قضایای ویژگیهای تراگذری و جانشینی

ویژگی تراگذری (Transitive Property) ـــ به آن ویژگی تعدی و انتقالی نیز می گویند ـــ و ویژگی جانشینی (Substitution Property) ـــ به آن ویژگی جایگذاری و تعویض نیز می گویند ـــ دو اصلی هستند که شما باید فوراً آنها را درک کنید. اگر \(a=b\) و \(b=c\) ، سپس \(a=c\) ، درسته؟ این تراگذری است. و اگر \(a=b\) و \(b \lt c\) ، سپس \(a \lt c\) . این جانشینی است. به اندازۀ کافی ساده می باشد. در لیست زیر، شما این قضایا را با جزئیات بیشتری می بینید:

ویژگی تراگذری (برای سه پاره خط یا زاویه): اگر دو پاره خط (یا زاویه) هر کدام با یک پاره خط (یا زاویه) دیگر همنهشت باشند، سپس آنها با یکدیگر همنهشت هستند. به عنوان مثال، اگر \(\angle{A} \cong \angle{B}\) و \(\angle{B} \cong \angle{C}\) ، سپس \(\angle{A} \cong \angle{C}\) (\(\angle{A}\) و \(\angle{C}\) هر کدام با \(\angle{B}\) همنهشت می باشند، بنابراین آنها با یکدیگر نیز همنهشت هستند). شکل 8-5 را ببینید.
ویژگی تراگذری (برای چهار پاره خط یا زاویه): اگر دو پاره خط (یا زاویه) با پاره خط هایِ (یا زاویه هایِ) همنهشت، همنهشت باشند، سپس آنها با یکدیگر نیز همنهشت هستند. به عنوان مثال، اگر \(\overline{AB} \cong \overline{CD}\) ، \(\overline{CD} \cong \overline{EF}\) ، و \(\overline{EF} \cong \overline{GH}\) ، سپس \(\overline{AB} \cong \overline{GH}\) . (\(\overline{AB}\) و \(\overline{GH}\) با پاره خطهایِ همنهشتِ \(\overline{CD}\) و \(\overline{EF}\) همنهشت می باشند، بنابراین آنها با یکدیگر نیز همنهشت می باشند.) شکل 9-5 را ببینید.
ویژگی جانشینی: اگر دو شیء هندسی (پاره خط، زاویه، مثلث، یا هر چیز دیگر) با یکدیگر همنهشت باشند و شما گزاره ای شامل یکی از آنها داشته باشید، می توانید این دو شیء را با هم تعویض کنید و یکی را جانشین دیگری کنید. به عنوان مثال، اگر \(\angle{X} \cong \angle{Y}\) و \(\angle{Y}\) مکمل \(\angle{Z}\) باشد، سپس \(\angle{X}\) مکمل \(\angle{Z}\) می باشد. در این ویژگی بخصوص وجود تصویر کمکی نمی کند، بنابراین من آن را نادیده می گیرم.

برای جلوگیری از اشتباه گرفتنِ ویژگیهای تراگذری و جانشینی، کافیست این راهنماییها را دنبال کنید:

زمانی از ویژگی تراگذری به عنوان یک دلیل در یک اثبات استفاده کنید که گزارۀ موجود در همان خط شامل چیزهای همنهشت باشد.
زمانی از ویژگی جانشینی استفاده کنید که گزاره شامل همنهشتی نباشد. نکته: ویژگی جانشینی، تنها قضیه ای در این فصل می باشد که شامل همنهشتی در ستون گزاره نمی باشد.

اثبات زیر را که با زاویه ها درگیر میباشد، بررسی کنید:

داده ها:
\(\angle{TFI}\) یک زاویۀ قائمه می باشد
\(\angle{1} \cong \angle{2}\)
اثبات کنید:
\(\angle{2}\) متمم \(\angle{3}\) می باشد.

در اینجا نیازی به استراتژی بازی نداریم، زیرا اثبات خیلی کوتاه می باشد ـــ نگاهی بیندازید:

ترجمۀ شکل:

\(\angle{TFI}\) یک زاویۀ قائمه می باشد.
داده ها.
\(\angle{1}\) متمم \(\angle{2}\) می باشد.
اگر دو زاویه یک زاویۀ قائمه را تشکیل دهند، سپس آنها متمم می باشند (تعریف متمم).
\(\angle{1}\) با \(\angle{2}\) همنشهت می باشند.
داده ها.
\(\angle{2}\) متمم \(\angle{3}\) می باشد.
ویژگی جانشینی (گزاره هایِ 2 و 3؛ \(\angle{2}\) جانشین \(\angle{1}\) می شود).

و برای بخش نهاییِ برنامه، در اینجا یک اثبات دیگر داریم:

داده ها:
\(X\) نقطۀ میانی \(\overline{MS}\) و \(\overline{OI}\) می باشد
\(\overline{SX} \cong \overline{IX}\)
اثبات کنید:
\(\overline{MX} \cong \overline{OX}\)

این هم یک اثبات کوتاه دیگر می باشد که نیازی به استراتژی بازی ندارد.

ترجمۀ شکل:

\(X\) نقطۀ میانی \(\overline{MS}\) و \(\overline{OI}\) می باشد.
داده ها.
\(\overline{SX} \cong \overline{MX}\)
\(\overline{IX} \cong \overline{OX}\)
یک نقطۀ میانی یک پاره خط را به دو پاره خط همنهشت تقسیم می کند.
\(\overline{SX} \cong \overline{IX}\)
داده ها.
\(\overline{MX} \cong \overline{OX}\)
ویژگی تراگذری (برای چهار پاره خط؛ گزاره های 2 و 3).