خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


اندازه گیری مساحت مثلث

اندازه گیری مساحت مثلث
نویسنده : امیر انصاری
در این بخش تمامی چیزهایی را که برای تعیین مساحت (area) یک مثلث نیاز دارید بدانید، دقیقاً بررسی می کنم (همانطور که خودتان هم احتمالاً بدانید، مساحت میزان فضای داخل یک شکل می باشد). من به شما نشان می دهم ارتفاع (altitude) چیست و چگونه از آن در فرمول استاندارد مساحت مثلث استفاده می کنید. همچنین روش میانبری را به شما یاد می دهم که با استفاده از آن می توانید مساحت یک مثلث را صرفاً با دانستن اندازۀ سه ضلع آن و بدون نیاز به ارتفاعش، بدست آورید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



اندازه گیری ارتفاع ها


ارتفاع (Altitude) یک مثلث: ارتفاع یک پاره خط است که از رأس یک مثلث آغاز می شود و تا ضلع مقابل آن (یا در صورت لزوم ادامۀ ضلع مقابل آن) می رسد، این پاره خط بر ضلع مقابلش عمود می باشد؛ این ضلع مقابل قاعده (base) نامیده می شود. (شما از تعریف ارتفاع در برخی از اثبات های مثلث ها استفاده می کنید. فصل 9 را ببینید.)

تصور کنید یک مثلث مقوایی دارید که مستقیم روی یک میز سرپا ایستاده است. ارتفاع (یا بلندیِ) این مثلث دقیقاً آن چیزی را که انتظارش را دارید به شما می گوید ـــ ارتقاع مثلث (h) از نوک آن سر راست رو به پایین تا روی میز می باشد. این ارتفاع تا قاعدۀ مثلث پایین می رود که روی سطح میز قرار دارد. شکل 5-7 یک مثال از ارتفاع را به شما نشان می دهد.

اندازه گیری مساحت مثلث
هر مثلثی دارای سه ارتفاع می باشد، یک ارتفاع به ازاء هر ضلع آن. شکل 6-7 همان مثلث موجود در شکل 5-7 را به شما نشان می دهد که بر اساس دو موقعیت ممکن دیگرِ آن، روی میز سرپا قرار گرفته است: با \(\overline{CB}\) در قاعدۀ آن و با \(\overline{BA}\) در قاعدۀ آن.

اندازه گیری مساحت مثلث
هر مثلثی دارای سه ارتفاع می باشد، خواه آن مثلث روی یک میز سرپا ایستاده باشد یا خیر. و شما می توانید از هر ضلعی از یک مثلث به عنوان قاعدۀ آن استفاده کنید، صرفنظر از اینکه آیا آن ضلع در پایین قرار دارد یا خیر. شکل 7-7 ، دوباره \(\triangle{ABC}\) را با هر سه ارتفاع آن نشان می دهد.

اندازه گیری مساحت مثلث
نکات زیر در مورد طول و موقعیت ارتفاع ها در انواع مختلف مثلث ها می باشند:

  • مثلث مختلف الاضلاع (Scalene): هیچکدام از ارتفاع هایش دارای طول یکسان نمی باشند.
  • مثلث متساوی الساقین (Isosceles): دو ارتفاع آن دارای طول یکسان می باشند.
  • مثلث متساوی الاضلاع (Equilateral): هر سه ارتفاع آن دارای طول یکسانند.
  • مثلث حاده الزاویه (Acute): هر سه ارتفاع آن داخل مثلث قرار دارند.
  • مثلث قائم الزاویه (Right): یک ارتفاع آن داخل مثلث قرار دارد، و دو ارتفاع دیگر آن همان ساقهای مثلث می باشند (این نکته را در هنگام محاسبۀ مساحت یک مثلث قائم الزاویه، به خاطر داشته باشید).
  • مثلث منفرجه الزاویه (Obtuse): یک ارتفاع داخل مثلث قرار دارد، و دو ارتفاع دیگر خارج از مثلث می باشند.

تعیین مساحت یک مثلث


در این بخش، سه روش برای محاسبۀ مساحت یک مثلث به شما ارائه می کنم: فرمول مشهور استاندارد، یک فرمول کمتر شناخته شده اما سودمند که بیش از 2000 سال قدمت دارد، و فرمول مساحت یک مثلث متساوی الاضلاع.

فرمول استاندارد مساحت مثلث


فرمول مساحت مثلث: شما احتمالاً برای اولین بار وقتی که در دوران دبستان بودید با این فرمول آشنا شده اید. اگر آن را فراموش کرده اید، نگران نباشید ـــ من این فرمول را همینجا آورده ام:
$$Area_\triangle = {1\over2}base \cdot height$$
مساحت مثلث برابر است با یک دومِ ارتفاع آن ضربدر قاعدۀ آن

اگر در به یاد آوری این فرمول مشکل دارید، به عنوان یک روش جایگزین این کار را انجام دهید. اگر بر روی این تمرکز کنید که چرا این فرمول صحیح می باشد، آن را فراموش نخواهید کرد ـــ نکته ای که در ادامه آمده است یکی از مهمترین نکات ارائه شده در این کتاب می باشد.

هرگاه که ممکن باشد، مفاهیم ریاضی، فرمولها، و به همین ترتیب را، صرفاً با تکرار مداوم حفظ نکنید. سعی کنید تا بفهمید چرا آنها صحیح هستند. هنگامی که چرایی مفاهیم را متوجه شوید، آنها را بهتر بخاطر می آورید و درک عمیقتری از ارتباطات بین مفاهیم ریاضی پیدا خواهید کرد. این درک شما را یک دانش آموز ریاضیِ موفق تر خواهد کرد.

خوب، چرا مساحت یک مثلث برابر با \({1\over2} base \cdot height\) می باشد؟ زیرا مساحت یک مستطیل برابر با \(base \cdot heigh\) است (که همان طول ضربدر عرض می باشد)، و یک مثلث نصفِ یک مستطیل می باشد.

شکل 8-7 را بررسی کنید، که به شما دو مثلث را نشان می دهد که در احاطۀ دو مستطیل \(HALF\) و \(PINT\) قرار گرفته اند.

اندازه گیری مساحت مثلث
اینکه \(\triangle{HAF}\) نیمی از مساحت مستطیل \(HALF\) را دارا می باشد، بدیهی به نظر می رسد. در مورد شکل دوم اندکی دقیقتر باید شوید. \(\triangle{PXT}\) نیمی از مساحت مستطیلی که آن را احاطه کرده است دارا می باشد. (مثلث \(PXZ\) نیمی از مساحت مستطیل \(PIXZ\) و مثلث \(ZXT\) نیمی از مساحت مستطیل \(ZXNT\) را دارد.) از آنجا که هر مثلث ممکن، مشابه مثالهایی که دیدید در یک مستطیل می گنجد، هر مثلثی نیمی از یک مستطیل می باشد.

اکنون مثالی شامل یافتن مساحت یک مثلث داریم: طول ارتفاع \(\overline{XT}\) در \(\triangle{WXR}\) در شکل 9-7 چقدر می باشد؟

اندازه گیری مساحت مثلث
فوت و فن این کار اینست که توجه کنید، از آنجا که \(\triangle{WXR}\) یک مثلث قائم الزاویه می باشد، ساق های \(\overline{WX}\) و \(\overline{RX}\) ارتفاع های این مثلث نیز می باشند. بنابراین شما می توانید یکی از آنها را به عنوان ارتفاع استفاده کنید، و سپس ساق دیگر به صورت اتوماتیک تبدیل به قاعدۀ آن می شود. این اندازه ها را در فرمول مساحت مثلث قرار دهید تا مساحت آن را بدست آورید:
$$
Area_\triangle = {1\over2} base \cdot height \\
={1\over2} (RX)(WX)\\
={1\over2} (20)(15)\\
=150
$$
اکنون دوباره می توانید از فرمول مساحت مثلث استفاده کنید، از این مساحت \(150\) ، پایۀ \(\overline{WR}\) ، و ارتفاع \(\overline{XT}\) استفاده کنید:
$$
Area_\triangle{WXR} = {1\over2} base \cdot height \\
150={1\over2} (WR)(XT)\\
150={1\over2} (25)(XT)\\
12=XT
$$
خودشه.

فرمول هرون برای یافتن مساحت مثلث از روی محیط آن


فرمول هرون: هنگامی که طول سه ضلع یک مثلث را بدانید و ارتفاع آن را نداشته باشید، فرمول هرون بسیار کارآمد خواهد بود. آن را ببینید:
$$ Area_\triangle = \sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)} $$
در این فرمول \(a\) ، \(b\) ، و \(c\) اضلاع مثلث و \(S\) نصف محیط (semiperimeter) می باشد. (نصف محیط از فرمول \(S=\frac{a+b+c}{2}\) بدست می آید).

بیایید از فرمول هرون برای محاسبۀ مساحت یک مثلث که طول اضلاع آن \(5\) ، \(6\) ، و \(7\) می باشند، استفاده کنیم. ابتدا نیاز به محیط این مثلث دارید (مجموع اضلاع آن)، و از روی آن می توانید نصف محیط را محاسبه کنید. محیط این مثلث برابر با \(5+6+7=18\) می باشد، بنابراین نصف محیط برابر با \(9\) خواهد بود. اکنون فقط کافیست مقادیر \(9\) ، \(5\) ، \(6\) ، و \(7\) را در فرمول هرون جایگذاری کنید:
$$
Area_\triangle = \sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)} \\
= \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} \\
= \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} \\
= \sqrt{36 \cdot 6} \\
= 6\sqrt{6} \approx 14.7
$$

فرمول مساحت مثلث متساوی الاضلاع


شما بدون فرمول محیط یک مثلث متساوی الاضلاع نیز می توانید زنده بمانید، زیرا می توانید از یک ضلع برای محاسبۀ ارتفاع استفاده کنید و سپس از فرمول معمولی مساحت استفاده کنید (مبحث مربوط به مثلث \(30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}\) را در فصل 8 ببینید). اما این فرمول زیبایی برای دانستن است زیرا در یک مرحله پاسخ را به شما می دهد.

مساحت یک مثلث متساوی الاضلاع (با ضلع \(s\)):
$$Area_{Equilateral \triangle}=\frac{s^2 \sqrt{3}}{4}$$

شما این شانس را دارید که در فصل 12 و 14 این فرمول را در عمل ببینید.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.