خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


فرمول های شیب، مسافت، و نقطۀ میانی

فرمول های شیب، مسافت، و نقطۀ میانی
نویسنده : امیر انصاری
اگر دو نقطه در یک صفحۀ مختصات داشته باشید، سه سوال اساسی که در مورد آنها می توانید بپرسید به شرح زیر می باشند:

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



  • فاصلۀ بین آنها چقدر است؟
  • موقعیت نقطه ای که در نیمه راه آن دو نقطه قرار دارد کجاست (نقطۀ میانی)؟
  • پاره خطی که این دو نقطه را به یکدیگر متصل می کند، چقدر کج است (شیب)؟

این سه سوال در مسأله های فراوانی ظاهر می شوند. به زودی، شما خواهید دید که چگونه از سه فرمول برای پاسخ دادن به این سوالات استفاده کنید.

اما در حال حاضر، من می خواهم به شما هشدار بدهم که این فرمولها را با یکدیگر اشتباه نگیرید ـــ که به آسانی ممکن است با هم اشتباه گرفته شوند، زیرا هر سۀ این فرمولها شامل نقاطی با مختصات \((x_1,y_1)\) و \((x_2,y_2)\) می باشند. توصیه من اینست که به جای اینکه صرفاً با تکرار فرمول، آن را حفظ کنید ،بر روی اینکه چرا این فرمول درست کار می کند تمرکز کنید. این به شما کمک می کند تا این فرمول ها را به درستی بیاد بیاورید.

فرمول شیب خط (Slope formula)


شیب یک خط به شما می گوید آن خط چقدر تند است. شما ممکن است پیش از این در جبر 1 از فرمول شیب استفاده کرده باشید. اما در صورتی که فراموشش کرده باشید، در اینجا مروری بر روی آن فرمول و همچنین حقایق سرراستی در مورد برخی از انواع رایج خطها داریم.

فرمول شیب (Slope formula): شیب خطی که شامل دو نقطۀ \((x_1,y_1)\) و \((x_2,y_2)\) باشد، با فرمول زیر بدست می آید (شیب یک خط معمولاً با حرف \(m\) نشان داده می شود):
$$\text{Slope}=m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{\text{rise}}{\text{run}}$$

توجه: مهم نیست که کدام نقطه را به عنوان \((x_1,y_1)\) و \((x_2,y_2)\) استفاده می کنید؛ این فرمول به هر دو روش درست کار می کند. فقط مطمئن شوید که اعدادتان را در مکان درستی در این فرمول جایگذاری کرده باشید.

rise (بالا رفتن) مسافت رو به بالا، و run (دویدن) مسافت افقی می باشد که در شکل 2-18 به شما نشان داده شده است.

فرمول های شیب، مسافت، و نقطۀ میانی
یادداشت مترجم: کسر مطرح شده به صورت \(\frac{\text{rise}}{\text{run}}\) بخشی از فرمول شیب نمی باشد، این صرفاً یک یاد آور برای انگلیسی زبان ها است که بدلیل وجود آن در شکلهای کتاب ما هم مطرحش کردیم تا باعث سردرگمی نگردد.

به لیست زیر و شکل 3-18 نگاهی بیندازید، که به شما نشان می دهد که شیب یک خط با تند و تندتر شدن آن خط افزایش می یابد.

  • یک خط افقی به هیچ وجه تندی ندارد، بنابراین شیب آن صفر می باشد. یک روش خوب برای بیاد آوردن این مطلب اینست که به رانندگی در یک جادۀ افقی و مسطح فکر کنید ـــ این جاده دارای صفر تندی یا شیب می باشد.
  • یک خط اندکی شیب دار ممکن است دارای شیب، فرضاً \(\frac{1}{5}\) باشد.
  • یک خط در یک زاویۀ \(45^{\circ}\) دارای شیب \(1\) می باشد.
  • یک خط تندتر می تواند دارای شیب \(5\) باشد.
  • یک خط عمودی (که همه اش تندی است) به نوعی دارای شیب بی نهایت می باشد، اما ریاضیدانان می گویند که شیب آن تعریف نشده (undefined) است. (دلیل تعریف نشده بودن آن اینست که در یک خط عمودی، شما به هیچ وجه نمی توانید به صورت افقی حرکت کنید، و از این رو run در کسر \(\frac{\text{rise}}{\text{run}}\) برابر با صفر خواهد بود، و شما نمی توانید چیزی را بر صفر تقسیم کنید). در مورد رانندگی رو به سمت بالا در یک جادۀ عمودی فکر کنید: شما نمی توانید این کار را انجام بدهید ـــ غیرممکن است. و همینطور محاسبۀ شیب یک خط عمودی نیز غیرممکن می باشد.

فرمول های شیب، مسافت، و نقطۀ میانی
خطهایی که در شکل 3-18 می بینید دارای شیب مثبت می باشند (به جز خط افقی و خط عمودی). اکنون خطهای دارای شیب منفی را به شما معرفی می کنم، و چند روش برای تمیز دادن بین این دو نوع شیب را به شما می گویم:

  • خطهایی که رو به سمت بالا و راست می روند دارای شیب مثبت می باشند. خطهای دارای شیب مثبت، از سمت چپ به راست رو به بالا می روند.
  • خطهایی که رو به سمت پایین و راست می روند دارای شیب منفی می باشند. خطهای دارای شیب منفی، از سمت چپ به راست رو به پایین می روند.

یک خط دارای شیب منفی در جهت بخش میانی حرف بزرگ \(N\) می رود. شکل 4-18 را ببینید.
فرمول های شیب، مسافت، و نقطۀ میانی
درست مانند خطهای دارای شیب مثبت، خطهای دارای شیب منفی، با افزایش شیبشان، تندتر و تندتر می شوند؛ اما در اینجا افزایش به معنای بزرگ و بزرگتر شدن یک عدد منفی می باشد (که به لحاظ فنی کاهش می باشد).

در اینجا چندین جفت از خطها را داریم که دارای شیب های خاص می باشند:

  • شیب خطهای موازی (Slopes of parallel lines): شیب خطهای موازی با یکدیگر برابر می باشد.
    اگرچه در مورد دو خط عمودی، یک نکتۀ فنی کوچک وجود دارد: اگر دو خط عمودی موازی باشند، شما نمی توانید بگویید که شیب آنها برابر می باشد. شیب هر دوی آنها تعریف نشده است، پس آنها دارای شیب یکسانی می باشند، اما از آنجا که تعریف نشده (undefined) با هیچ چیزی برابر نیست، شما نمی توانید بگویید که \(undefined=undefined\) .

  • شیب خطهای متعامد (Slopes of perpendicular lines): شیب خطهای متعامد قرینۀ معکوس (opposite reciprocal) یکدیگر می باشند، مانند \(\frac{7}{3}\) و \(-\frac{3}{7}\) یا \(-6\) و \(\frac{1}{6}\) .
    این قانون درست کار می کند مگر اینکه یکی از خطهای متعامد افقی (\(\text{slop=0}\)) و یا عمودی (\(\text{slope is undefined}\)) باشد.

فرمول مسافت (distance formula)


اگر دو نقطه در یک دستگاه مختصات \(x-y\) درست از چپ به راست یک مسیر باشند یا اینکه دقیقاً بالا یا پایین یکدیگر باشند، پیدا کردن مسافت بین آنها به سادگی یک بشکن زدن می باشد. درست مانند پیدا کرد فاصلۀ بین دو نقطه در یک خط اعداد (محور اعداد) می باشد: شما کافیست عدد کوچکتر را از عدد بزرگتر تفریق کنید. در اینجا فرمول های آن را می بینید:
$$
\text{Horizontal distance}=\text{right}_{\text{x-coordinate}} - \text{left}_{\text{x-coordinate}} \\[3ex]
\text{Vertical distance} =\text{top}_{\text{y-coordinate}} - \text{bottom}_{\text{y-coordinate}}
$$
ترجمۀ فرمول:
Horizontal distance: فاصلۀ افقی
right: راست
left: چپ
coordinate: مختصات
Vertical distance: فاصلۀ عمودی
top: بالا
bottom: پایین

فرمول مسافت (Distance formula): پیدا کردن مسافت مورب نسبت به محاسبۀ مسافت های افقی و عمودی، اندکی مهارت آمیزتر است. برای این منظور، ریاضیدانان فرمول مسافت را ایجاد کرده اند، که فاصلۀ بین دو نقطۀ \((x_1,y_1)\) و \((x_2,y_2)\) را به شما می دهد:
$$\text{Distance}=\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

توجه: همانند فرمول شیب، مهم نیست که کدام نقطه را \((x_1,y_1)\) بنامید و کدام نقطه را \((x_2,y_2)\) بنامید.

شکل 5-18 فرمول مسافت را به شما نشان می دهد.

فرمول مسافت به سادگی همان قضیۀ فیثاغورث (\(a^2+b^2=c^2\)) می باشد که برای وتر حل شده است: \(c=\sqrt{a^2+b^2}\) . شکل 5-18 را دوباره نگاه کنید. ساق های این مثلث قائم الزاویه (\(a\) و \(b\) زیر علامت رادیکال می باشند) دارای طولهایی برابر با \((x_2-x_1)\) و \((y_2 - y_1)\) می باشند. این ارتباط را به یاد داشته باشید، و اگر فرمول مسافت را فراموش کردید، قادر خواهید بود تا به جای آن یک مسألۀ فاصله را با قضیۀ فیثاغورث حل کنید.

فرمول های شیب، مسافت، و نقطۀ میانی
فرمول شیب را با فرمول مسافت اشتباه نگیرید. شما ممکن است متوجه شده باشید که هر دوی این فرمولها شامل عبارات \((x_2 - x_1)\) و \((y_2 - y_1)\) می باشند. این شباهت به این دلیل است که طول ساق های یک مثلث قائم الزاویه در فرمول مسافت با rise و run در فرمول شیب یکی می باشند. برای اینکه این فرمولها را از هم تمیز بدهید، صرفاً روی این حقیقت تمرکز کنید که شیب یک نسبت (ratio) می باشد و فاصله یک وتر (hypotenuse) است.

فرمول نقطۀ میانی (midpoint formula)


فرمول نقطۀ میانی مختصات نقطۀ میانی یک پاره خط را به شما نشان می دهد. روشی که این فرمول کار می کند بسیار ساده است: این فرمول میانگین مختصات های \(x\) در نقاط پایانی آن پاره خط و میانگین مختصات های \(y\) در نقاط پایانی آن را بدست می آورد. این میانگین ها موقعیت یک نقطه را به شما می دهند که دقیقاً در وسط آن پاره خط قرار دارد.

فرمول نقطۀ میانی (Midpoint formula): برای یافتن نقطۀ میانی یک پاره خط با نقاط پایانی \((x_1,y_1)\) و \((x_2,y_2)\) ، از فرمول زیر استفاده کنید:
$$\text{Midpoint} = \biggl( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \biggr)$$

توجه: مهم نیست کدام نقطه را \((x_1,y_1)\) و کدام نقطه را \((x_2,y_2)\) در نظر می گیرید.

استفاده از تمامی این فرمول ها در یک مسأله


در اینجا مسأله ای داریم که چگونگی استفاده از فرمول شیب خط، مسافت، و نقطۀ میانی را به شما نشان می دهد.

فرمول های شیب، مسافت، و نقطۀ میانی
داده ها:
چهارضلعی \(PQRS\) به نحویکه می بینید
حل کنید:
  1. نشان دهید \(PQRS\) یک مستطیل می باشد
  2. محیط \(PQRS\) را بیابید
  3. نشان دهید که قطرهای \(PQRS\) همدیگر را تنصیف می کنند، و محل تقاطع آن دو را بیابید

  1. نشان دهید که \(PQRS\) یک مستطیل می باشد.
    ساده ترین روش برای نشان دادن اینکه \(PQRS\) یک مستطیل می باشد اینست که شیب هر چهار ضلع آن را محاسبه کنید و سپس از مفاهیم مربوط به شیب خطهای موازی و شیب خطهای متعامد استفاده کنید (برای مشاهدۀ روشهای اثبات مستطیل بودن یک چهارضلعی، فصل 11 را ببینید).
    $$
    \text{Slope} =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\
    \text{Slope}_{\overline{QR}} =\frac{8-2}{9-1}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4} \\
    \text{Slope}_{\overline{PS}} =\frac{4-(-2)}{12-4}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4} \\
    \text{Slope}_{\overline{QP}} =\frac{2-(-2)}{1-4}=\frac{4}{-3}=-\frac{4}{3} \\
    \text{Slope}_{\overline{RS}} =\frac{8-4}{9-12}=\frac{4}{-3}=-\frac{4}{3}
    $$
    با مشاهدۀ این شیب ها، شما هم اکنون به دو روش مختلف می توانید نتیجه گیری کنید که \(PQRS\) یک مستطیل می باشد ـــ هیچکدام از این روشها کار بیشتری نیاز ندارند.

    ابتدا، از آنجا که شیب \(\overline{QR}\) و \(\overline{PS}\) برابر می باشند، این پاره خطها موازی هستند. ایضاً پاره خطهای \(\overline{QP}\) و \(\overline{RS}\) نیز موازی می باشند. از این رو چهارضلعی \(PQRS\) یک متوازی الاضلاع می باشد. سپس بررسی می کنید که آیا هیچکدام از رأس های آن یک زاویۀ قائمه هستند یا نه. فرض کنید رأس \(Q\) را بررسی می کنید. از آنجا که شیب \(\overline{QP}\) برابر با \((-\frac{4}{3})\) و شیب \(\overline{QR}\) برابر با \((\frac{3}{4})\) می باشد، این دو شیب قرینۀ معکوس (opposite reciprocals) یکدیگر می باشند، در نتیجه این پاره خطها متعامد هستند، و از اینرو \(\angle{Q}\) یک زاویۀ قائمه می باشد. تمام شد. زیرا یک متوازی الاضلاع با یک زاویۀ قائمه مستطیل می باشد (فصل 11 را ببینید).

    روش دوم: شما می بینید که این چهار پاره خط هر کدام یا دارای شیب \(\frac{3}{4}\) است و یا دارای شیب \(-\frac{4}{3}\) . از اینرو، به سرعت در می یابید که در هر چهار رأس این چهارضلعی یک جفت خطهای متعامد و به تبع آن یک زاویۀ قائمه وجود دارد. یک چهارضلعی که دارای چهار زاویۀ قائمه باشد، مستطیل می باشد. تمام شد.

  2. محیط \(PQRS\) را بیابید.
    از فرمول مسافت استفاده کنید. از آنجا که شما هم اکنون می دانید که \(PQRS\) یک مستطیل می باشد و اضلاع روبرو در یک مستطیل همنهشت می باشند، شما تنها نیاز به محاسبۀ دو ضلع آن دارید (طول و عرض).
    $$
    \text{Distance} = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \\
    \text{Distance}_{P \text{ to } Q} = \sqrt{(1-4)^2 + (2-(-2))^2} \\
    = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} \\
    = \sqrt{25} \\
    =5
    $$
    $$
    \text{Distance}_{Q \text{ to } R} = \sqrt{(9-1)^2 + (8-2)^2} \\
    = \sqrt{8^2 + 6^2} \\
    = \sqrt{100} \\
    =10
    $$
    حالا که طول و عرض را دارید، به سادگی می توانید محیط این مستطیل را حساب کنید:
    $$
    \text{Perimeter}_{PQRS}=2(\text{length}) + 2(\text{width}) \\
    = 2(10)+2(5)\\
    =30
    $$
  3. نشان دهید که قطرهای \(PQRS\) همدیگر را تنصیف می کنند، و نقطۀ محل تقاطع آنها را بیابید.
    اگر ویژگیهای مستطیل را بدانید (فصل 10 را ببینید)، خواهید دانست که قطرهای \(PQRS\) باید یکدیگر را تنصیف کنند. اما روش دیگر نشان دادن این موضوع استفاده از هندسۀ مختصات می باشد. واژۀ تنصیف (bisect) در این مسأله باید زنگ را برای نقطۀ میانی (midpoint) به صدا در آورد. بنابراین برای هر کدام از این قطرها از فرمول نقطۀ میانی استفاده کنید:
    $$
    \text{Midpoint}= \biggl( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \biggr) \\
    \text{Midpoint}_{\overline{QS}}= \biggl( \frac{1+12}{2}, \frac{2+4}{2} \biggr) \\
    =(6.5,3) \\
    \text{Midpoint}_{\overline{PR}}= \biggl( \frac{4+9}{2}, \frac{-2+8}{2} \biggr) \\
    =(6.5,3) \\
    $$
    این واقعیت که این دو نقطۀ میانی یکسان می باشند، نشان می دهد که هر قطر از نقطۀ میانی قطر دیگر عبور کرده است، و از اینرو، هر قطر، قطر دیگر را تنصیف کرده است. بدیهی است که این قطرها در نقطۀ \((6.5,3)\) همدیگر را قطع کرده اند. تمام.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.