سه روش برای اثبات همنشهتی مثلث ها

شما به مهمترین رویداد هندسی در دوران دبیرستان رسیده اید: اثبات مثلث ها. اثباتهای موجود در فصلهای 4، 5، و 6 اثبات های کاملی هستند که چگونگی کارکرد اثبات ها، و بسیاری از مهمترین استراتژی های اثبات را به شما نشان می دهند. اما از سوی دیگر، آنها به نوعی فقط دست گرمی یا اثبات های مقدماتی هستند که زمینه را برای اثبات های تکامل یافته و واقعیِ مثلث که در این فصل خواهید دید، آماده می سازند. در اینجا، من به شما نشان می دهم چگونه همنهشت بودن مثلث ها را، با کار بر روی بخشهای همنهشت آنها، و استفاده از قصیۀ بی نهایت مهم مثلث متساوی الساقین، اثبات کنید. همچنین منطق اندکی عجیبِ موجود در اثبات های غیر مستقیم را به شما توضیح خواهم داد.

معرفی سه روش برای اثبات مثلث های همنهشت

در واقع شما می توانید با پنج روش اثبات کنید که مثلث ها همنهشتند. در این بخش من فقط سه روش اول را به شما ارائه می کنم و دو روش بعدی را در ادامۀ همین فصل مطرح خواهم نمود.

مثلث های همنهشت (Congruent triangles): مثلث های همنهشت، مثلث هایی هستند که در آنها تمامی جفت اضلاع و زوایای متناظر با یکدیگر همنهشت باشند.

شاید بهترین روش برای فکر کردن در مورد معنای دو مثلث همنهشت (یا هر شکل دیگر) این باشد که شما بتوانید آنها را به اطراف حرکت بدهید (بوسیلۀ انتقال دادن، چرخاندن، و/یا برعکس کردن آنها) به نحویکه آنها به صورت کامل بر روی یکدیگر قرار بگیرند.

شما با گزاره ای همچون \(\triangle{ABC} \cong \triangle{XYZ}\) همنهشت بودن مثلث ها را نشان می دهید، که بدین معنا می باشد که رأس \(A\) (اولین حرف) متناظر با رأس \(X\) (اولین حرف) می باشد و روی آن قرار می گیرد، \(B\) بر روی \(Y\)، و \(C\) بر روی \(Z\) قرار می گیرد. ضلع \(\overline{AB}\) بر روی ضلع \(\overline{XY}\) ، \(\angle{B}\) بر روی \(\angle{Y}\) قرار می گیرد، و به همین ترتیب. خلاصه اش اینکه دو مثلث همنهشت در همه چیز کاملاً با هم یکسان هستند.

شکل 1-9 دو مثلث همنهشت را نشان می دهد، در سمت چپ پیکره بندی قدیم این دو مثلث و در سمت راست آنها را به صورت تراز شده نشان می دهد. مثلث های سمت چپ همنهشت هستند، اما گزارۀ \(\triangle{ABC} \cong \triangle{PQR}\) اشتباه می باشد. تصور کنید چگونه باید \(\triangle{PQR}\) را حرکت دهید تا با \(\triangle{ABC}\) هم راستا گردد ـــ شما باید آن را برعکس کنید و سپس بچرخانید. در سمت راست، من \(\triangle{PQR}\) را به نحوی حرکت داده ام که با \(\triangle{ABC}\) کاملاً در یک راستا قرار بگیرد. با این اوصاف داریم: \(\triangle{ABC} \cong \triangle{RQP}\) . تمامی بخشهای متناطر از این مثلث ها با یکدیگر همنشهتند: \(\overline{AB} \cong \overline{RQ}\) ، \(\overline{BC} \cong \overline{QP}\) ، \(\angle{C} \cong \angle{P}\) ، و به همین ترتیب.

استفاده از روش ضلع-ضلع-ضلع: ض ض ض

روش ضلع-ضلع-ضلع (ض ض ض): ـــ به انگلیسی: Side-Side-Side \((SSS)\) ـــ اصل SSS بیان می دارد که اگر سه ضلع یک مثلث با سه ضلع یک مثلث دیگر همنهشت باشند، سپس آن مثلث ها با هم همنهشت هستند. شکل 2-9 این مفهوم را به شما نشان می دهد.

شما می توانید از اصل SSS در اثبات زیر استفاده کنید:

داده ها (مفروضات):
\(\overline{AG} \cong \overline{EG}\)
\(\overline{NG} \cong \overline{LG}\)
\(\overline{AR} \cong \overline{ET}\)
\(\overline{NI} \cong \overline{LI}\)
\(T\) نقطۀ میانی \(\overline{NI}\) می باشد
\(R\) نقطۀ میانی \(\overline{LI}\) می باشد
اثبات کنید (حکم):
\(\triangle{ANT} \cong \triangle{ELR}\)

یادداشت مترجم: در آموزش های ریاضی به زبان فارسی معمولاً "داده ها" را با عناوین "فرض" یا "مفروضات" نیز می شناسند. در مورد اثبات نیز معمولاً کلمۀ "حکم" به کار می رود. در ترجمۀ این کتاب معمولاً سعی می شود در حد امکان معادلهای مختلف یک کلمه ذکر گردد.

قبل از اینکه شروع به نوشتن یک اثبات رسمی کنید، استراتژی بازی خود را بدست آورید. در اینجا چگونگی احتمالی آن را می بینید.

شما می دانید که باید همنهشت بودن این مثلث ها را اثبات کنید، بنابراین اولین سوال شما باید این باشد "آیا می توانید نشان دهید که سه جفت از اضلاع متناظر با یکدیگر همنهشت می باشند؟" قطعاً، شما می توانید این کار را انجام دهید:

\(\overline{NG}\) و \(\overline{LG}\) را از \(\overline{AG}\) و \(\overline{EG}\) تفریق کنید تا به اولین جفت از اضلاع همنهشت، یعنی \(\overline{AN}\) و \(\overline{EL}\)، برسید.
\(\overline{TR}\) را از \(\overline{AR}\) و \(\overline{ET}\) تفریق کنید تا به دومین جفت از اضلاع همنهشت، یعنی \(\overline{AT}\) و \(\overline{ER}\) برسید.
پاره خطهای همنهشتِ \(\overline{NI}\) و \(\overline{LI}\) را از وسط به دو نیم کنید تا به سومین جفت، یعنی \(\overline{NI}\) و \(\overline{LR}\) برسید. تمام شد.

برای اینکه این استراتژی بازی را ملموس تر کنید، ممکن است بخواهید برای پاره خطهای مختلف اندازه هایی را ایجاد کنید. به عنوان مثال، فرض کنید \(AG\) و \(EG\) برابر با \(9\)، \(NG\) و \(LG\) برابر با \(3\)، \(AR\) و \(ET\) برابر با \(8\)، \(TR\) برابر با \(3\) ، و \(NI\) و \(LI\) برابر با \(8\) باشند. هنگامی که با این اندازه ها محاسبات ریاضی را انجام بدهید، خواهید دید که \(\triangle{ANT}\) و \(\triangle{ELR}\) هر دو به اندازه های \(4\) ، \(5\) ، و \(6\) می رسند، که البته به معنای همنهشت بودن آنها خواهد بود.

در اینجا چگونگی شکل گیری اثبات رسمی را می بینید:

ترجمۀ شکل:

\(\overline{AG} \cong \overline{EG}\)
\(\overline{NG} \cong \overline{LG}\)
داده ها.
\(\overline{AN} \cong \overline{EL}\)
اگر دو پاره خط همنهشت از دو پاره خط همنشهت دیگر تفریق گردند، سپس تفاضل آنها با یکدیگر همنهشت می باشند.
\(\overline{AR} \cong \overline{ET}\)
داده ها.
\(\overline{AT} \cong \overline{ER}\)
اگر یک پاره خط از دو پاره خط همنهشت تفریق گردد، سپس تفاضل آنها همنهشت می باشند.
\(\overline{NL} \cong \overline{LI}\)
\(T\) نقطۀ میانی \(\overline{NI}\) می باشد.
\(R\) نقطۀ میانی \(\overline{LI}\) می باشد.
داده ها.
\(\overline{NT} \cong \overline{LR}\)
اگر پاره خطها همنهشت باشند، سپس تقسیمات مشابه آنها نیز با یکدیگر همنهشت خواهند بود (نیمی از یکی از آنها با نیمی از دیگر همنهشت خواهد بود ـــ فصل 5 را ببینید).
\(\triangle{ANT} \cong \triangle{ELR}\)
بر اساس اصل SSS (گزاره های 2، 4، 6)

نکته: بعد از SSS در مرحلۀ نهایی، من به سه خط از ستون گزاره ها اشاره کرده ام که در آنها نشان داده ام این سه جفت ضلع با یکدیگر همنهشت می باشند. شما مجبور نیستید این کار را انجام بدهید، اما ایده خوبی است. و به شما کمک می کند تا از برخی از اشتباهات ناشی از کم دقتی جلوگیری کنید. یادتان باشد، هر کدام از این سه خط که لیست می کنید باید یک همنهشتی از پاره خط ها (یا زاویه ها، در صورتی که از سایر رویکردها برای اثبات همنهشتی مثلث استفاده می کنید) را نشان بدهند.

استفاده از روش ضلع-زاویه-ضلع: ض ز ض

روش ضلع-زاویه-ضلع (ض ز ض) ـــ به انگلیسی Side-Angle-Side \((SAS)\): اصل SAS بیان می دارد که اگر دو ضلع و زاویۀ بین آنها از یک مثلث با دو ضلع و زاویۀ بین آنها از مثلث دیگری همنهشت باشند، سپس آن مثلث ها با یکدیگر همنهشت خواهند بود. شکل 3-9 این روش را به شما نشان می دهد.

اصل SAS را در عمل بررسی کنید:

داده ها:
\(\triangle{QZX}\) یک مثلث متساوی الساقین با قاعدۀ \(\overline{QX}\) می باشد.
\(\overline{JQ} \cong \overline{XF}\)
\(\angle{1} \cong \angle{2}\)
اثبات کنید:
\(\triangle{JZX} \cong \triangle{FZQ}\)

هنگامی که مثلث های دارای همپوشانی درک شما از یک شکل هندسی را مبهم می کنند، سعی کنید با ترسیم جداگانۀ مثلث ها، شکل دومی بسازید که واضح تر باشد. انجام این کار منجر می شود تا ایده شفاف تری از چگونگی اینکه اضلاع و زاویه ها در ارتباط با یکدیگر می باشند، پیدا کنید. با تمرکز بر روی این شکل هندسی جدید ساده تر می توانید متوجه گردید که برای همنهشت بودن مثلث ها چه کاری باید انجام بدهید. اگرچه، هنوز هم برای درک بعضی از بخشهای اثبات باید به شکل اصلی مراجعه کنید، بنابراین از شکل دوم به عنوان یک کمک برای مدیریت بهترِ شکل اصلی استفاده کنید.

شکل 4-9 به شما نشان می دهد این شکل های هندسی اثبات ها با تفکیک مثلث ها چگونه می باشند.

با نگاه کردن به شکل 4-9 به سادگی می توانید ببینید که این مثلث ها همنهشت می باشند (آنها تصویر آینه شدۀ یکدیگر می باشند). شما همچنین می توانید ببینید که به عنوان مثال، ضلع \(\overline{ZX}\) با ضلع \(\overline{ZQ}\) متناظر می باشند و \(\angle{X}\) متناظر با \(\angle{Q}\) می باشد.

بنابراین با استفاده از هر دوی این شکل ها، استراتژی بازی ممکن را در اینجا می بینید:

تعیین کنید کدام اصل همنهشتی مثلث ها احتمال بیشتری دارد که برای اثبات همنهشتی این مثلث ها به کار شما آید.
شما می دانید که باید همنهشتی این مثلث ها را اثبات کنید، و یکی از داده های این اثبات در مورد زاویه ها می باشد، بنابراین به نظر می رسد اصل SAS نسبت به اصل SSS کاندیدای بهتری برای دلیل نهایی باشد. (شما مجبور نیستید که این موضوع را در این مرحله کشف کنید، اما ایدۀ بدی نیست که حداقل حدسی از دلیل نهایی داشته باشید.)
به داده ها نگاه کنید و در این باره فکر کنید که آنها در مورد مثلث ها چه چیزهایی را به شما می گویند.
مثلث \(QZX\) متساوی الساقین می باشد، بنابراین این به شما می گوید که \(\overline{ZQ} \cong \overline{ZX}\) . به این اضلاع در هر دو شکل بنگرید. بر روی \(\overline{ZQ}\) و \(\overline{ZX}\) در شکل 4-9 علامت های تیکی را قرار دهید تا بدانید آنها همنهشت می باشند. حالا به این فکر کنید که چرا آنها داده بعدی را به شما داده اند، \(\overline{JQ} \cong \overline{XF}\) . خوب، اگر هر دوی آنها برابر با \(6\) و \(\overline{QX}\) برابر با \(2\) باشند چه می شود؟ \(\overline{JX}\) و \(\overline{QF}\) هر دو برابر با \(8\) خواهند بود، بنابراین شما یک جفت دوم از اضلاع همنهشت را خواهید داشت. در شکل 4-9 با قرار دادن علامتهای تیک، این همنهشتی را نشان دهید.
جفت زاویه های همنهشت را بیابید.
دوباره به شکل 4-9 نگاه کنید. اگر بتوانید نشان دهید که \(\angle{X}\) با \(\angle{Q}\) همنشت می باشند، در آن صورت SAS را خواهید داشت. آیا در شکل 4-9 و همینطور در شکل اصلی، می توانید ببینید که \(\angle{X}\) و \(\angle{Q}\) در کجا قرار دارند؟ توجه داشته باشید که آنها مکمل زاویه های همنهشت \(\angle{1}\) و \(\angle{2}\) می باشند. تمام شد. اگر زاویه های \(1\) و \(2\) همنهشت باشند که هستند، بنابراین مکمل های آنها نیز با یکدیگر همنهشت خواهند بود. (اگر شما اعداد را در زاویه ها قرار دهید، خواهید دید که اگر \(\angle{1}\) و \(\angle{2}\) هر دو \(100^{\circ}\) باشند، \(\angle{Q}\) و \(\angle{X}\) هر دو برابر با \(80^{\circ}\) خواهند بود.)

در اینجا اثبات رسمی را می بینید:

ترجمۀ شکل:

\(\triangle{QZX}\) یک مثلث متساوی الساقین با قاعدۀ \(\overline{QX}\) می باشد.
داده ها.
\(\overline{ZX} \cong \overline{ZQ}\)
تعریف مثلث متساوی الساقین.
\(\overline{JQ} \cong \overline{XF}\)
داده ها.
\(\overline{JX} \cong \overline{FQ}\)
اگر یک پاره خط به دو پاره خط همنهشت اضافه گردد، سپس مجموع آنها با یکدیگر همنهشت خواهند بود.
\(\angle{1} \cong \angle{2}\)
داده ها
\(\angle{ZXJ} \cong \angle{ZQF}\)
اگر دو زاویه مکمل دو زاویۀ همنهشت دیگر باشند، سپس آنها با یکدیگر همنهشتند.
\(\triangle{JZX} \cong \triangle{FZQ}\)
اصل SAS (گزاره های 2، 4، 6)

استفاده از روش زاویه-ضلع-زاویه: ز ض ز

روش زاویه-ضلع-زاویه (ز ض ز) ـــ به انگلیسی Angle-Side-Angle \((ASA)\): اصل ASA بیان می دارد که اگر دو زاویه و ضلع میان یک مثلث با دو زاویه و ضلع میان آنها در یک مثلث دیگر همنهشت باشند، سپس آن مثلث ها با یکدیگر همنهشت می باشند. شکل 5-9 را ببینید.

در اینجا یک اثبات مثلث های همنهشت با اصل ASA را داریم:

داده ها:
\(E\) نقطۀ میانی \(\overline{NO}\) می باشد
\(\angle{SNW} \cong \angle{TOA}\)
\(\overrightarrow{NW}\) ، نیمساز \(\angle{SNE}\) می باشد (آن را تنصیف می کند)
\(\overrightarrow{OA}\) نیمساز \(\angle{TOE}\) می باشد
اثبات کنید:
\(\triangle{SNE} \cong \triangle{TOE}\)

این استراتژی بازی من است:

به اضلاع و زوایای همنهشت در شکل هندسی توجه کنید.
بیشتر از هر چیز دیگر، به زوایای متقابل به رأس توجه کنید (من زوایای متقابل به رأس را در فصل 2 معرفی نمودم). زوایای متقابل به رأس در بسیاری از اثبات ها مهم می باشند، به هیچ وجه نباید آنها را از قلم بیندازید. سپس، نقطۀ میانیِ \(E\) به شما \(\overline{NE} \cong \overline{OE}\) را می دهد. بنابراین اکنون یک جفت زاویۀ همنهشت و یک جفت ضلع همنهشت دارید.
تعیین کنید از کدام اصل همنهشتی مثلث ها می خواهید استفاده کنید.
برای اینکه این اثبات را با اصل SAS تمام کنید، باید نشان دهید که \(\overline{SE} \cong \overline{TE}\) ؛ و برای اینکه این اثبات را با اصل ASA به پایان برسانید، نیاز به \(\angle{SNE} \cong \angle{TOE}\). یک مرور سریع به زوایای تنصیف شده (و یا به عنوان این بخش! البته این تقلب است!) در داده ها اصل ASA را بسیار محتمل تر می کند. همانطور که انتظار می رود، شما می توانید به \(\angle{SNE} \cong \angle{TOE}\) برسید، زیرا یکی از داده ها می گوید نیمی از \(\angle{SNE}\) یعنی \(\angle{SNW}\) با نیمی از \(\angle{TOE}\) یعنی \(\angle{TOA}\) همنهشت می باشد. این پایان کار است.

در اینجا چگونگی اثبات رسمی را می بینید:

ترجمۀ شکل:

\(\angle{SEN} \cong \angle{TEO}\)
زوایای متقابل به رأس همنهشتند.
\(E\) نقطۀ میانی \(\overline{NO}\) می باشد
داده ها.
\(\overline{NE} \cong \overline{OE}\)
تعریف نقطۀ میانی.
\(\angle{SNW} \cong \angle{TOA}\)
داده ها.
\(\overrightarrow{NW}\) نیمساز \(\angle{SNE}\) می باشد
\(\overrightarrow{OA}\) نیمساز \(\angle{TOE}\) می باشد
داده ها.
\(\angle{SNE} \cong \angle{TOE}\)
اگر دو زاویه همنهشت باشند (زاویه های \(SNW\) و \(TOA\)) ، سپس مضرب های مشابه آنها با یکدیگر همنهشت می باشند (دو برابر یکی، دو برابر دیگری می باشد).
\(\triangle{SNE} \cong \triangle{TOE}\)
اصل ASA (گزاره های 1، 3، 6).