خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


اثبات همنهشتی مثلث ها با روش های AAS و HLR

اثبات همنهشتی مثلث ها با روش های AAS و HLR
نویسنده : امیر انصاری
در ابتدای این بخش، به شما قول دادم که در ادامۀ فصل دو روش دیگر برای اثبات مثلث ها را ارائه کنم. الان اینجا هستم تا به قولم عمل کرده باشم. سعی نکنید تا ارتباط زیبایی بین این دو روش اضافی بیابید. تنها دلیل اینکه این دو روش را از سه روش را در بخش جداگانه ای گنجاندم سبک تر شدن آموزش ها بود و نه چیز دیگر.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



روش زاویه-زاویه-ضلع (ز ز ض)


روش زاویه-زاویه-ضلع (ز ز ض) ـــ به انگلیسی Angle-Angle-Side \((AAS)\) : اصل AAS بیان می دارد که اگر دو زاویه و یک ضلع غیر از ضلع میانی این دو زاویه از یک مثلث با دو زاویه و یک ضلع غیر از ضلع میان این دو زاویه در مثلثی دیگر با یکدیگر همنهشت باشند، سپس آن مثلث ها با هم همنهشت می باشند. شکل 10-9 چگونگی کارکرد اصل AAS را به شما نشان می دهد.

اثبات همنهشتی مثلث ها با روش های AAS و HLR
مشابه اصل ASA ، برای استفاده از اصل AAS، شما نیاز به دو جفت زاویۀ همنهشت و یک جفت ضلع همنهشت دارید تا بتوانید همنهشتی دو مثلث را اثبات کنید. اما در اصل AAS ، این دو زاویه و یک ضلع در هر مثلث باید در ترتیب زاویه-زاویه-ضلع (می توانند هم در جهت چرخش عقربه های ساعت و هم برخلاف جهت چرخش عقربه های ساعت باشند) قرار گرفته باشند.

ASS و SSA چیزی را اثبات نمی کنند، بنابراین سعی نکنید تا از ASS (یا دوقلوی وارونۀ آن، SSA) استفاده کنید تا همنهشتی مثلث ها را اثبات کنید. شما می توانید از SSS، SAS، ASA، و AAS (یا دوقلوی وارونۀ آن SAA) استفاده کنید تا همنهشتی مثلث ها را اثبات کنید، اما نه ASS. به صورت خلاصه، هر ترکیب سه حرفی از حروف A و S چیزی را اثبات می کند به جز ass و وارونۀ آن یعنی ssa. (شما با AAA در فصل 13 کار خواهید کرد، اما برای نشان دادن تشابه مثلث ها کاربرد دارد و نه همنهشتی.)

سعی کنید اثبات زیر را با جستجو برای تمام مثلث های متساوی الساقین (با استفاده از قضیۀ مثلث متساوی الساقین) و برای تمامی مثلث های همنهشت (با CPCTC) حل کنید. شاید به نظر برسد که روی برخی از چیزها زیاد تاکید می کنم و مدام صحبتهایم تکراری می شوند، اما نمی توانم به شما بگویم که اگر یادتان باشد که این چیزها را بررسی کنم، چقدر اثبات ها ساده تر می شوند!

اثبات همنهشتی مثلث ها با روش های AAS و HLR
داده ها:
\(\angle{QRT} \cong \angle{UTR}\)
\(\angle{VRT} \cong \angle{VTR}\)
\(\overline{SQ} \cong \overline{SU}\)
اثبات کنید:
\(V\) نقطۀ میانی \(\overline{QU}\) می باشد.

در اینجا یک استراتژی بازی داریم که به شما چگونگی تفکر احتمالی شما در مورد این اثبات را نشان می دهد:

  • به مثلث های متساوی الساقین و جفت مثلث های همنهشت دقت کنید.
    شما باید متوجه سه مثلث متساوی الساقین شوید (\(\triangle{QSU}\)، \(\triangle{RST}\) ، و \(\triangle{RVT}\)). اضلاع همنهشت داده شده از \(\triangle{QSU}\) به شما \(\angle{Q} \cong \angle{U}\) را نتیجه می دهد، و زاویه های همنهشت داده شده از \(\triangle{RVT}\) به شما \(\overline{RV} \cong \overline{TV}\) را نتیجه می دهد.
    همچنین باید متوجه دو مثلث که همنهشت به نظر می رسند گردید (\(\triangle{QRV}\) و \(\triangle{UTV}\)) و هنگامی که متوجه شدید آنها همنهشت می باشند به احتمال بسیار زیاد استفاده از CPCTC کلید حل مسأله خواهد بود.

  • به گزارۀ اثبات بنگرید و در نظر بگیرید چگونه احتمال دارد که این اثبات خاتمه یابد.
    برای اثبات نقطۀ میانی، نیاز دارید تا در خط یکی مانده به آخر، گزارۀ \(\overline{QV} \cong \overline{UV}\) را داشته باشید، و اگر بدانید \(\triangle{QRV}\) و \(\triangle{UTV}\) همنهشت می باشند، می توانید با استفاده از CPCTC به آن گزاره برسید.

  • چگونگی اثبات همنهشتی این مثلث ها را بدست آورید.
    شما هم اکنون یک جفت زاویۀ همنهشت (\(\angle{Q}\) و \(\angle{U}\)) و یک جفت ضلع همنهشت (\(\overline{RV}\) و \(\overline{TV}\)) دارید. با توجه به محل قرار گیری این زاویه ها و اضلاع، اصل SAS و اصل ASA کار نخواهند کرد، بنابراین کلید حل این مسأله AAS خواهد بود. برای استفاده از اصل AAS ، به \(\angle{QRV} \cong \angle{UTV}\) نیاز دارید. آیا می توانید به آن برسید؟ مطمئناً می توانید. داده ها را بررسی کنید: شما می توانید زوایای همنهشت \(VRT\) و \(VTR\) را از زوایای همنهشت \(QRT\) و \(UTR\) تفریق کنید. کیش و مات!

در اینجا اثبات رسمی این مسأله را می بینید:

اثبات همنهشتی مثلث ها با روش های AAS و HLR

ترجمۀ شکل:
  1. \(\angle{VRT} \cong \angle{VTR}\)
    داده ها.
  2. \(\overline{RV} \cong \overline{TV}\)
    اگر زاویا، سپس اضلاع.
  3. \(\angle{QRT} \cong \angle{UTR}\)
    داده ها.
  4. \(\angle{QRV} \cong \angle{UTV}\)
    اگر دو زاویۀ همنهشت (\(\angle{VRT}\) و \(\angle{VTR}\)) از دو زاویۀ همنهشت دیگر (\(\angle{QRT}\) و \(\angle{UTR}\)) تفریق گردند، سپس تفاضل آنها (\(\angle{QRV}\) و \(\angle{UTV}\)) همنهشت خواهند بود.
  5. \(\overline{SQ} \cong \overline{SU}\)
    داده ها.
  6. \(\angle{RQV} \cong \angle{TUV}\)
    اگر زوایا، سپس اضلاع.
  7. \(\triangle{QRV} \cong \triangle{UTV}\)
    اصل AAS (گزاره های 6،4،2).
  8. \(\overline{QV} \cong \overline{UV}\)
    CPCTC
  9. \(V\) نقطۀ میانی \(\overline{QU}\) می باشد.
    تعریف نقطۀ میانی.

روش وتر و ضلع در مثلث قائم الزاویه (و ض)


روش وتر-ساق-زاویۀ قائمه (وتر و ضلع؛ و ض) ___ به انگلیسی Hypotenuse-Leg-Right angle \((HLR)\): اصل HLR بیان می دارد که اگر وتر و یک ساق از یک مثلث قائم الزاویه با وتر و یک ساق از یک مثلث قائم الزاویۀ دیگر همنهشت باشند، سپس آن مثلث ها همنهشت خواهند بود. شکل 11-9 یک مثال را به شما نشان می دهد. روش HLR از چهار روش دیگر اثبات همنهشتی مثلث ها متفاوت می باشد زیرا تنها بر روی مثلث های قائم الزاویه کار می کند.

اثبات همنهشتی مثلث ها با روش های AAS و HLR
در کتابهای دیگر، روش HLR معمولاً HL نامیده می شود. از آنجا که من یک شورشی هستم، جسورانه نام آن را به HLR تغییر داده ام، زیرا وجود سه حرف در آن روی این نکته تاکید می کند که قبل از اینکه بتوانید از این روش در یک اثبات استفاده کنید، باید سه چیز را در ستون گزاره هایتان داشته باشید (وتر های همنهشت، ساق های همنهشت، و زوایای قائمه).

نکته: هنگامی که از HLR استفاده می کنید، لیست کردن زوایای قائمه در ستون گزاره ها برای آن بخش از قضیۀ اثبات، کفایت می کند. اگر بخواهید یک جفت از زوایای قائمه را با SAS، ASA، و AAS استفاده کنید، باید بیان دارید که زوایای قائمه با یکدیگر همنهشت می باشند، اما در روش HLR ، شما نباید این کار را انجام دهید.

برای اثبات HLR آماده اید؟ خوب، آماده باشید یا نباشید در اینجا یکی داریم:

اثبات همنهشتی مثلث ها با روش های AAS و HLR
داده ها:
\(\triangle{ABC}\) یک مثلث متساوی الساقین با قاعدۀ \(\overline{AC}\) می باشد
\(\overline{BD}\) یک ارتفاع می باشد
اثبات کنید:
\(\overline{BD}\) یک میانه است

در اینجا یک استراتژی شدنی داریم. شما جفت مثلث های همنهشت را می بینید و از خودتان می پرسید چگونه می توانید همنهشت بودن آنها را اثبات کنید. شما می دانید که یک جفت ضلع همنهشت دارید، زیرا \(\triangle{ABC}\) متساوی الساقین می باشد. شما یک جفت ضلع همنهشت دیگر هم دارید، دلیل آنهم خاصیت بازتابی در \(\overline{BD}\) می باشد. و به دلیل وجود ارتفاع شما زوایای قائمه را دارید. همینه، این یک HLR می باشد. سپس با استفاده از CPCTC به \(\overline{AD} \cong \overline{CD}\) می رسید، و شما موفق شدید. این اثبات را در شکل رسمی دو ستونی اش در ادامه می بینید:

اثبات همنهشتی مثلث ها با روش های AAS و HLR
ترجمۀ شکل:
  1. \(\triangle{ABC}\) یک مثلث متساوی الساقین با قاعدۀ \(\overline{AC}\) می باشد
    داده ها.
  2. \(\overline{AB} \cong \overline{CB}\)
    تعریف مثلث متساوی الساقین.
  3. \(\overline{BD} \cong \overline{BD}\)
    خاصیت بازتابی.
  4. \(\overline{BD}\) یک ارتفاع می باشد
    داده ها.
  5. \(\overline{BD} \bot \overline{AC}\)
    تعریف ارتفاع.
  6. \(\angle{ADB}\) یک زاویۀ قائمه می باشد
    \(\angle{CDB}\) یک زاویۀ قائمه می باشد
    تعریف خطهای متعامد.
  7. \(\triangle{ABD} \cong \triangle{CBD}\)
    اصل HLR یا HL (گزاره های 2،3،6).
  8. \(\overline{AD} \cong \overline{CD}\)
    CPCTC
  9. \(D\) نقطۀ میانی \(\overline{AC}\) می باشد.
    تعریف نقطۀ میانی.
  10. \(\overline{BD}\) یک میانه از \(\triangle{ABC}\) می باشد
    تعریف میانه.



نمایش دیدگاه ها (2 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.