خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


ویژگی های خطوط موازی

ویژگی های خطوط موازی
نویسنده : امیر انصاری
در فصلهای 7، 8، و 9 با چندضلعی هایِ دارای سه ضلع، یعنی مثلث ها، سر و کار داشتید. در این فصل و فصل بعدی، چهارضلعی ها (quadrilaterals) ـــ چندضلعی هایی با چهارضلع ـــ را بررسی می کنید. سپس، در فصل 12، چندضلعی هایی با اضلاع فراوان را خواهید دید. خیلی هیجان انگیز است، اینطور نیست؟

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



آشناترین چهارضلعی، یعنی مستطیل، با فاصلۀ بسیار زیاد، رایج ترین شکل در زندگی روزمره و جهان اطراف شما می باشد. به اطرافتان نگاهی بیندازید. هر سمتی که بچرخید، قطعاً چیزهایِ مستطیلی شکلی را خواهید دید: کتابها، بالای میزها، قاب عکس ها، دیوارها، سقف ها، کف ها، لپ تاپ ها، و به همین ترتیب.

ریاضیدانان بیش از 2000 سال است که چهارضلعی ها را مورد مطالعه قرار داده اند. تمام انواع چیزهای شگفت انگیز در مورد اشکال چهارضلعی، کشف شده است، و به همین دلیل هم هست که من این فصل را به تعاریف آنها، ویژگی هایشان، و دسته بندی های آنها اختصاص داده ام. بیشتر این چهارضلعی ها دارای اضلاع موازی می باشند، بنابراین شما را با برخی از ویژگیهای خطوط موازی نیز آشنا خواهم کرد.

ویژگی های خطوط موازی


هنگامی که چهارضلعی ها را مورد مطالعه قرار می دهید، خطوط موازی مهم می باشند، زیرا شش نوع از مجموع هفت نوع چهارضلعی، دارای خطوط موازی می باشند (همۀ آنها به جز کایت). در این بخش، برخی از ویژگیهای جالب خطوط موازی را به شما نشان می دهم.

خطوط متقاطع (transversals)


شکل 1-10 را بررسی کنید، این شکل سه خط را که به نوعی شبیهِ یک علامت نامساوی غول پیکر هستند را به شما نشان می دهد. دو خط افقی، موازی هستند، و خط سوم که از آنها عبور می کند، خط متقاطع (transversal) نامیده می شود. همانطور که می بینید، این سه خط، هشت زاویه را شکل می دهند.

ویژگی های خطوط موازی
این هشت زاویه که توسط خطوط موازی و یک خط متقاطع شکل گرفته اند یا با یکدیگر همنهشت هستند و یا مکمل همدیگرند. قضایای زیر به شما می گویند چگونه جفت های مختلف این زوایا به یکدیگر مرتبطند.

اثبات همنهشت بودن این زوایا: اگر یک خط متقاطع دو خط موازی را قطع کند، سپس زوایای زیر همنهشت می باشند (به شکل 1-10 مراجعه کنید):

  • زوایای متبادل داخلی (Alternate interior angles): جفت زوایای 3 و 6 (همچنین 4 و 5) زوایای متبادل داخلی می باشند. این جفت زوایا در بخشهای مقابل (متبادل) دوسمتِ خط متقاطع و در بین (درونِ) خطهای موازی می باشند.
  • زوایای متبادل خارجی (Alternate exterior angles): زوایای 1 و 8 (و زوایای 2 و 7) زوایای متبادل خارجی نامیده می شوند. آنها در دو سوی مقابل خط متقاطع، و در بیرونِ خطهای موازی می باشند.
  • زوایای متناظر (Corresponding angles): جفت زوایایِ 1 و 5 (همچنین 2 و 6، 3 و 7، و 4 و 8) زوایای متناظر می باشند. زوایای 1 و 5 به این دلیل متناظر می باشند که هر کدام در موقعیت یکسانی (گوشۀ بالا و دست چپ) در گروه زوایای چهارتایی خودشان، قرار دارند.

همچنین توجه داشته باشید که زوایای 1 و 4، 2 و 3، 5 و 8، و 6 و 7، در مقابل یکدیگر قرار دارند، و زوایای متقابل به رأس را می سازند، که همنهشت نیز هستند (برای جزئیات بیشتر در مورد زوایای متقابل به رأس فصل را ببینید).

اثبات مکمل بودن این زوایا: اگر یک خط متقاطع از دو خط موازی عبور کند، سپس زوایای زیر مکمل خواهند بود (شکل 1-10 را ببینید):

  • زوایای داخلی هم سمت (Same-side interior angles): زوایای 3 و 5 (و 4 و 6) در یک سمت مشترک از خط متقاطع قرار دارند و در داخل خطوط موازی می باشند، بنابراین آنها زوایای داخلی هم سمت نامیده می شوند.
  • زوایای خارجی هم سمت (Same-side exterior angles): زوایای 1 و 7 (و 2 و 8) زوایای خارجی هم سمت نامیده می شوند ـــ آنها در یک سمت مشترک از خط متقاطع قرار دارند، و در خارج از خطوط موازی می باشند.

هر کدام از این جفت زوایا از بین هشت زاویۀ معرفی شده، یا با یکدیگر همنشهتند و یا مکمل یکدیگرند. شما می توانید تعاریف و قضایایِ مربوط به خطوط متقاطع را در این مفهوم ساده و فشرده، خلاصه سازید. هنگامی که دو خط موازی داشته باشید که با یک خط متقاطع قطع شده باشند، شما چهار زاویۀ حاده و چهار زاویۀ منفرجه خواهید داشت (مگر در مواقعی که هشت زاویۀ قائمه داشته باشید). تمامی زوایای حاده با یکدیگر همنهشت می باشند، تمامی زوایای منفرجه با یکدیگر همنهشت می باشند، و هر زاویۀ حاده مکمل هر زاویۀ منفرجه می باشد.

اثبات موازی بودن این خطها: تمامی قضایایِ این بخش به صورت معکوس نیز درست کار می کنند. شما می توانید از قضایایِ زیر برای اثبات موازی بودن خطها، استفاده کنید. یعنی، دو خط موازی می باشند، اگر با یک خط متقاطع قطع شوند، به نحویکه:

  • دو زاویۀ متناظر همنهشت باشند.
  • دو زاویۀ متبادل داخلی همنهشت باشند.
  • دو زاویۀ متبادل خارجی همنهشت باشند.
  • دو زاویۀ هم سمت داخلی مکمل هم باشند.
  • دو زاویۀ هم سمت خارجی مکمل هم باشند.

به کار بردن قضایای خط متقاطع


در اینجا مسأله ای داریم که به شما امکان می دهد تا به برخی از این قضایا در عمل نگاهی بیندازید: با این مفروضات که خطهای \(m\) و \(n\) موازی می باشند، اندازۀ \(\angle{1}\) را پیدا کنید.

ویژگی های خطوط موازی
این هم پاسخ این مسأله: زاویۀ \(\bigl(x^2\bigr)^{\circ}\) و زاویۀ \(\bigl(x+30\bigr)^{\circ}\) زوایایِ متبادل خارجی می باشند و بنابراین همنهشت هستند. و یا اینکه می توانید از نکتۀ اخیر در مورد خطوط متقاطع استفاده کنید: از آنجا که هر دوی این زوایا به صورت بدیهی حاده می باشند، باید همنهشت باشند.) آنها را برابر یکدیگر قرار دهید و معادلۀ حاصله را برای بدست آوردن \(x\) حل کنید:
$$
\begin{array}{c c c c}
& & & x^2=x+30 \\
\text{Set equal to zero:} & & & x^2-x-30=0 \\
\text{Factor:} & & & (x-6)(x+5)=0 \\
\text{Use Zero Product Property:} & & x-6=0 & \text{or} & x+5=0 \\
& & x=6 & \text{or} & x=-5
\end{array}
$$
ترجمۀ شکل:
Set equal to zero: برابر صفر قرار دهید
Factor: فاکتورگیری کنید
Use Zero Product Property: از ویژگی ضرب در صفر استفاده کنید

این معادله دو پاسخ دارد، بنابراین هر بار یکی از آنها را بگیرید و در \(x\)ها ، در زوایای متبادل خارجی، جایگذاری کنید. جایگذاری \(x=6\) در \(x^2\) به شما \(36^{\circ}\) را برای آن زاویه نتیجه می دهد. و از آنجا که \(\angle{1}\) مکمل آن می باشد، \(\angle{1}\) باید برابر با \(180^{\circ}-36^{\circ}\) یا \(144^{\circ}\) باشد. پاسخ \(x=-5\) به شما \(25^{\circ}\) را برای زاویۀ \(x^2\) و \(155^{\circ}\) را برای \(\angle{1}\) نتیجه می دهد. بنابراین \(144^{\circ}\) و \(155^{\circ}\) پاسخهای شما برای \(\angle{1}\) می باشند.

هنگامی که دو پاسخ بدست می آورید (مانند \(x=6\) و \(x=-5\)) در مسأله ای شبیه این، نباید یکی از این پاسخها را در یکی از \(x\) ها (مانند \(6^2=36\)) و پاسخ دیگر را در \(x\) دیگر (مانند \(-5+30=25\)) قرار دهید. شما باید یکی از این پاسخها را در تمامی \(x\)ها قرار دهید، که به شما یک نتیجه برای هر دو زوایه را بدهد (\(6^2=36\) و \(6+30=36\))؛ سپس باید به صورت جداگانه پاسخ دیگر را در تمامی \(x\)ها جایگذاری کنید، تا نتیجۀ دوم را برای هر دو زاویه به شما بدهد (\((-5)^2=25\) و \(-5+30=25\)).

زاویه ها و پاره خطها نمی توانند دارای اندازۀ منفی باشند. مطمئن شوید که هر پاسخ برای \(x\) نتایج مثبت را برای تمامی زوایا یا پاره خطها در یک مسأله تولید می کند (در مسالۀ قبلی شما باید هر دو زاویه یعنی هم زاویۀ \(\bigl(x^2\bigr)^{\circ}\) و هم زاویۀ \(\bigl(x+30\bigr)^{\circ}\) را با هر پاسخ برای \(x\) بررسی کنید). اگر یک پاسخ هر زاویه یا پاره خطی را در شکل هندسی، منفی کند، آن پاسخ باید مطرود شود، حتی اگر زاویه یا پاره خطی که مشخصاً بدنبالش هستید مثبت باشد. با این حال، یک پاسخ را صرفاً به این دلیل که \(x\) منفی می باشد، مطرود نکنید: مادامیکه زوایا و پاره خطها مثبت باشند، \(x\) می تواند منفی باشد (به عنوان مثال، در مسالۀ پیشین \(x=-5\) بدرستی کار کرد).

اکنون در اینجا اثباتی داریم که از برخی از قضایایِ خط متقاطع (transversal theorems) استفاده می کند:

ویژگی های خطوط موازی
داده ها:
\(\overline{LK} \cong \overline{HI}\)
\(\overline{LK} \parallel \overline{HI}\)
\(\overline{GK} \cong \overline{JH}\)
اثبات کنید:
\(\overline{LJ} \parallel \overline{GI}\)

اثبات رسمی را بررسی کنید:

ویژگی های خطوط موازی
ترجمۀ شکل:
  1. \(\overline{LK} \cong \overline{HI}\)
    داده.
  2. \(\overline{LK} \parallel \overline{HI}\)
    داده.
  3. \(\angle{K} \cong \angle{H}\)
    اگر خطوط موازی باشند، سپس زوایای متبادل داخلی همنهشت می باشند.
  4. \(\overline{GK} \cong \overline{JH}\)
    داده.
  5. \(\overline{JK} \cong \overline{GH}\)
    اگر یک پاره خط (\(\overline{GJ}\)) از دو پاره خط همنهشت تفریق گردد، سپس تفاضل آنها همنهشت می باشند.
  6. \(\triangle{JKL} \cong \triangle{GHI}\)
    اصل SAS (گزاره های 1،3،5).
  7. \(\angle{LJK} \cong \angle{IGH}\)
    CPCTC
  8. \(\overline{LJ} \parallel \overline{GI}\)
    اگر زوایای متبادل خارجی همنهشت باشند، سپس خطها با هم موازی خواهند بود.

در مسأله های خط متقاطع، خطها را امتداد دهید. امتداد دادن خطوط موازی و خطوط متقاطع ممکن است در مشاهدۀ اینکه چگونه زوایا به یکدیگر مرتبطند، به شما کمک کند.

به عنوان مثال، اگر مشاهدۀ اینکه \(\angle{K}\) و \(\angle{H}\) واقعاً زوایای متبادل داخلی می باشند، مشکل دارید (در مرحلۀ 3 از این اثبات)، تصویر را بچرخانید (یا سرتان را بچرخانید) تا زمانیکه پاره خطهای موازیِ \(\overline{LK}\) و \(\overline{HI}\) افقی دیده شوند؛ سپس \(\overline{LK}\) ، \(\overline{HI}\) ، و \(\overline{HK}\) در هر دو سمت امتداد دهید، آنها را تبدیل به خط کنید (قطعاً میدانید که این کار را باید با فلش ها انجام بدهید). بعد از انجام این کار، به یک طرح آشنای خطوط موازی که پیشتر در شکل 1-10 دیده بودید، بر خواهید خورد. شما می توانید با امتداد دادن \(\overline{LJ}\) و \(\overline{GI}\)، کاری مشابه این کار را با \(\angle{LJK}\) و \(\angle{IGH}\) انجام دهید.

کار کردن با بیش از یک خط متقاطع


هنگامی که خطوط موازی با خط متقاطع دارای بیش از سه خط باشند، شناسایی کردن زوایای همنهشت و مکمل می تواند به نوعی چالش آمیز باشد. شکل 2-10 به شما خطوط موازی را همراه با دو خط متقاطع نشان می دهد.

ویژگی های خطوط موازی
اگر به شکلی با بیش از سه خط برخوردید و قصد استفاده از هر کدام از مفاهیم خطوط متقاطع را داشتید، مطمئن شوید که هم زمان فقط از سه تا از خطها استفاده می کنید: دو خط موازی و یک خط متقاطع. اگر از چنین مجموعۀ سه خطی استفاده نکنید، این قضایا بدرستی کار نخواهند کرد. در شکل 2-10 شما می توانید از خطوط \(a\)، \(b\)، و \(c\) یا از خطوط \(a\)، \(b\)، و \(d\) استفاده کنید، اما نمی توانید هر دو خط متقاطعِ \(c\) و \(d\) را هم زمان استفاده کنید. بدین ترتیب، به عنوان مثال، شما نمی توانید هیچ چیزی را از روی ارتباط بین \(\angle{1}\) و \(\angle{6}\) نتیجه بگیرید، زیر \(\angle{1}\) بر روی خط متقاطع \(c\) و \(\angle{6}\) بر روی خط متقاطع \(d\) قرار دارد.

جدول 1-10 چیزهایی را که می توانید در مورد چندین جفت از زوایا در شکل 2-10 بگویید به شما نشان می دهد؛ این جدول نشان می دهد که آیا شما می توانید نتیجه گیری کنید که زوایا همنهشت یا مکمل می باشند. همچنان که مشغول مطالعۀ این جدول هستید، هشدار مربوط به استفاده از دو خط موازی و یک خط متقاطع، یادتان باشد.

ویژگی های خطوط موازی
ترجمۀ جدول:
جفت زاویه نتیجه گیری دلیل
2 و 8 همنهشت \(\angle{2}\) و \(\angle{8}\) زوایای متبادل خارجی بر روی خط متقاطع \(d\) می باشند.
3 و 6 هیچی برای ایجاد \(\angle{3}\) شما نیاز به استفاده از هر دو خط متقاطع \(c\) و \(d\) دارید.
4 و 5 همنهشت \(\angle{4}\) و \(\angle{5}\) زوایای متبادل خارجی بر روی \(c\) می باشند.
4 و 6 هیچی \(\angle{4}\) بر روی خط متقاطع \(c\) قرار دارد و \(\angle{6}\) بر روی خط متقاطع \(d\) قرار دارد.
2 و 7 مکمل \(\angle{2}\) و \(\angle{7}\) زوایای هم سمت خارجی بر روی خط متقاطع \(d\) می باشند.
1 و 8 هیچی \(\angle{1}\) بر روی خط متقاطع \(c\) و \(\angle{8}\) بر روی خط متقاطع \(d\) قرار دارد.
4 و 8 هیچی \(\angle{4}\) بر روی خط متقاطع \(c\) و \(\angle{8}\) بر روی خط متقاطع \(d\) قرار دارد.

اگر به شکلی با بیش از یک خط متقاطع یا بیش از یک مجموعه خطوط موازی برخورد کنید، ممکن است بخواهید این کارها را انجام دهید: تصویر را از کتاب بر روی یک برگه کاغذ ترسیم کنید و سپس یک جفت از خطوط موازی و یک خط متقاطع را هایلایت کنید. (یا می توانید فقط دو خط موازی و یک خط متقاطعی را که می خواهید با آنها کار کنید، ترسیم نمایید.) سپس می توانید از مفاهیم خطوط متقاطع بر روی خطهای هایلایت شده استفاده کنید. بعد از آن، می توانید گروه دیگری از سه خط را هایلایت کرده و اینبار بر روی آن گروه تمرکز و کار کنید.

البته، به جای ترسیم و هایلایت کردن، می توانید صرفاً با دقت مطمئن شوید که دو زاویه ای که مورد تجزیه و تحلیل قرار می دهید از مجموع فقط سه خط استفاده کرده باشند (یک نیمخط از هر زاویه باید از یک خط متقاطع باشد، و نیمخط دیگر باید از دو خط موازی باشد).



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.