خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


اصل نامساوی مثلث

اصل نامساوی مثلث
نویسنده : امیر انصاری
اصل نامساوی مثلث (triangle inequality principle) بیان می دارد که مجموع طول هر دو ضلع دلخواه از یک مثلث باید بزرگتر از طول ضلع سوم باشد. این اصل در مسائل بسیار زیادی ظاهر می شود، بنابراین آن را فراموش نکنید! این اصل مبتنی بر این حقیقت ساده می باشد که کوتاهترین فاصله بین دو نقطه یک خط راست است. شکل 3-7 و توضیحات متعاقب آن را بررسی کنید تا منظور من را متوجه شوید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



اصل نامساوی مثلث
در \(\triangle{ABC}\) ، کوتاهترین مسیر از \(A\) به \(B\) چه می باشد؟ قطعاً، مستقیم از \(A\) به \(B\) رفتن، کوتاه تر از اینست که ابتدا یک مسیر انحرافی را از \(A\) به \(C\) برویم و سپس از آنجا به \(B\) برویم. اصل نامساوی مثلث به صورت خلاصه همین می باشد.

در \(\triangle{ABC}\) ، از آنجا که شما می دانید \(AB\) باید کوچکتر از \(AC\) بعلاوۀ \(CB\) باشد، پس \(x+8\) باید بزرگتر از \(10\) باشد؛ بنابراین:
$$
x+8 \gt 10 \\[2ex]
x \gt 2
$$
اما فراموش نکنید اصل یکسانی در مورد مسیر \(A\) به \(C\) نیز برقرار است؛ بنابراین، \(8+10\) باید بزرگتر از \(x\) باشد:
$$
8+10 \gt x \\[2ex]
18 \gt x
$$
شما می توانید هر دویِ این پاسخها را به شکل یک پاسخ واحد بنویسید:
$$ 2 \lt x \lt 18 $$
اینها طول های ممکن برای ضلع \(\overline{AC}\) می باشند. شکل 4-7 این بازه از طول ها را به شما نشان می دهد. به رأس \(B\) به عنوان یک لولا فکر کنید. هر چقدر این لولا بیشتر و بیشتر باز شود، طول \(\overline{AC}\) رشد می کند.

اصل نامساوی مثلث
نکته: اگر با خودتان اندیشیدید که چرا من به مسیر سوم، یعنی \(B\) تا \(C\)، اشاره ای نکردم، یک آفرین به خودتان بگویید. دلیلش اینست: در اولین نامساوی بالا، من طول ضلع بزرگتر و معلوم (یعنی \(10\)) را در سمت راست نامساوی قرار دادم، و در نامساوی دوم، ضلع مجهول (یعنی \(x\)) را در سمت راست قرار دادم. این تمام چیزی است که برای رسیدن به پاسخ باید انجام بدهید. شما نیازی ندارید تا یک نامساوی سوم داشته باشید که در آن ضلع کوتاهترِ معلوم (یعنی \(8\)) را ذکر کنید، زیرا آن ضلع چیزی به پاسخ شما نمی افزاید ـــ شما به سادگی در می یابید که \(x\) باید بزرگتر از \(-2\) باشد، و در هر صورت، اندازۀ یک ضلع باید عددی مثبت باشد.

راستی، اگر این مسأله به جای \(\triangle{ABC}\)، در مورد سه شهر \(A\) ، \(B\) ، و \(C\) می بود، سپس مسافت های ممکن بین شهرهای \(A\) و \(C\) یکسان می بود، با این استثناء که نماد کوچکتر از به نماد کوچکتر از یا مساوی، تبدیل می شد:
$$ 2 \le x \le 18 $$
این به این دلیل است که ـــ برخلاف رأس های \(A\)، \(B\)، و \(C\) در \(\triangle{ABC}\) ـــ شهرهای \(A\)، \(B\)، و \(C\) می توانند در یک خط راست قرار بگیرند. دوباره به شکل 4-7 نگاه کنید. اگر \(\angle{B}\) به \(0^{\circ}\) برسد، شهرها در یک خط قرار خواهند گرفت، و فاصلۀ بین \(A\) و \(C\) دقیقاً برابر با \(2\) خواهد بود؛ اگر \(\angle{B}\) تماماً باز شود و به \(180^{\circ}\) برسد، دوباره شهرها در یک خط خواهند بود، و فاصلۀ بین \(A\) تا \(C\) دقیقاً برابر با \(18\) می گردد. با این حال، شما نمی توانید این کار را با مثال مثلث انجام بدهید، زیرا وقتیکه \(A\)، \(B\)، و \(C\) در یک خط باشند، دیگر مثلثی باقی نمی ماند.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.