خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


اثبات غیر مستقیم (Indirect Proof)

اثبات غیر مستقیم (Indirect Proof)
نویسنده : امیر انصاری
برای به خاتمه رساندنِ این فصل، می خواهم در مورد اثباتهای غیر مستقیم (indirect proofs) صحبت کنم ـــ یک نوع متفاوت از اثبات که به نوعی عمویِ عجیب و غریبِ اثبات دو ستونیِ معمولی می باشد. در یک اثبات غیر مستقیم، به جای اینکه صحیح بودن چیزی را اثبات کنید، آن را به صورت غیرمستقیم اثبات می کنید تا نشان دهید که نمی تواند نادرست باشد.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



به حرف نفی (not) توجه کنید، هنگامی که کار شما اثبات کردن اینست که چیزها همنهشت نمی باشند، متعامد نمی باشند، و به همین ترتیب. وجود حرف نفی (not) یک سرنخ آشکار است که نشان دهندۀ اینست که با یک اثبات غیرمستقیم روبرو می باشد.

در بیشتر بخشها، یک اثبات غیرمستقیم بسیار شبیه به یک اثبات دو ستونی می باشد. چیزی که آن را متفاوت می کند، شیوۀ آغاز و پایان آن است. و به استثنایِ آغاز و پایان، برای حل کردن یک اثبات غیرمستقیم، از تکنیک ها و قضایای یکسانی که در اثبات های معمولی استفاده می کنید، استفاده خواهید کرد.

بهترین روش برای تشریح اثبات غیرمستقیم، نشان دادنِ آن با یک مثال می باشد. بفرمایید:

اثبات غیر مستقیم (Indirect Proof)
داده ها:
\(\overrightarrow{SQ}\) نیمساز \(\angle{PSR}\) می باشد
\(\angle{PQS} \not\cong \angle{RQS}\)
اثبات کنید:
\(\overline{PS} \not\cong \overline{RS}\)

به دو چیز عجیب درمورد این اثبات توجه کنید: نماد عدم همنهشت بودن در داده ها و در گزارۀ اثبات. موردی که در گزارۀ اثبات قرار دارد به نوعی چیزی است که از این اثبات یک اثبات غیرمستقیم می سازد.

در اینجا یک استراتژی بازی داریم که چگونگی مقابله با این اثبات غیرمستقیم را به شما نشان می دهد. شما فرض می کنید که گزارۀ اثبات نادرست می باشد، بدین معنا که \(\overline{PS}\) با \(\overline{RS}\) همنهشت می باشند، و سپس هدف شما رسیدن به یک تناقض در برخی چیزهای درست می باشد (معمولاً یک حقیقت داده شده در مورد چیزهایی که همنهشت نمی باشند، متعامد نمی باشند، و به همین ترتیب). در این مسأله، هدف شما اینست که نشان دهید \(\angle{PQS}\) با \(\angle{RQS}\) همنهشت می باشد، که با داده ها در تناقض است.

یک چیز دیگر قبل از اینکه پاسخ را به شما نشان بدهم ـــ شما می توانید اثبات های غیرمستقیم را در شکل استاندارد دو ستونی بنویسید، اما بسیاری از کتابهای درسیِ هندسه و معلم ها، اثباتهای غیرمستقیم را مشابه این مورد، در شکل پاراگراف ها ارائه می دهند:

  1. معکوس گزارۀ اثبات را فرض بگیرید، با این گزارۀ معکوس به عنوان یک داده برخورد کنید.
    فرض کنید \(\overline{PS} \cong \overline{RS}\) .
  2. مانند معمول وارد مراحل حل کردن اثبات شوید، سعی کنید تا متضاد یکی از داده ها را اثبات کنید (معمولاً داده ای که بیان می کند چیزها متعامد نمی باشند، همنهشت نمی باشند، یا شبیه این).
    از آنجا که \(\overrightarrow{SQ}\) نیمساز \(\angle{PSR}\) می باشد (آن را تنصیف می کند)، شما می دانید که \(\angle{PSQ} \cong \angle{RSQ}\) . شما همچنین با استفاده از خاصیت بازتابی می دانید که \(\overline{QS} \cong \overline{QS}\) . با استفاده از این دو همنهشتی، بعلاوۀ مورد موجود در مرحلۀ 1، می توانید با اصل SAS نتیجه بگیرید که \(\triangle{PSQ} \cong \triangle{RSQ}\) ، و از اینرو با CPCTC به \(\angle{PQS} \cong \angle{RQS}\) برسید.
  3. با بیان اینکه به یک تناقض رسیده اید کار را تمام کنید و اینکه، از این رو، گزارۀ اثبات باید صحیح باشد.
    این گزارۀ آخر غیرممکن می باشد، زیرا با حقیقت داده شده در مورد \(\angle{PQS} \not\cong \angle{RQS}\) در تناقض است. در نتیجه، فرض (\(\overline{PS} \cong \overline{RS}\)) باید غلط باشد، و از این رو متضاد آن (\(\overline{PS} \not\cong \overline{RS}\)) باید صحیح باشد. کار تمام شد.

نکته: بعد از اینکه فرض کردید که \(\overline{PS} \cong \overline{RS}\) ، آن درست شبیه یک داده عمل می کند. و بعد از شناسایی هدفتان که نشان دادن \(\angle{PQS} \cong \angle{RQS}\) ، این هدف اکنون مشابه یک گزارۀ اثباتِ معمولی کار می کند. در واقع، بعد از انجام دادن این دو مرحلۀ اثبات غیرمستقیم، بقیۀ اثبات، که با داده ها آغاز می شود (شامل این دادۀ جدید \(\overline{PS} \cong \overline{RS}\) هم می شود) و با \(\angle{PQS} \cong \angle{RQS}\) خاتمه می یابد، که دقیقاً شبیه یک اثبات معمولی می باشد (اگرچه از این بابت که در شکل پاراگراف نوشته می شود هم متفاوت است).



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.