خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


استفاده از CASTC و CSSTP در مثلث های متشابه

استفاده از CASTC و CSSTP در مثلث های متشابه
نویسنده : امیر انصاری
در این بخش، شما اثبات می کنید که مثلث ها متشابه می باشند (مانند بخش قبلی) و سپس یک مرحله جلوتر می روید تا با استفاده از CASTC و CSSTP چیزهای دیگری را در مورد آن مثلث ها اثبات کنید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



مثلث های متشابه دارای دو ویژگی زیر می باشند:

  • CASTC : این ویژگی در واقع مخفف شدۀ Corresponding angles of similar triangles are congruent می باشد، که معنای آن اینست: زوایای متناظر از مثلث های متشابه، همنهشت می باشند.

  • CSSTP : این ویژگی در واقع مخفف شدۀ Corresponding sides of similar triangles are proportional می باشد، که معنای آن اینست: اضلاع متناظر از مثلث های متشابه، متناسب می باشند.

این تعریف از مثلث های متشابه از تعریف چندضلعی های متشابه پیروی می کند، و از این رو مفهوم جدیدی نمی باشد، بنابراین شما ممکن است با خودتان بیندیشید چرا این نیاز به یک تعریف خاص دارد. خوب، چیزی که در اینجا جدید است خود تعریف نمی باشد؛ بلکه چگونگی استفاده از تعریف در یک اثبات دو ستونی می باشد.

CASTC و CSSTP درست شبیه CPCTC کار می کنند. در یک اثبات دو ستونی، شما از CASTC و CSSTP در خط دقیقاً بعد از اینکه نشان دادید مثلث ها متشابه می باشند، استفاده می کنید، درست مانند زمانیکه از CPCTC در خط بعد از اثبات همنهشتی مثلث استفاده می کردید (برای مرور CPCTC فصل 9 را ببینید). در واقع این دو مفهوم به نوعی پسرعموهای CPCTC می باشند.

چگونگی استفاده از CASTC در یک مسأله


اثبات زیر به شما نشان می دهد CASTC چگونه کار می کند:

استفاده از CASTC و CSSTP در مثلث های متشابه
داده ها:
شکل هندسی به نحویکه می بینید
اثبات کنید:
\(\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{DE}\) (اثبات در شکل پاراگراف باشد)

در اینجا چگونگی استراتژی بازی احتمالی تان را می بینید: هنگامی که این دو مثلث را در شکل هندسی این اثبات می بینید و از شما خواسته می شود تا اثبات کنید که خطها موازی می باشند، شما باید در مورد اثبات متشابه بودن این مثلث ها فکر کنید. اگر بتوانید این کار را انجام بدهید، سپس می توانید از CASTC استفاده کنید تا به زوایای همنهشت برسید، و سپس می توانید از آن زوایای همنهشت همراه با قضیۀ خطوط موازی (از فصل 10) استفاده نموده و مسأله را به پایان برسانید.

خوب پاسخ اینجاست. شما یک جفت از زوایای همنهشت را دارید، \(\angle{3}\) و \(\angle{4}\) ، بنابراین اگر بتوانید نشان دهید که اضلاعی که این زوایا را می سازند با یکدیگر متناسب می باشند، این مثلث ها با روش \(SAS\sim\) متشابه خواهند بود. پس متناسب بودن آن اضلاع را بررسی کنید:
$$
\frac{AC}{EC} \overset{?}{=} \frac{BC}{DC} \\
\frac{3x}{6x} \overset{?}{=} \frac{5y}{10y} \\
\frac{1}{2} = \frac{1}{2}
$$
صحیح بود. از اینرو، با روش \(SAS\sim\) داریم: \(\triangle{ABC} \sim \triangle{EDC}\) . (توجه داشته باشید که این تشابه به نحوی نوشته می شود که رأس های متناظر جفت گردند.) رأس های \(B\) و \(D\) متناظرند، پس با استفاده از CASTC داریم \(\angle{2} \cong \angle{5}\) . از آنجا که \(\angle{2}\) و \(\angle{5}\) زوایای متبادل داخلی می باشند که همنهشت هستند، \(\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{DE}\) . (توجه داشته باشید که به جای آن می توانید نشان دهید که \(\angle{1}\) و \(\angle{6}\) با استفاده از CASTC همنهشت هستند و سپس از این دو زاویه به عنوان زوایای متبادل داخلی استفاده کنید.)

چگونگی استفاده از CSSTP در یک مسأله


اثبات های CSSTP می تواند از اثبات های CASTC اندکی مهارت آمیزتر باشند زیرا آنها اغلب شامل یک مرحلۀ عجیب در پایانشان می باشند که در آن شما باید اثبات کنید که یک حاصلضرب از اضلاع با حاصلضرب دیگری از اضلاع برابر می باشند. در مسأله ای که در ادامه آمده است منظور من را خواهید دید:

استفاده از CASTC و CSSTP در مثلث های متشابه
داده ها:
\(\triangle{LMN}\) یک مثلث متساوی الساقین با قاعدۀ \(\overline{LN}\) می باشد
\(\angle{1} \cong \angle{8}\)
اثبات کنید:
\(JL \cdot NP = QN \cdot LK\)

شما معمولاً می توانید از یک تناسب برای اثبات اینکه دو حاصلضرب برابر می باشند، استفاده کنید؛ بنابراین، اگر از شما خواسته شود تا اثبات کنید که یک حاصلضرب با حاصلضرب دیگری برابر می باشد (همانند \(JL \cdot NP = QN \cdot LK\)) ، احتمالاً اثبات مربوطه شامل یک تناسب است که به مثلث ها متشابه مرتبط می باشد (یا شاید، احتمال کمی هم دارد که یک تناسب در ارتباط با قضایایی باشد که در ادامۀ همین فصل خواهید آموخت). پس به دنبال مثلث های متشابهی باشید که شامل چهار پاره خطی باشند که در گزارۀ اثبات آمده اند. سپس می توانید با استفاده از آن چهار پاره خط یک تناسب را ایجاد کنید و در پایان با استفاده از ضرب صلیبی (طرفین وسطین کردن) به حاصلضرب مورد نظر برسید.

این اثبات رسمی است:

استفاده از CASTC و CSSTP در مثلث های متشابه
ترجمۀ شکل:
  1. \(\triangle{LMN}\) یک مثلث متساوی الساقین با قاعدۀ \(\overline{LN}\) می باشد
    داده.
  2. \(\overline{ML} \cong \overline{MN}\)
    تعریف مثلث متساوی الساقین.
  3. \(\angle{4} \cong \angle{5}\)
    اگر اضلاع، سپس زوایا.
  4. \(\angle{3} \cong \angle{4}\)
    \(\angle{5} \cong \angle{6}\)
    زوایای متقابل به رأس همنهشتند.
  5. \(\angle{3} \cong \angle{6}\)
    ویژگی تراگذری برای چهار زوایه. (اگر دو زاویه با دو زاویۀ همنهشت دیگر همنهشت باشند، سپس آنها با یکدیگر همنهشت می باشند.)
  6. \(\angle{1} \cong \angle{8}\)
    داده.
  7. \(\angle{2} \cong \angle{7}\)
    مکمل های دو زاویۀ همنهشت با همدیگر همنهشتند.
  8. \(\triangle{JKL} \sim \triangle{QPN}\)
    \(AA\) (خطهای 5 و 7).
  9. \(\frac{JL}{QN}=\frac{LK}{NP}\)
    CSSTP
  10. \(JL \cdot NP = QN \cdot LK\)
    ضرب صلیبی (طرفین وسطین کردن).



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.