خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


خطها و صفحات موازی، متعامد، و متقاطع

خطها و صفحات موازی، متعامد، و متقاطع
نویسنده : امیر انصاری
در بخش پیشین، اثبات ها صرفاً شامل یک صفحه بودند، اما در این بخش، با اثبات ها و اشکالی مواجه می شوید که شامل چندین صفحه در ارتفاعات متفاوت می باشند.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



چهار روش برای تعیین یک صفحه


قبل از اینکه وارد اثبات های چند صفحه ای شوید، ابتدا لازم است که چندین روش برای تعیین یک صفحه را بدانید. تعیین یک صفحه یک روش ریاضیِ فانتزی برای گفتن اینکه "به شما نشان دهد یک صفحه در کجا قرار دارد." می باشد.

در اینجا چهار روش تعیین یک صفحه را می بینید:

  • سه نقطۀ غیر هم راستا (non-collinear points) یک صفحه را تعیین می کنند.
    این گزاره بدین معنا می باشد که اگر شما سه نقطه داشته باشید که در یک خط قرار نداشته باشند، آن گاه فقط یک صفحۀ خاص می تواند از میان آن نقاط عبور کند. این صفحه توسط این سه نقطه تعیین می شود زیرا این نقاط به شما نشان می دهند که این صفحه دقیقاً در کجا قرار دارد.

    برای مشاهدۀ اینکه این روش چگونه کار می کند، انگشت شست، انگشت اشاره، و انگشت میانی خود را به نحوی نگهدارید که نوک این سه انگشت شما یک مثلث را تشکیل بدهند. سپس یک چیز مسطح مانند یک کتاب را روی آن قرار دهید به نحویکه نوک هر سه انگشت شما را لمس کند. فقط یک روش وجود دارد که شما می توانید کتاب را کج کنید و همزمان با هر سه انگشت شما هم در تماس باشد. این سه نوک انگشت غیر هم راستا آن صفحۀ کتاب را تعیین می کنند.

  • یک خط و یک نقطه که بر روی آن خط قرار ندارد یک صفحه را تعیین می کنند.
    یک مداد را در دست چپتان به نحوی نگهدارید که به سمت جلو و دور شدن از شما اشاره کند، و انگشت اشارۀ دست راستتان را به سمت بالا نشانه بروید. فقط یک روش وجود دارد که یک چیز مسطح در امتداد آن مداد قرار گیرد و نوک انگشت شما را نیز لمس کند.

  • دو خط متقاطع یک صفحه را تعیین می کنند.
    اگر دو مداد را به نحوی نگهدارید که از یکدیگر عبور کنند، فقط یک مکان وجود دارد که یک صفحۀ مسطح می تواند قرار بگیرد و آن بر روی هر دو مداد می باشد.

  • دو خط موازی یک صفحه را تعیین می کنند.
    دو مداد را به نحویکه موازی با یکدیگر باشند، نگهدارید. فقط یک موقعیت وجود دارد که یک صفحه می تواند بر روی هر دو مداد قرار بگیرد.

اکنون وارد اصول صفحات چندگانه می شویم.

اثرات متقابل خط و صفحه


نگاهی به ویژگیهای زیر در مورد تعامد و توازیِ خطها و صفحه ها بیندازید. شما برخی از این ویژگیها را در اثبات های سه بعدی که شامل مفاهیم دو بعدی می باشند در فصلهای پیشین مورد استفاده قرار داده اید، مانند اثبات اینکه یک چهار ضلعی خاص دارید (فصل 11 را ببینید) یا اثبات اینکه دو مثلث همنهشت می باشند (فصل 13 را ببینید).

  • سه صفحۀ موازی: اگر دو صفحه با یک صفحۀ یکسان موازی باشند، آن گاه با یکدیگر موازی می باشند.

  • دو خط موازی و یک صفحه:
    • اگر دو خط بر صفحۀ یکسانی عمود باشند، آن گاه با یکدیگر موازی می باشند.
      خطها و صفحات موازی، متعامد، و متقاطع
    • اگر یک صفحه بر یکی از دو خط موازی عمود باشد، آن گاه بر خط دیگر نیز عمود می باشد.
      خطها و صفحات موازی، متعامد، و متقاطع

  • دو صفحۀ موازی و یک خط:
    • اگر دو صفحه بر خط یکسانی عمود باشند، آن گاه با یکدیگر موازی می باشند.
      خطها و صفحات موازی، متعامد، و متقاطع
    • اگر یک خط بر یکی از دو صفحۀ موازی عمود باشد، آن گاه بر صفحۀ دیگر نیز عمود می باشد.
      خطها و صفحات موازی، متعامد، و متقاطع

و در اینجا یک قضیه داریم که برای مسالۀ بعد به آن نیاز خواهید داشت.

یک صفحه که دو صفحۀ موازی را قطع می کند: اگر یک صفحه دو صفحۀ موازی را قطع کند، آن گاه خطهای تقاطع موازی می باشند. توجه: قبل از اینکه از این قضیه در یک اثبات استفاده کنید، شما معمولاً مجبور به استفاده از یکی از چهار روش تعیین یک صفحه می باشید (بخش پیشین را ببینید) تا نشان دهید، صفحه ای که صفحۀ موازی را قطع می کند، در واقع، یک صفحه می باشد. مراحل شش و هفت، در اثبات زیر چگونگی این کار را به شما نشان می دهند.

خطها و صفحات موازی، متعامد، و متقاطع
در اینجا آخرین اثبات این فصل را داریم:

خطها و صفحات موازی، متعامد، و متقاطع
داده ها:
\(\overline{AB} \parallel \overline{DC}\)
\(\overline{AB} \bot p\)
\(\overline{DC} \bot q\)
اثبات کنید:
\(ABCD\) یک مستطیل می باشد

خطها و صفحات موازی، متعامد، و متقاطع
ترجمۀ شکل:
  1. \(\overline{AB} \parallel \overline{DC}\)
    داده.
  2. \(\overline{AB} \bot p\)
    داده.
  3. \(\overline{DC} \bot p\)
    اگر یک صفحه بر یکی از دو خط موازی عمود باشد، سپس بر خط دیگر نیز عمود می باشد.
  4. \(\overline{DC} \bot q\)
    داده.
  5. \(p \parallel q\)
    دو صفحه که بر خط یکسانی عمود باشند با یکدیگر موازی هستند.
  6. \(\overleftrightarrow{AB}\) و \(\overleftrightarrow{DC}\) صفحۀ \(ABCD\) را تعیین می کنند
    دو خط موازی یک صفحه را تعیین می کنند.
  7. \(\overline{BC} \parallel \overline{AD}\)
    اگر یک صفحه، دو صفحۀ موازی را قطع کند، سپس خطهای تقاطع موازی می باشند. (توجه: اطمینان حاصل کنید که در هنگام استفاده از این قضیه، شما تعیین کرده باشید که صفحۀ قطع کننده واقعاً یک صفحه می باشد، مانند کاری که من در خط 6 انجام دادم. شما مجبور به انجام این کار هستید، مگر اینکه در داده های مسأله به شما گفته شده باشند که آن یک صفحه می باشد.)
  8. \(ABCD\) یک متوازی الاضلاع می باشد
    یک چهارضلعی با دو جفت از اضلاع موازی یک متوازی الاضلاع می باشد.
  9. \(\overline{AB} \bot \overline{BC}\)
    اگر یک خط بر یک صفحه عمود باشد، سپس بر هر خطی در آن صفحه که از فوت (foot) آن بگذرد، عمود می باشد.
  10. \(\angle{ABC}\) یک زاویۀ قائمه می باشد
    تعریف خطهای متعامد.
  11. \(ABCD\) یک مستطیل است
    یک متوازی الاضلاع با یک زاویۀ قائمه یک مستطیل می باشد.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.