خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


کنار هم قرار دادن ویژگیها و روش های اثبات

کنار هم قرار دادن ویژگیها و روش های اثبات
نویسنده : امیر انصاری
در فصل 10 همه چیز را در مورد هفت نوع مختلف چهارضلعی ها ـــ تعریف آنها، ویژگیهای آنها، اینکه چه شکلی هستند، و در کجای درخت خانوادۀ چهارضلعی ها قرار دارند ـــ به شما گفتیم. در اینجا، جزئیات مربوط به اثبات اینکه یک چهارضلعی داده شده به عنوان یکی از این نوع هفت چهارضلعی واجد شرایط شناخته گردد، می پردازیم.



در طول این فصل، شما بر روی اثبات هایی کار خواهید کرد که در آنها شما باید نشان دهید که چهارضلعی موجود در شکل هندسی، فرضاً، یک متوازی الاضلاع یا یک مستطیل یا یک کایت می باشد (آخرین خط از این اثبات ـــ یا خطی نزدیک به آخر اثبات ـــ می تواند چیزی شبیه این باشد "\(ABCD\) یک مستطیل است"). اکنون، شاید شما فکر کنید که کار آسانی خواهد بود، و تمام کاری که باید انجام بدهید این می باشد که نشان دهید آن چهارضلعی، به عنوان مثال، دارای یکی از ویژگیهای مستطیل می باشد تا اثبات شود که یک مستطیل است. متاسفانه، به این آسانی نیست، زیرا مواردی وجود دارند که انواع مختلف چهارضلعی ها صفات خاصی را به اشتراک گذارده اند. اما نگران نباشید ـــ این فصل به شما می گوید چگونه به شباهت های هر خانواده نگاه کنید تا یک شناسۀ قطعی را بدست آورید.

کنار هم قرار دادن ویژگیها و روش های اثبات


قبل از اینکه وارد بحث مربوط به روشهای فراوانی که شما می توانید اثبات کنید که شکلی یک متوازی الاضلاع، یک مستطیل، یک کایت، و به همین ترتیب، می باشد، گردیم، می خواهم در مورد اینکه چگونه این روشهای اثبات به ویژگیهای چهارضلعی که در فصل 10 پوشش دادم، مرتبط می شوند، صحبت کنم.

برای شروع بحث، در مورد ارتباط بین روشهای اثبات و ویژگیها، بیایید یکی از ویژگیهای متوازی الاضلاع را در نظر بگیریم: اضلاع روبرو در یک متوازی الاضلاع همنهشت می باشند. در اینجا این ویژگی را در شکل if-then داریم تا شما بتوانید ساختار منطقی آن را ببینید: اگر یک چهارضلعی متوازی الاضلاع باشد، سپس اضلاع روبروی آن همنهشت می باشند.

معلوم می شود که معکوس این ویژگی نیز صحیح می باشد: اگر اضلاع روبرو از یک چهارضلعی همنهشت باشند، سپس آن شکل یک متوازی الاضلاع می باشد. از آنجا که معکوس این ویژگی صحیح می باشد، شما می توانید معکوس آن را به عنوان یک روش در اثبات استفاده کنید. اگر مشغول انجام یک اثبات دوستونی می باشید که در آن شما باید اثبات کنید که یک چهارضلعی یک متوازی الاضلاع می باشد، آخرین گزاره ممکن است چیزی شبیه این باشد، "\(ABCD\) یک متوازی الاضلاع است" و آخرین دلیل می تواند چیزی شبیه این باشد، "اگر اضلاع روبرو در یک چهارضلعی همنهشت باشند، سپس آن شکل یک متوازی الاضلاع می باشد."

برخی از ویژگیهای چهارضلعی ها برگشت پذیر (reversible) می باشند؛ برخی دیگر اینطور نیستند. برگشت پذیر بودن یا نبودن یک کلید است. اگر معکوس یک ویژگی نیز یک گزارۀ صحیح باشد، سپس شما می توانید از آن به عنوان روشی برای اثبات استفاده کنید. اما اگر یک ویژگی برگشت پذیر نباشد (به عبارت دیگر، معکوس آن صحیح نباشد)، شما نمی توانید از آن به عنوان روشی برای اثبات استفاده کنید. ارتباط بین ویژگیها و روش های اثبات اندکی پیچیده است، اما راهنمایی ها و مثالهای زیر به شما کمک می کنند، تا چیزها واضح گردند:

  • تعاریف همواره به عنوان روشی برای اثبات درست کار می کنند.
    یکی از ویژگیهای لوزی اینست که تمامی اضلاع آن همنهشت می باشند. یک if-then خلاصه شده می تواند این باشد "اگر لوزی، سپس تمامی اضلاع همنهشت هستند".
    از آنجا که این ویژگی از تعریف لوزی می آید، معکوس آن نیز صحیح می باشد: اگر تمامی اضلاع همنهشت باشند، سپس لوزی. (همانطور که در فصل 4 به شما نشان دادم، تمامی تعاریف برگشت پذیر می باشند؛ اما صرفاً برخی از قضایا و اصل ها برگشت پذیر هستند.) از آنجا که این ویژگی برگشت پذیر می باشد، یکی از روشهای اثبات اینکه یک چهارضلعی لوزی است، می باشد.

  • هنگامی که یک چهارضلعی "فرزند" یک ویژگی را با یک چهارضلعی "والد" به اشتراک می گذارد، شما نمی توانید از معکوس آن ویژگی برای اثبات اینکه آن چهارضلعی فرزند را دارید، استفاده کنید.
    (یک چندضلعی فرزند به والد آن که در درخت خانوادۀ چهارضلعی ها، بالای آن قرار دارد متصل می شود.) یک ویژگی لوزی اینست که هر دو جفت ضلع مقابل آن موازی می باشند. به طور خلاصه، اگر لوزی، سپس دو جفت از اضلاع موازی. همچنین، این ویژگی به متوازی الاضلاع نیز تعلق دارد، و یک لوزی این ویژگی را بدین دلیل دارا می باشد که نوع خاصی از یک متوازی الاضلاع است.
    معکوس این گزاره ـــ اگر دو جفت ضلع موازی، سپس لوزی ـــ واضحاً نادرست می باشد زیرا تمامی متوازی الاضلاع ها لوزی نیستند؛ از این رو، شما نمی توانید از این معکوس برای اثبات اینکه یک لوزی دارید، استفاده کنید. اگر دو جفت از اضلاع موازی را داشته باشید، تمام چیزی که می توانید نتیجه گیری کنید اینست که یک متوازی الاضلاع دارید.

  • برخی از ویژگیهای دیگر چهارضلعی ها برگشت پذیر می باشند ـــ اما شما همیشه نمی توانید روی آنها حساب کنید.
    از ویژگیهایی که از تعریف نمی آیند و با چهارضلعی والد مشترک نمی باشند، بیشترشان برگشت پذیر هستد، اما برخی هم نیستند. یکی از ویژگیهای متوازی الاضلاع اینست که قطرهای آن همدیگر را تنصیف می کنند: اگر متوازی الاضلاع، سپس قطرها همدیگر را تنصیف می کنند. معکوس این ـــ اگر قطرها همدیگر را تنصیف می کنند، سپس متوازی الاضلاع ـــ صحیح می باشد و بنابراین یکی از روشهای اثبات متوازی الاضلاع بودن یک شکل می باشد.
    اکنون این ویژگی از یک مستطیل را در نظر بگیرید: اگر مستطیل، سپس قطرها همنهشت هستند. معکوس این ـــ اگر قطرها همنهشت باشند، سپس مستطیل ـــ نادرست می باشد، و از این رو شما نمی توانید از آن به عنوان روشی برای اثبات اینکه یک مستطیل دارید، استفاده کنید. معکوس این ویژگی به این دلیل نادرست می باشد که تمامی ذوزنقه های متساوی الساقین، برخی از انواع کایت ها، و برخی از چهارضلعی های بدون نام، دارای قطرهای همنهشت می باشند. (شما می توانید این مورد را با برداشتن دو مداد هم اندازه، و عبور دادن آنها از روی یکدیگر، به نحوی که شبیه قطرها عمل کنند، و حرکت دادن آنها به اطراف برای ایجاد شکل های مختلف، ببینید.)
    و در نهایت، برای اینکه موضوع را پیچیده تر کنیم ...

  • برخی از روش های اثبات ویژگیهای معکوس شده نمی باشند.
    به عنوان مثال، یکی از روشهای اثبات اینکه یک چهارضلعی یک متوازی الاضلاع می باشد اینست که نشان دهید یک جفت از اضلاع هم موازی و هم همنهشت می باشند. با وجود اینکه این روش اثبات به ویژگیهای متوازی الاضلاع مرتبط است، معکوس هیچکدام از ویژگیهای واحد نمی باشد. در مورد این روش عجیب اثبات، شما ممکن است مجبور شوید تا صرفاً به حافظه تان متوسل گردید.

حالا که با این مفاهیم نظری نستباً آشنا شدیم به سراغ روش های اصلی اثبات و چگونگی استفاده از آنها می رویم.

قبل از تلاش برای اثبات اینکه یک شکل یک چهارضلعی خاص می باشد، اطمینان حاصل کنید که تمامی روشهای اثبات را بخوبی می دانید. شما باید روی تمامی آنها مسلط باشید، و سپس می توانید انعطاف پذیر باشید ـــ آمادۀ استفاده از هر کدامشان باشید. بعد از در نظر گرفتن داده ها، روش اثباتی را انتخاب کنید که برای رسیدن به نتیجه احتمال بیشتری داشته باشد. اگر درست کار کرد، عالی است؛ اما اگر بعد از اینکه مدتی روی آن کار کردید، و به نظر آمد که درست کار نخواهد کرد، یا اینکه مراحل بسیار زیادی را خواهد داشت، مسیرتان را تغییر بدهید و روش اثبات دیگری را امتحان کنید و سپس شاید روش سوم. بعد از اینکه واقعاً با تمامی روشها آشنا شدید، شما به نوعی می توانید تمامی آنها را همزمان لحاظ کنید.




مطالب مرتبط :

نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.