خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


اثبات متشابه بودن مثلث ها

اثبات متشابه بودن مثلث ها
نویسنده : امیر انصاری
در فصل 9 پنج روش برای اثبات همنهشتی مثلث ها را تشریح کردیم: \(SSS\) ، \(SAS\) ، \(ASA\) ، و \(HLR\). در این بخش، چیزی مرتبط با آن را به شما نشان می دهم ـــ سه روش برای اثبات اینکه مثلث ها متشابه می باشند: \(AA\) ، \(SSS\sim\) ، و \(SAS\sim\) .

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



از روش های زیر برای اثبات متشابه بودن مثلث ها استفاده کنید:

  • \(AA\) : اگر دو زاویه از یک مثلث با دو زاویه از مثلث دیگری همنهشت باشند، سپس آن مثلث ها متشابه می باشند.

  • \(SSS\sim\) : اگر نسبت سه ضلع متناظر در دو مثلث با یکدیگر برابر باشند، سپس آن مثلث ها متشابه می باشند.

  • \(SAS\sim\) : اگر نسبت بین دو ضلع متناظر از دو مثلث برابر باشد و زاویۀ بین آنها همنهشت باشد، سپس آن مثلث ها متشابه می باشند.

در ادامه با چندین مسأله به شما نشان می دهم که این روش ها چگونه کار می کنند.

اثبات متشابه بودن مثلث با روش \(AA\)


روش \(AA\) پرکاربردترین و از این رو مهمترین روش می باشد. خوشبختانه این روش در بین سه روش موجود، ساده ترین نیز می باشد. با اثبات زیر خودتان یک امتحانی کنید:

اثبات متشابه بودن مثلث ها
داده ها:
\(\angle{1}\) مکمل \(\angle{2}\) می باشد
\(\overline{AY} \parallel \overline{LR}\)
اثبات کنید:
\(\triangle{CYA} \sim \triangle{LTR}\)

هنگامی که در یک مسأله مثلث های متشابه، خطوط موازی را مشاهد می کنید، به دنبال روشی باشید که با استفاده از قضایایِ خطوط موازی از فصل 10، به زوایای همنهشت برسید.

در اینجا یک استراتژی بازی داریم که فرآیند فکری احتمالی شما را نشان می دهد (این فرآیند فکری اینطور فرض می گیرد که شما از روی عنوان این بخش نمی دانید که باید از روش \(AA\) استفاده کنید): اولین داده در مورد زوایا می باشد، و دومین داده در مورد خطوط موازی می باشد، که احتمالاً در مورد خطوط موازی چیزی را به شما می گوید. بنابراین این اثبات به احتمال قریب به یقین یک اثبات \(AA\) می باشد. بنابراین تمام کاری که شما باید انجام بدهید فکر کردن در مورد داده ها و فهمیدن اینست که همنهشتی کدام دو جفت از زوایا را می توانید اثبات کنید تا از آنها در \(AA\) استفاده نمایید. کار ساده ای است.

نگاهی به چگونگی انجام این اثبات بیندازید:

اثبات متشابه بودن مثلث ها
ترجمۀ شکل:
  1. \(\angle{1}\) مکمل \(\angle{2}\) می باشد
    داده.
  2. \(\angle{1}\) مکمل \(\angle{YCA}\) می باشد
    دو زاویه که یک زاویۀ نیم صفحه را تشکیل می دهند مکمل یکدیگر می باشند (از روی شکل مفروض شده است).
  3. \(\angle{YCA} \cong \angle{2}\)
    مکمل های یک زاویۀ یکسان با یکدیگر همنهشت می باشند.
  4. \(\overline{AY} \parallel \overline{LR}\)
    داده.
  5. \(\angle{CAY} \cong \angle{LRT}\)
    زوایای متبادل خارجی همنهشت میباشند (با استفاده از پاره خطهای موازی \(\overline{AY}\) و \(\overline{LR}\) و خط قاطع \(\overleftrightarrow{CT}\)).
  6. \(\triangle{CYA} \sim \triangle{LTR}\)
    \(AA\) . (اگر دو زاویه از یک مثلث با دو زاویه از مثلثی دیگر همنشهت باشند، سپس این مثلثها متشابه خواهند بود؛ خطهای 3 و 5.)

اثبات متشابه بودن مثلث با روش \(SSS\sim\)


اثبات بعدی شامل قضیۀ خط میانه، که در اینجا آن را نیز آورده ام، می باشد.

قضیۀ خط میانه (midline theorem): یک پاره خط که دو نقطۀ میانی دو ضلع یک مثلث را به یکدیگر متصل می کند دارای این ویژگیها می باشد:

  • طول آن نصف طول ضلع سوم می باشد
  • با ضلع سوم موازی می باشد

شکل 4-13 این قضیه را به صورت بصری به شما نشان می دهد.

اثبات متشابه بودن مثلث ها
این قضیه را در عمل همراه با یک اثبات \(SSS\sim\) ببینید:

اثبات متشابه بودن مثلث ها
داده ها:
\(A\) ، \(W\) ، و \(Y\) به ترتیب نقاط میانیِ \(\overline{KN}\) ، \(\overline{KE}\) ، و \(\overline{NE}\) می باشند
اثبات کنید:
در یک اثبات پاراگرافی با استفاده از موارد لیست زیر نشان دهید که \(\triangle{WAY} \sim \triangle{NEK}\)
  1. با استفاده از بخش اول قضیۀ خط میانه
  2. با استفاده از بخش دوم قضیۀ خط میانه

  1. از اولین بخش قضیۀ خط میانه استفاده کنید تا \(\triangle{WAY} \sim \triangle{NEK}\) را اثبات کنید.
    پاسخ اینست: اولین بخش از قضیۀ خط میانه بیان می دارد که یک پاره خط که دو نقطۀ میانی از دو ضلع یک مثلث را به یکدیگر متصل کرده است، نصفه طول ضلع سوم می باشد. شما سه تا از این پاره خطها دارید: \(\overline{AY}\) نصف طول \(\overline{KE}\) را دارد، \(\overline{WY}\) نصف طول \(\overline{KN}\) را دارد، و \(\overline{AW}\) نصف طول \(\overline{NE}\) را دارد. این تناسبی را که نیاز دارید به شما می دهد:
    $$
    \frac{AY}{KE}=\frac{WY}{KN}=\frac{AW}{NE}=\frac{1}{2}
    $$
    بنابراین، این مثلث ها با \(SSS\sim\) متشابه می باشند.

  2. از بخش دوم قضیۀ خط میانه استفاده کنید تا اثبات کنید که \(\triangle{WAY} \sim \triangle{NEK}\) .
    این یکی را اینطور حل کنید: بخش دوم از قضیۀ خط میانه به شما می گوید که یک پاره خط که نقاط میانیِ دو ضلع از یک مثلث را به یکدیگر متصل می کند با ضلع سوم موازی می باشد. شما سه پاره خط همانند این را در شکل هندسی دارید، \(\overline{AY}\) ، \(\overline{WY}\) ، و \(\overline{AW}\) ، که هر کدامشان با یکی از اضلاع \(\triangle{NEK}\) موازی می باشند. جفت هایی از پاره خط های موازی باید منجر شود تا شما به استفاده از قضیۀ خطوط موازی فکر کنید (از فصل 10)، که می تواند زوایای همنهشتی را به شما بدهد که برای اثبات تشابه مثلث ها با \(AA\) به آنها نیاز دارید.
    به پاره خطهای موازی \(\overline{AY}\) و \(\overline{KE}\) ، با خط متقاطع \(\overline{NE}\) بنگرید. شما می توانید ببینید که \(\angle{E}\) با \(\angle{AYN}\) همنهشت می باشد، زیرا زوایای متناظر همنهشت می باشند (زوایای متناظر در خطوط موازی).
    اکنون به پاره خطهای موازی \(\overline{AW}\) و \(\overline{NE}\) ، با خط متقاطع \(\overline{AY}\) بنگرید. زاویۀ \(AYN\) با \(\angle{WAY}\) همنهشت می باشد، زیرا آنها زوایای متبادل داخلی می باشند. بنابراین با استفاده از ویژگی تراگذری (transitive property) داریم \(\angle{E} \cong \angle{WAY}\) .
    با دلیل آوری یکسانی، شما سپس نشان خواهید داد که \(\triangle{K} \cong \triangle{WYA}\) یا اینکه \(\triangle{N} \cong \triangle{AWY}\) . و تمام شد. این مثلث ها با استفاده از \(AA\) متشابه می باشند.

اثبات متشابه بودن مثلث با روش \(SAS\sim\)


سعی کنید تا با روش \(SAS\sim\) اثبات زیر را حل کنید:

اثبات متشابه بودن مثلث ها
داده ها:
\(\triangle{BOA} \sim \triangle{BYT}\)
اثبات کنید:
\(\triangle{BAT} \sim \triangle{BOY}\) (در شکل پاراگراف)

استراتژی بازی: تفکر شما ممکن است چنین پیش برود. شما یک جفت از زوایای همنهشت را دارید، زوایای متقابل به رأسِ \(\angle{ABT}\) و \(\angle{OBY}\) . اما از آنجا که به نظر نمی رسد شما بتوانید جفت دیگری از زوایای همنهشت را بیابید، رویکرد \(AA\) حذف می شود. چه روش دیگری را می توانید امتحان کنید؟ در شکل اندازۀ اضلاع به شما داده شده است، بنابراین، ترکیب اضلاع و زوایا می تواند شما را به فکر استفاده از \(SAS\sim\) بیندازد. برای اثبات \(\triangle{BAT} \sim \triangle{BOY}\) با \(SAS\sim\) ، شما نیاز دارید تا طول \(\overline{BT}\) را بیابید تا بتوانید نشان دهید که \(\overline{BA}\) و \(\overline{BT}\) با \(\overline{BO}\) و \(\overline{BY}\) متناسب می باشند. برای یافتن \(BT\) ، می توانید از تشابه داده شده استفاده کنید.

بنابراین شما با یافتن طول \(\overline{BT}\) شروع به حل کردن این مسأله می کنید. \(\triangle{BOA} \sim \triangle{BYT}\) ، پس ـــ به ترتیب قرار گیری حروف در اسامی مثلث ها دقت کنید ـــ شما می دانید که \(\overline{BO}\) با \(\overline{BY}\) متناطر است و \(\overline{BA}\) با \(\overline{BT}\) متناظر است. از این رو، شما می توانید تناسب زیر را ایجاد کنید:
$$
\frac{BO}{BY}=\frac{BA}{BT} \\
\frac{20}{16} = \frac{5}{BT} \\
20 \cdot BT = 16 \cdot 5 \\
BT = 4
$$
حالا برای ثابت کردن \(\triangle{BAT} \sim \triangle{BOY}\) با \(SAS\sim\) ، شما از زوایای متقابل به رأس و سپس بررسی اینکه تناسب های زیر کار می کنند، استفاده می کنید:
$$
\frac{BA}{BO} \overset{?}{=} \frac{BT}{BY} \\
\frac{5}{20} \overset{?}{=} \frac{4}{16}
$$
این تناسب برقرار می باشد. کار شما خاتمه یافت. (راستی، هر دوی این کسرها به \({1\over4}\) کاهش می یابند، بنابراین \(\triangle{BAT}\) برابر با \({1\over4}\) ،\(\triangle{BOY}\) می باشد.)



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.