{LMI}\) را ثتثلیث می کنند.
    داده ها.
  6. \(\angle{GHN} \cong \angle{LMI}\)
    اگر دو زاویه همنهشت باشند (زاویه های \(EHN\) و \(JMI\))، سپس مضرب های مشابه آنها همنهشت می باشند (سه برابر یکی برابر است با سه برابر دیگری).

حالا اثباتی داریم که از تقسیم های مشابه استفاده می کند:

قضایای مضربهای مشابه و تقسیمات مشابه
داده ها:
\(\overline{ND} \cong \overline{EL}\)
\(O\) نقطۀ میانی \(\overline{NE}\) است
\(A\) نقطۀ میانی \(\overline{DL}\) است
اثبات کنید:
\(\overline{NO} \cong \overline{AL}\)

در اینجا یک استراتژی بازیِ محتمل داریم: با اولین داده چه کار می توانید بکنید؟ اگر فوراً نمی توانید متوجه شوید، برای \(\overline{ND}\) ، \(\overline{EL}\) ، و \(\overline{DE}\) اندازه هایی بسازید. فرض کنید \(\overline{ND}\) و \(\overline{EL}\) هر دو \(12\) باشند و \(\overline{DE}\) برابر با \(6\) باشد. این منجر می شود تا هم \(\overline{NE}\) و هم \(\overline{DL}\) برابر با \(18\) واحد گردند.

سپس، از آنجایی که هر دوی این پاره خطها با نقطۀ میانی شان تنصیف شده اند، \(\overline{NO}\) و \(\overline{AL}\) هر دو باید \(9\) باشند. تمام شد.

قضایای مضربهای مشابه و تقسیمات مشابه
ترجمۀ شکل:
  1. \(\overline{ND} \cong \overline{EL}\)
    داده ها.
  2. \(\overline{NE} \cong \overline{DL}\)
    اگر یک پاره خط به دو پاره خط همنهشت اضافه گردد، سپس مجموع آنها همنهشت می باشد.
  3. \(O\) نقطۀ میانی \(\overline{NE}\) می باشد.
    \(A\) نقطۀ میانی \(\overline{DL}\) می باشد.
    داده ها.
  4. \(\overline{NO} \cong \overline{AL}\)
    اگر دو پاره خط همنهشت باشند (\(\overline{NE}\) و \(\overline{DL}\))، سپس تقسیمات مشابه آنها همنهشت می باشند (نیمی از یکی از آنها، با نیمی از دیگری برابر می باشد).

قضیۀ تقسیمات مشابه احتمال زیادی دارد که به آسانی با تعاریف نقطۀ میانی، تنصیف، و تثلیث (فصل 3 را ببینید) اشتباه گرفته شوند، بنابراین یادتان باشد: از تعریف نقطۀ میانی، تنصیف، یا تثلیث زمانی استفاده کنید که می خواهید نشان بدهید که بخشهایی از یک پاره خط یا زاویۀ تنصیف شده یا تثلیث شده با یکدیگر برابر می باشند. از قضیۀ تقسیمات مشابه زمانی استفاده کنید که دو شیء تنصیف یا تثلیث شده باشند (مانند \(\overline{NE}\) و \(\overline{DL}\) در اثبات پیشین) و می خواهید نشان دهید، بخشی از آن (\(\overline{NO}\)) با بخشی دیگر (\(\overline{AL}\)) برابر می باشند.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.