خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


اثبات مستطیل، لوزی، یا مربع بودن یک چهارضلعی

اثبات مستطیل، لوزی، یا مربع بودن یک چهارضلعی
نویسنده : امیر انصاری
برخی از روش های اثبات اینکه یک چهارضلعی یک مستطیل یا یک لوزی می باشد مستقیماً به ویژگیهای مستطیل یا لوزی مرتبط است (شامل تعاریف آنها). سایر روش ها شما را ملزم می کنند تا ابتدا نشان دهید (یا به شما داده شده باشد) که آن چهارضلعی یک متوازی الاضلاع می باشد و سپس اثبات را به این شکل ادامه دهید که آن متوازی الاضلاع یک مستطیل یا لوزی می باشد. در مورد اثبات مربع بودن یک چهارضلعی فرآیند یکسانی وجود دارد، با این استثناء که به جای نشان دادن اینکه آن چهارضلعی یک متوازی الاضلاع می باشد، شما باید نشان دهید که آن چهارضلعی هم یک مستطیل و هم یک لوزی می باشد. من در بخشهای بعدی شما را با این اثبات ها آشنا می کنم.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



اثبات های مستطیل


سه روش برای اثبات اینکه یک چهارضلعی مستطیل می باشد: توجه داشته باشید که روش های دوم و سوم شما را ملزم می کنند تا ابتدا نشان دهید (یا به شما داده شده باشد) که چهارضلعی مربوطه یک متوازی الاضلاع می باشد:

  • اگر تمامی زوایا در یک چهارضلعی قائمه باشند، سپس یک مستطیل می باشد (معکوس تعریف مستطیل).
    (در حقیقت، شما تنها نیاز دارید تا نشان دهید که سه زاویه قائمه می باشند ـــ اگر اینطور باشد، زاویۀ چهارم به صورت اتوماتیک یک زاویۀ قائمه خواهد بود.) این یک تعریف است، و نه یک قضیه یا اصل، اما دقیقاً مشابه یک قضیه عمل می کند، بنابراین نگرانش نباشید.

  • اگر قطرهای یک متوازی الاضلاع همنهشت باشند، سپس یک مستطیل می باشد (نه معکوس یک تعریف و نه معکوس یک ویژگی است).

  • اگر یک متوازی الاضلاع شامل یک زاویۀ قائمه باشد، سپس یک مستطیل می باشد (نه معکوس یک تعریف و نه معکوس یک ویژگی است).
    برای تجسم اینکه چرا این روش درست کار می کند، کار زیر را انجام دهید: یک جعبۀ غلات خالی را بردارید و دریچه های بالایی آن را فشار دهید. اگر بعد از آن به درون جعبۀ خالی نگاه کنید، بالای این جعبه یک شکل مستطیلی را خواهد ساخت، درست است؟ اکنون، شروع به فشردنِ بالای جعبه کنید ـــ مانند وقتیکه می خواهید آن را مسطح کنید و در سطل زباله بیندازید (امیدوارم منظورم را متوجه شده باشید تا بتوانید این آزمایش سطح بالای علمی را انجام بدهید). همینکه شروع به فشردن بالای جعبه می کنید، یک شکل متوازی الاضلاع را خواهید دید. اکنون، بعد از اینکه اندکی آن را فشار دادید، اگر این متوازی الاضلاع را بگیرید و یکی از زوایای آن را قائمه کنید، کل بالای آن دوباره تبدیل به یک مستطیل می شود. شما نمی توانید بدون اینکه سه زاویۀ دیگر قائمه گردند، صرفاً یکی از زوایا را قائمه کنید.

قبل از اینکه هر کدام از این روش های اثبات را در عمل به شما نشان بدهم، در اینجا یک قضیۀ کوچکِ سودمند داریم که در اثباتهایی که در ادامه می آیند نیاز به انجام آن خواهید داشت.

زوایای مکمل همنهشت قائمه می باشند: اگر دو زاویه هم مکمل یکدیگر باشند و هم همنهشت باشند، سپس زوایای قائمه می باشند. این مفهوم با معنا می باشد، زیرا \(90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}\) .

اوکی، در اینجا یک اثبات داریم. استراتژی بازی به خودتان بستگی دارد.

اثبات مستطیل، لوزی، یا مربع بودن یک چهارضلعی
داده ها:
\(\angle{1}\) مکمل \(\angle{2}\) می باشد
\(\angle{2}\) مکمل \(\angle{3}\) می باشد
\(\angle{1}\) مکمل \(\angle{3}\) می باشد
اثبات کنید:
\(\overline{NL} \cong \overline{EG}\)

اثبات مستطیل، لوزی، یا مربع بودن یک چهارضلعی
ترجمۀ شکل:
  1. \(\angle{1}\) مکمل \(\angle{2}\) می باشد
    \(\angle{2}\) مکمل \(\angle{3}\) می باشد
    داده.
  2. \(\overleftrightarrow{NG} \parallel \overleftrightarrow{EL}\)
    \(\overleftrightarrow{NE} \parallel \overleftrightarrow{GL}\)
    اگر زوایای هم سمت خارجی مکمل یکدیگر باشند، سپس خطها موازی می باشند.
  3. \(NGLE\) یک متوازی الاضلاع می باشد
    اگر هر دو جفت اضلاع روبرو در یک چهارضلعی موازی باشند، سپس آن چهارضلعی یک متوازی الاضلاع می باشد.
  4. \(\angle{1} \cong \angle{3}\)
    اگر دو زاویه مکمل زوایۀ یکسانی باشند، سپس آنها با یکدیگر همنهشتند.
  5. \(\angle{1}\) مکمل \(\angle{3}\) می باشد
    داده.
  6. \(\angle{1}\) یک زاویۀ قائمه می باشد
    \(\angle{3}\) یک زاویۀ قائمه می باشد
    اگر دو زاویه هم مکمل و هم همنهشت باشند، سپس آنها زوایای قائمه می باشند.
  7. \(\overleftrightarrow{NG} \bot \overleftrightarrow{NE}\)
    اگر خطوط یک زاویۀ قائمه را شکل دهند، سپس متعامد می باشند.
  8. \(\angle{ENG}\) یک زاویۀ قائمه می باشد
    اگر خطوط متعامد باشند، سپس یک زاویۀ قائمه را شکل می دهند.
  9. \(NGLE\) یک مستطیل می باشد
    اگر یک متوازی الاضلاع شامل یک زاویۀ قائمه باشد، سپس یک مستطیل می باشد.
  10. \(\overline{NL} \cong \overline{EG}\)
    قطرهای یک مستطیل همنهشت می باشند.

اثبات های لوزی


شش روش برای اثبات اینکه یک چهارضلعی، لوزی می باشد: شما می توانید از شش روش زیر برای اثبات اینکه یک چهارضلعی لوزی می باشد، استفاده کنید. سه روش آخر در این لیست شما را ملزم می دارند تا ابتدا نشان دهید (یا به شما داده شده باشد) که چهارضلعی موجود در مسأله متوازی الاضلاع باشد.

  • اگر تمامی اضلاع یک چهارضلعی همنشهت باشند، سپس آن چهارضلعی یک لوزی می باشد (معکوس تعریف آن).
    این یک تعریف است، و نه یک قضیه یا اصل.

  • اگر قطرهای یک چهارضلعی تمامی زوایا را تنصیف کنند، سپس یک لوزی می باشد (معکوس یک ویژگی).

  • اگر قطرهای یک چهارضلعی عمود منصف یکدیگر باشند، سپس یک لوزی می باشد (معکوس یک ویژگی).
    برای تجسم این روش، دو مداد یا خودکار با اندازه های متفاوت بردارید، و کاری کنید که همدیگر را در نقطۀ میانی شان در زوایای قائمه، قطع کنند. چهار نقطۀ پایانی آنها باید یک شکل لوزی را تشکیل دهند.

  • اگر دو ضلع متوالی از یک متوازی الاضلاع همنهشت باشند، سپس آن شکل یک لوزی می باشد (نه معکوس تعریف و نه معکوس یک ویژگی).

  • اگر هر کدام از قطرها از یک متوازی الاضلاع دو زاویه را تنصیف کنند، سپس یک لوزی می باشد (نه معکوس تعریف و نه معکوس یک ویژگی).

  • اگر قطرهای یک متوازی الاضلاع متعامد باشند، سپس یک لوزی می باشد (نه معکوس تعریف و نه معکوس یک ویژگی).

در اینجا یک اثبات لوزی برای شما داریم. سعی کنید قبل از خواندن اثبات دو ستونی به استراتژی بازی خودتان دست یابید.

اثبات مستطیل، لوزی، یا مربع بودن یک چهارضلعی
داده ها:
\(ABCD\) یک مستطیل می باشد
\(W\)، \(X\)، و \(Z\) به ترتیب نقاط میانی \(\overline{AD}\)، \(\overline{AB}\)، و \(\overline{DC}\) می باشند
\(\triangle{WXY}\) و \(\triangle{WZY}\) مثلثهای متساوی الساقین با قاعدۀ مشترک \(\overline{WY}\) می باشند
اثبات کنید:
\(WXYZ\) یک لوزی می باشد

اثبات مستطیل، لوزی، یا مربع بودن یک چهارضلعی
ترجمۀ شکل:
  1. \(ABCD\) یک مستطیل است
    داده.
  2. \(\overline{AB} \cong \overline{DC}\)
    اضلاع روبرو در یک مستطیل همنهشت می باشند.
  3. \(X\) نقطۀ میانی \(\overline{AB}\) می باشد
    \(Z\) نقطۀ میانی \(\overline{DC}\) می باشد
    داده.
  4. \(\overline{AX} \cong \overline{DZ}\)
    قضیۀ تقسیمات مشابه.
  5. \(\angle{WAX}\) یک زاویۀ قائمه می باشد
    \(\angle{WDZ}\) یک زاویۀ قائمه می باشد
    تمامی زوایای یک مستطیل زاویۀ قائمه می باشند.
  6. \(\angle{WAX} \cong \angle{WDZ}\)
    تمامی زوایای قائمه همنهشت می باشند.
  7. \(W\) نقطۀ میانی \(\overline{AD}\) می باشد
    داده.
  8. \(\overline{AW} \cong \overline{DW}\)
    یک نقطۀ میانی یک پاره خط را به دو قسمت همنهشت تقسیم می کند.
  9. \(\triangle{WAX} \cong \triangle{WDZ}\)
    اصل SAS (گزاره های 4،6،8)
  10. \(\overline{WX} \cong \overline{WZ}\)
    CPCTC
  11. \(\triangle{WXY}\) یک مثلث متساوی الساقین با قاعدۀ \(\overline{WY}\) می باشد
    \(\triangle{WZY}\) یک مثلث متساوی الساقین با قاعدۀ \(\overline{WY}\) می باشد
    داده.
  12. \(\overline{WX} \cong \overline{YX}\)
    \(\overline{WZ} \cong \overline{YZ}\)
    اگر یک مثلث متساوی الساقین باشد، سپس دو ساق آن همنهشت می باشند.
  13. \(\overline{YX} \cong \overline{WX} \cong \overline{WZ} \cong \overline{YZ}\)
    ویژگی تراگذری (گزاره های 10 و 12).
  14. \(WXYZ\) یک لوزی می باشد
    اگر یک چهارضلعی دارای چهار ضلع همنهشت باشد، سپس یک لوزی می باشد.

اثبات های مربع


چهار روش برای اثبات اینکه یک چهارضلعی یک مربع می باشد: در سه روش آخر در این لیست، شما ابتدا باید اثبات کنید (یا به شما داده شده باشد) که چهارضلعی یک مستطیل، لوزی، یا هر دوی اینها می باشد:

  • اگر یک چهارضلعی دارای چهار ضلع همنهشت و چهار زاویۀ قائمه باشد، سپس یک مربع می باشد (معکوس تعریف مربع).
    این یک تعریف می باشد، و نه یک قضیه یا اصل.

  • اگر دو ضلع متوالی از یک مستطیل همنهشت باشند، سپس یک مربع می باشد (نه معکوس تعریف و نه معکوس یک ویژگی).

  • اگر یک لوزی شامل یک زاویۀ قائمه باشد، سپس یک مربع می باشد (نه معکوس تعریف و نه معکوس یک ویژگی).

  • اگر یک چهارضلعی هم مستطیل و هم لوزی باشد، سپس یک مربع است (نه معکوس تعریف و نه معکوس یک ویژگی).

برای اثبات اینکه یک مربع دارید، باید این چهار روش را بدانید، اما اینبار مثال ها را نادیده می گیرم. اگر شما اثبات های اخیر در مورد لوزی و مستطیل را درک کرده باشید، در هنگام مواجه شدن با اثبات های مربع نیز هیچ مشکلی نخواهید داشت.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.