خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


دوران در هندسه (rotation)

دوران در هندسه (rotation)
نویسنده : امیر انصاری
یک دَوَران (rotation) همان چیزی است که انتظارش را دارید ـــ یک تبدیل است که در آن شکل تصویر پیشین به موقعیت شکل تصویر، دوران می کند یا می چرخد. در تمامی دوران ها، یک نقطۀ ثابت واحد وجود دارد ـــ که مرکز دوران (center of rotation) نامیده می شود ـــ که سایر چیزها در اطراف آن دوران می کنند. این نقطه می تواند داخل آن شکل باشد، که در آن صورت آن شکل در جایی که قرار دارد باقی می ماند و صرفاً می چرخد. یا این نقطه می تواند بیرون آن شکل باشد، که در آن صورت، آن شکل در امتداد یک کمان مدور (مانند یک مدار) در اطراف مرکز دوران منتقل می شود. مجموع چرخش، زاویۀ دوران (rotation angle) نامیده می شود.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



در این بخش، شما خواهید دید که یک دوران، همانند یک انتقال، برابر با دو بازتاب می باشد. سپس چگونگی یافتن مرکز دوران را درخواهید یافت.

یک دوران برابر با دو بازتاب می باشد


شما می توانید با دو بازتاب یک دوران را به انجام برسانید. توضیح دادن، روش این کار اندکی مهارت آمیز می باشد، شکل 6-19 را بررسی کنید تا درک بهتری از این مفهوم داشته باشید.

یک دوران برابر با دو بازتاب می باشد: یک دوران معادل دو بازتاب بر روی خطهایی می باشد که:

  • از مرکز دوران عبور کرده باشند
  • زاویه ای را تشکیل داده باشند که برابر با نصف اندازۀ زاویۀ دوران باشد

در شکل 6-19، شما تصویر پیشین \(\triangle{RST}\) را می بینید که برخلاف حرکت عقربه های ساعت \(70^{\circ}\) به تصویر \(\triangle{R'S'T'}\) دوران کرده است. این دوران می تواند ابتدا با بازتاب \(\triangle{RST}\) بر روی خط \(l_1\) و سپس بازتاب دوبارۀ آن بر روی \(l_2\) ساخته شود. زاویه ای که توسط \(l_1\) و \(l_2\) شکل گرفته است، \(35^{\circ}\) است، که نصف زاویۀ دوران می باشد.

دوران در هندسه (rotation)

یافتن مرکز دوران و معادلات دو خط بازتاب دهنده


درست همانند بخش قبلی که در مورد انتقال بود، ساده ترین روش برای درک قضیۀ دوران (rotation theorem) انجام یک مسأله می باشد: در شکل زیر، تصویر پیشین مثلث \(\triangle{ABC}\) دوران یافته است تا تصویر مثلث \(\triangle{A'B'C'}\) را بسازد.

دوران در هندسه (rotation)
پیدا کنید:
  1. مرکز این دوران
  2. دو خط بازتاب دهنده که منجر به تولید نتیجه ای مشابه این دوران گردند

  1. مرکز دوران را بیابید.
    من یک روش عالی برای یافتن مرکز یک دوران دارم. در اینجا چگونگی کارکرد آن را می بینید. سه پاره خطی که تصویر پیشین را به نقاط متناظرشان در تصویر متصل می کنند در نظر بگیرید (در این مورد، \(\overline{AA'}\)، \(\overline{BB'}\)، و \(\overline{CC'}\)). در همۀ دوران ها، مرکز دوران در محل تقاطع عمود منصف های این نوع پاره خطها قرار دارد (اگر بخواهم توضیح دهم که چرا اینطور است بسیار پیچیده است، بنابراین صرفاً صحبت بنده را به عنوان یک حرف صحیح بپذیرید.) از آنجا که این سه عمود منصف در نقطۀ یکسانی به همدیگر می رسند، برای یافتن محل تلاقی صرفاً به دو تا از آنها نیاز دارید. هر دو نقطه ای درست کار خواهند کرد، عمود منصف \(\overline{AA'}\) و \(\overline{BB'}\) را بیابید؛ آنگاه می توانید معادلۀ آنها را برابر با یکدیگر قرار دهید تا محل تقاطعشان را بیابید.

    ابتدا نقطۀ میانی \(\overline{AA'}\) را بیابید:
    $$\text{Midpoint}_{\overline{AA'}}=\biggl( \frac{10+(-6)}{2},\frac{-33+39}{2} \biggr)=(2,3)$$
    سپس شیب \(\overline{AA'}\) را بیابید:
    $$\text{Slop}_{\overline{AA'}}=\frac{39-(-33)}{-6-10}=\frac{72}{-16}=-\frac{9}{2}$$
    شیب عمود منصف \(\overline{AA'}\) قرینۀ معکوس \(-\frac{9}{2}\) یعنی \(\frac{2}{9}\) می باشد. از اینرو شکل نقطه-شیب برای عمود منصف بدین سان می باشد:
    $$
    y-3=\frac{2}{9}(x-2) \\
    y=\frac{2}{9}x+\frac{23}{9}
    $$
    با فرایند مشابهی عمود منصف \(\overline{BB'}\) را بیابید:
    $$
    \text{Midpoint}_{\overline{BB'}}=\biggl( \frac{10+(-15)}{2}, \frac{-18+27}{2} \biggr)=\bigl( -\frac{5}{2},\frac{9}{2} \bigr) \\
    \text{Slope}_{\overline{BB'}}=\frac{27-(-18)}{-15-10}=\frac{45}{-25}=-\frac{9}{5}
    $$
    شیب عمود منصف \(\overline{BB'}\) قرینۀ معکوس \(-\frac{9}{5}\) که برابر با \(\frac{5}{9}\) است، می باشد. از اینرو معادلۀ عمود منصف بدین سان است:
    $$
    y-\frac{9}{2}=\frac{5}{9}\biggl( x-(-\frac{5}{2}) \biggr) \\
    y=\frac{5}{9}x+\frac{53}{9}
    $$
    اکنون برای اینکه محل تقاطع این دو عمود منصف را بیابید، سمت راست معادلۀ آنها را برابر با یکدیگر قرار دهید و آن را برای بدست آوردن \(x\) حل کنید:
    $$
    \frac{2}{9}x+\frac{23}{9}=\frac{5}{9}x+\frac{53}{9} \\
    -\frac{3}{9}x=\frac{30}{9}
    $$
    هر دو سمت را در \(9\) ضرب کنید تا از شر کسرها خلاص شوید؛ آن گاه تقسیم کنید:
    $$
    -3x=30 \\
    x=-10
    $$
    \(-10\) را در یکی از دو معادلۀ اصلی عمود منصف ها جایگذاری کنید تا \(y\) را بدست آورید:
    $$
    y=\frac{2}{9}x+\frac{23}{9} \\
    =\frac{2}{9}(-10)+\frac{23}{9} \\
    =\frac{1}{3}
    $$
    شما انجامش دادید. مرکز این دوران برابر با \(\biggl( -10,\frac{1}{3} \biggr)\) می باشد. به این نقطه یک نام تخصیص بدهید ـــ نظرتان در مورد نقطۀ \(Z\) چیست؟

    شکل زیر نقطۀ \(Z\)، \(\angle{AZA'}\)، و اندکی فلش خلاف جهت عقربه های ساعت را که حرکت دورانی انتقال \(\triangle{ABC}\) به \(\triangle{A'B'C'}\) را تعیین می کنند، به شما نشان می دهد. اگر \(Z\) را در جایی که هست نگه دارید و این کتاب را خلاف جهت حرکت عقربه های ساعت بچرخانید، \(\triangle{ABC}\) به جایی که اکنون \(\triangle{A'B'C'}\) قرار دارد، می چرخد.
    دوران در هندسه (rotation)
  2. دو خط بازتاب دهنده که نتیجه ای مشابه این دوران را به انجام می رسانند، پیدا کنید.
    قضیۀ دوران (rotation theorem) بیان می دارد دو خط بازتاب دهنده این دوران را به انجام می رسانند اگر از مرکز دوران عبور کنند و زاویه ای را تشکیل دهنده که نصف اندازۀ زاویۀ دوران باشد (همانطور که پیشتر در شکل 6-19 نشان داده شد). تعداد بی نهایت جفت از خطهای بازتاب دهنده این شرایط را برآورده می کنند، اما در ادامه یک روش ساده برای یافتن یک جفت اینچنینی آمده است.

    در این مسأله، \(\triangle{ABC}\) برخلاف جهت گردش عقربه های ساعت دوران یافته است؛ اندازۀ دوران، یعنی اندازۀ \(\angle{AZA'}\)، برابر با \(143^{\circ}\) درجه است. (این شکل این زاویۀ \(143^{\circ}\) را نشان می دهد، اما در مورد اینکه من چگونه آن را محاسبه کرده ام نگران نباشید. برای محاسبۀ این زاویه به اندکی مثلثات نیاز می باشد که فراتر از محدودۀ این کتاب است؛ از شما خواسته نمی شود تا آن کار را انجام دهید.) شما برای زاویۀ بین دو خط بازتاب دهنده، نیاز به زاویه ای نصف اندازۀ این زاویه دارید. یک روش اینست که \(\angle{AZA'}\) را با نیمساز زاویۀ آن، به دو نیم تقسیم کنید. سپس می توانید از نصف زاویه که از ضلع \(\overleftrightarrow{ZA}\) تا نیمساز زاویه می رود، استفاده کنید.

    یادداشت مترجم: بعد از تکمیل ترجمۀ این کتاب به ترجمۀ یک کتاب کامل دربارۀ مبحث مثلثاث می پردازم که آن کتاب هم همانند سایر کتابها به صورت رایگان از طریق سایت خوش آموز تقدیم شما عزیزان می گردد.

    پس \(\overleftrightarrow{ZA}\) را به عنوان اولین خط بازتاب دهنده تعیین کنید و معادلۀ خط آن را با تعیین شیب آن و جایگذاری این شیب و مختصات \(Z\) یا \(A\) در شکل نقطه-شیب بیابید. اگر این عملیات ریاضی را انجام بدهید و آن را شسته و رفته کنید باید به معادلۀ خط زیر برسید:
    $$y=-\frac{5}{3}x-\frac{49}{3}$$
    دوباره، همراه با \(\overleftrightarrow{ZA}\) به عنوان اولین خط بازتاب دهنده، دومین خط بازتاب دهنده نیمساز \(\angle{AZA'}\) خواهد بود. اما حدس بزنید چی شده ـــ شما هم اکنون این نیمساز زاویه را می شناسید زیرا با عمود منصف \(\overline{AA'}\) برابر است، که شما در بخش \(1\) آن را بدست آوردید:
    $$y=\frac{2}{9}x+\frac{23}{9}$$
    بنابراین اگر \(\triangle{ABC}\) را بر روی \(\overleftrightarrow{ZA}\)، یعنی \(y=-\frac{5}{3}x-\frac{49}{3}\)، بازتاب دهید، و سپس بر روی \(y=\frac{2}{9}x+\frac{23}{9}\) بازتاب دهید، دقیقاً در جایی که \(\triangle{A'B'C'}\) قرار دارد، فرود خواهد آمد. و از اینرو، این دو بازتاب نتیجۀ یکسانی با دوران خلاف جهت گردش عقربه های ساعت پیرامون نقطۀ \(Z\) را به انجام خواهند رساند.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.