خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


اثبات متوازی الاضلاع بودن یک چهارضلعی

اثبات متوازی الاضلاع بودن یک چهارضلعی
نویسنده : امیر انصاری
پنج روش برای اثبات اینکه یک چهارضلعی یک متوازی الاضلاع می باشد در زمرۀ مهمترین روشهای اثبات در این فصل می باشند. یک دلیل برای اهمیت اینها اینست که شما اغلب قبل از اثبات اینکه یک چهار ضلعی یکی از انواع خاص متوازی الاضلاع ها می باشد (یک مستطیل، یک لوزی، یا یک مربع)، باید اثبات کنید یک چهارضلعی متوازی الاضلاع است. اثبات های متوازی الاضلاع رایج ترین نوع از اثبات چهارضلعی ها در کتابهای درسی هندسه می باشند، بنابراین شما این روش ها را بارها و بارها استفاده خواهید کرد.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



روشهای اثبات متوازی الاضلاع بودن یک چهارضلعی


پنج روش برای اثبات اینکه یک چهارضلعی، متوازی الاضلاع می باشد: برای اثبات اینکه یک چهارضلعی متوازی الاضلاع می باشد، پنج روش مختلف وجود دارد. چهار روش اول معکوسِ ویژگیهای متوازی الاضلاع می باشند (شامل تعریف متوازی الاضلاع هم می گردد). مطمئن شوید که مورد عجیب و غریب پنجم در این لیست را به یاد داشته باشید ـــ که معکوس یک ویژگی نمی باشد ـــ زیرا معمولاً مفید واقع می شود:

  • اگر هر دو جفت اضلاع روبروی یکدیگر در یک چهارضلعی موازی باشند، سپس آن یک متوازی الاضلاع می باشد (معکوس تعریف).
    از آنجا که این معکوس تعریف، از نظر فنی خودش یک تعریف است، قضیه یا اصل نمی باشد، اما دقیقاً مشابه یک قضیه عمل می کند، بنابراین نگران این تمایز نباشید.

  • اگر هر دو جفت اضلاع روبرو در یک چهارضلعی همنهشت باشند، سپس یک متوازی الاضلاع می باشد (معکوس یک ویژگی).
    برای اینکه درکی از چگونگی عملکرد این اثبات داشته باشید، دو خلال دندان و دو مداد یا خودکار هم اندازه بردارید و همۀ آنها را نوک به نوک کنار یکدیگر قرار دهید؛ یک شکل بسته بسازید، به نحویکه خلال دندان ها روبروی هم و مدادها هم روبروی هم باشند. تنها شکلی که قادر به ایجاد آن خواهید بود یک متوازی الاضلاع می باشد.

  • اگر هر دو جفت از زوایای روبروی هم در یک چهارضلعی همنهشت باشند، سپس یک متوازی الاضلاع می باشد (معکوس یک ویژگی).

  • اگر قطرهای یک چهارضلعی همدیگر را تنصیف کنند، سپس یک متوازی الاضلاع می باشد (معکوس یک ویژگی).
    یک مداد و یک خلال دندان بردارید (یا دو مداد در اندازه های مختلف) و کاری کنید که در نقطۀ میانی شان همدیگر را قطع کنند. مهم نیست که زاویۀ تشکیل شده در بین آنها را چگونه تغییر می دهید، نوک آنها یک متوازی الاضلاع را تشکیل می دهد.

  • اگر یک جفت از اضلاع روبرو در یک چهارضلعی هم موازی و هم همنهشت باشند، سپس یک متوازی الاضلاع می باشد (نه معکوس تعریف و نه معکوس ویژگی).
    دو مداد هم اندازه بردارید، هر کدام را در یک دستتان نگهدارید. اگر آنها را موازی نگهدارید، مهم نیست که چگونه آنها را حرکت می دهید، شما می توانید ببینید که چهار انتهای آنها یک متوازی الاضلاع را می سازند.

لیست پیشین شامل معکوس چهار تا از پنج ویژگی موجود در متوازی الاضلاع بود. اگر شما به این فکر کردید که چرا معکوس پنجمین ویژگی (زوایای متوالی مکمل همند) در این لیست نمی باشد، شما ذهن خوبی در مورد جزئیات دارید. اساساً، معکوس این ویژگی، زمانی که صحیح باشد، برای استفاده کردن مشکل است، و شما همواره می توانید یکی از روشهای دیگر را به جای آن استفاده کنید.

چند اثبات متوازی الاضلاع


در اینجا اولین اثبات متوازی الاضلاع را برای شما داریم:

اثبات متوازی الاضلاع بودن یک چهارضلعی
داده ها:
\(\angle{UQV} \cong \angle{RVQ}\)
\(\angle{TUQ} \cong \angle{SRV}\)
اثبات کنید:
\(QRVU\) یک متوازی الاضلاع است

در اینجا یک استراتژی بازی داریم که چگونگی تفکر احتمالی شما را شرح می دهد:

  • به مثلث های همنهشت توجه کنید.
    همیشه مثلث هایی را که همنهشت به نظر می رسند بررسی کنید.

  • به آخر اثبات بپرید و از خودتان بپرسید، که اگر بدانید که این مثلث ها همنهشت هستند، آیا می توانید اثبات کنید که \(QRVU\) یک متوازی الاضلاع می باشد.
    با استفاده از CPCTC می توانید نشان دهید که \(QRVU\) دارای دو جفت اضلاع برابر می باشد، و این باعث می شود تا متوازی الاضلاع باشد. بنابراین ...

  • نشان دهید که این مثلث ها همنهشت می باشند.
    شما هم اکنون دارید که \(\overline{QV}\) طبق خاصیت بازتابی با خودش همنهشت می باشد و یک جفت از زوایای همنشهت به شما داده شده است، و شما می توانید زوایۀ دیگر را با مکمل زوایای همنهشت بدست آورید و از AAS استفاده کنید (فصل 5 را ببینید). تمام شد.

دو روش خوب دیگر برای انجام این اثبات وجود دارد. اگر متوجه شده باشید، زوایای همنهشت داده شده، \(UQV\) و \(RVQ\) ، زوایای متبادل داخلی می باشند، شما از روی این می توانید به درستی نتیجه بگیرید که \(\overline{UQ}\) و \(\overline{VR}\) موازی می باشند. (اگر متوجه این موضوع شده باشید به شما تبریک می گوییم.) سپس ممکن است ایده خوبی داشته باشید تا سعی کنید اثبات کنید دو جفت اضلاع دیگر نیز موازی می باشند، تا بتوانید از اولین روش اثبات متوازی الاضلاع استفاده نمایید. شما می توانید با اثبات اینکه مثلث ها همنهشت می باشند، با استفاده از CPCTC، و سپس استفاده از زوایای متبادل داخل \(VQR\) و \(QVU\) ،این کار را انجام دهید، اما فرض کنیم، به منظور استدلال، شما متوجه این نشدید. به نظر می رسد به یک بن بست رسیده باشید. اجازه ندهید این شما را ناامید کند. هنگام انجام اثبات ها، اینکه ایده ها و نقشه های خوب به بن بست برسند، امر رایجی است. هنگامی که این اتفاق می افتد، صرفاً به خانۀ اول باز گردید. روش سوم برای انجام این اثبات اینست که به سراغ اولین جفت از خطوط موازی بروید و سپس نشان دهید که آنها همنهشت نیز می باشند ـــ با مثلث های همنهشت و CPCTC ـــ و سپس با روش اثبات پنجم متوازی الاضلاع کار را خاتمه دهید. این روشهای اثبات جایگزین های کاملاً خوبی هستند؛ من فقط فکر می کنم روش من اندکی سرراست تر است.

نگاهی به این اثبات رسمی بیندازید:

اثبات متوازی الاضلاع بودن یک چهارضلعی
ترجمۀ شکل:
  1. \(\angle{UQV} \cong \angle{RVQ}\)
    داده.
  2. \(\angle{TUQ} \cong \angle{SRV}\)
    داده.
  3. \(\angle{VUQ} \cong \angle{QRV}\)
    اگر دو زاویه مکمل دو زاویۀ همنشهت دیگر باشند، سپس همنهشت می باشند.
  4. \(\overline{QV} \cong \overline{VQ}\)
    خاصیت بازتابی.
  5. \(\triangle{VUQ} \cong \triangle{QRV}\)
    اصل AAS (گزاره های 3،1،4).
  6. \(\overline{QU} \cong \overline{RV}\)
    CPCTC
  7. \(\overline{UV} \cong \overline{QR}\)
    CPCTC
  8. \(QRVU\) یک متوازی الاضلاع می باشد
    اگر هر دو جفت از اضلاع روبرو در یک چهارضلعی همنهشت باشند، سپس آن چهارضلعی یک متوازی الاضلاع می باشد.

در اینجا اثبات دیگری داریم ـــ با یک جفت متوازی الاضلاع. این مسأله تمرین بیشتری در مورد اثبات متوازی الاضلاع ها به شما می دهد، و از آنجا که از مسأله اول اندکی طولانی تر است، به شما این شانس را می دهد که به یک استراتژی بازی طولانی تر بخوبی فکر کنید.

اثبات متوازی الاضلاع بودن یک چهارضلعی
داده ها:
\(HEJG\) یک متوازی الاضلاع می باشد
\(\angle{DGH} \cong \angle{FEJ}\)
اثبات کنید:
\(DEFG\) یک متوازی الاضلاع می باشد

از آنجا که تمامی چهارضلعی ها (به جز کایت) شامل خطوط موازی می باشند، مترصد فرصتی برای استفاده از قضایای خطوط موازی (از فصل 10) باشید. و همیشه با دقت مواظب مثلث های همنهشت باشید.

استراتژی بازی شما باید چیزی شبیه این باشد:

  • در جستجوی مثلث های همنهشت باشید.
    این شکل هندسی به لحاظ شامل مثلث های همنهشت بودن، قابل توجه می باشد ـــ دارای شش جفت از آنها است! زمان زیادی را برای فکر کردن در مورد آنها صرف نکنید ـــ مگر مواردی که ممکن است به شما کمک کنند ـــ اما دست کم یک نگاه سریع بیندازید تا بدانید آنها کجاها هستند.

  • داده ها را در نظر بگیرید.
    زوایای همنهشت داده شده که بخشی از \(\triangle{DGH}\) و \(\triangle{FEJ}\) می باشند، یک راهنمای عالی هستند که شما باید سعی کنید تا نشان دهید این مثلثها همنهشت می باشند. شما این زوایای همنهشت و اضلاع همنشهت \(\overline{HG}\) و \(\overline{EJ}\) را از روی متوازی الاضلاع \(HEJG\) دارید، بنابراین فقط به یک جفت دیگر از اضلاع یا زوایای همنهشت برای استفاده در SAS یا ASA دارید (فصل 9 را ببینید).

  • به پایان اثبات فکر کنید.
    برای اثبات اینکه \(DEFG\) یک متوازی الاضلاع می باشد، دانستن اینکه \(\overline{DG} \cong \overline{EF}\) به شما کمک خواهد کرد، بنابراین شما تمایل خواهید داشت تا قادر به اثبات همنهشتی این مثلثها باشید و سپس با CPCTC به \(\overline{DG} \cong \overline{EF}\) برسید. این منجر می شود تا گزینۀ SAS برای اثبات همنهشتی مثلثها حذف گردد، زیرا برای استفاده از SAS ، شما نیاز به دانستن این دارید که \(\overline{DG} \cong \overline{EG}\) ـــ دقیقاً همان چیزی که سعی دارید تا با CPCTC اثباتش کنید. (ضمناً، اگر بدانید که \(\overline{DG} \cong \overline{EG}\) ، در نشان دادن همنهشتی این مثلثها هیچ هدفی وجود نخواهد داشت.) بنابراین باید گزینۀ دیگر را امتحان کنید: اثبات همنهشتی مثلثها با ASA.
    دومین جفت زوایایی که برای ASA به آنها نیاز دارید عبارت از \(\angle{DHG}\) و \(\angle{FJE}\) می باشند. آنها همنهشت هستند، زیرا زوایای متبادل خارجی با استفاده از خطوط موازی \(\overleftrightarrow{HG}\) و \(\overleftrightarrow{EJ}\) و خط متقاطع \(\overleftrightarrow{DF}\) می باشند. اوکی، بنابراین این مثلثها با ASA همنهشت می باشند، و شما می توانید با CPCTC به \(\overline{DG} \cong \overline{EF}\) برسید. شما این مرحله را با موفقیت گذراندید.

  • به روشهای اثبات متوازی الاضلاع با دقت فکر کنید.
    شما اکنون یک جفت از اضلاع همنهشت در \(DEFG\) را دارید. دو تا از روش های اثبات متوازی الاضلاع از یک جفت اضلاع همنهشت استفاده می کنند. برای تکمیل یکی از این روشها، شما نیاز دارید تا یکی از موارد زیر را نشان دهید:
    • اینکه جفت دیگر از اضلاع روبروی یکدیگر همنهشت باشند.
    • اینکه \(\overline{DG}\) و \(\overline{EF}\) علاوه بر همنهشت بودن، موازی نیز باشند.
    از خودتان بپرسید، کدام رویکرد ساده تر یا سریعتر به نظر می رسد. نشان دادن \(\overline{DE} \cong \overline{GF}\) احتمالاً نیاز به همنهشت نشان دادن جفت دومی از مثلثها دارد، و به نظر می رسد که مراحل بیشتری داشته باشد، بنابراین رویکرد دیگر را امتحان کنید.
    آیا می توانید نشان دهید که \(\overline{DG} \parallel \overline{EF}\) ؟ قطعاً، با یکی از قضایای خطوط موازی از فصل 10. از آنجا که زوایایِ \(GDH\) و \(EFJ\) با CPCTC همنهشت می باشند، شما می توانید با استفاده از این زوایا به عنوان زوایای متبادل داخلی، یا زوایای \(Z\)، نشان دهید که \(\overline{DG} \parallel \overline{EF}\) و تمام شد!

اکنون نگاهی به اثبات رسمی بیندازید:

اثبات متوازی الاضلاع بودن یک چهارضلعی
ترجمۀ شکل:
  1. \(HEJG\) یک متوازی الاضلاع است
    داده.
  2. \(\overline{HG} \cong \overline{EJ}\)
    اضلاع روبرو در یک متوازی الاضلاع همنهشتند.
  3. \(\overline{HG} \parallel \overline{EJ}\)
    اضلاع روبرو در متوازی الاضلاع موازی هستند.
  4. \(\angle{DHG} \cong \angle{FJE}\)
    اگر خطها موازی باشند، سپس زوایای متبادل خارجی همنهشت می باشند.
  5. \(\angle{DGH} \cong \angle{FEJ}\)
    داده.
  6. \(\triangle{DGH} \cong \triangle{FEJ}\)
    اصل ASA (گزاره های 4،2،5).
  7. \(\overline{DG} \cong \overline{EF}\)
    CPCTC
  8. \(\angle{GDH} \cong \angle{EFJ}\)
    CPCTC
  9. \(\overline{DG} \parallel \overline{EF}\)
    اگر زوایای متبادل داخلی همنهشت باشند (\(\angle{GDH}\) و \(\angle{EFJ}\))، سپس خطها موازی هستند.
  10. \(DEFG\) یک متوازی الاضلاع است
    اگر یک جفت از اضلاع روبرو در یک چهارضلعی هم موازی و هم همنهشت باشند، سپس آن چهارضلعی یک متوازی الاضلاع می باشد (خطهای 9 و 7).

نکته: همانطور که در استراتژی بازی اشاره کردم شما می توانید با نشان دادن اینکه هر دو جفت اضلاع روبرو همنهشت می باشند، اثبات کنید که \(DEFG\) یک متوازی الاضلاع می باشد. هشت مرحلۀ اول شما یکسان خواهد بود، و سپس نشان می دهید که \(\triangle{DEF} \cong \triangle{FGD}\) و سپس از CPCTC استفاده کنید. این روش اثبات در حدود 12 گام طول می کشد. یا می توانید اثبات کنید که هر دو جفت اضلاع روبرو در \(DEFG\) موازی می باشند. این روش اثبات حدود 15 مرحله خواهد داشت.




نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.