خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


ده مسالۀ جالب هندسی

ده مسالۀ جالب هندسی
نویسنده : امیر انصاری
در این فصل، ده مسالۀ معروف هندسی را به شما می گویم که شامل اشخاص هندسی مشهور و غیرمشهور می باشند (ارشمیدس، تسو چانگ چین، کریستف کلمب، ارتوستن، گالیلئو گالیله، باکمینستر فولر، و والتر بئورسفلد). شامل برخی اشیاء روزمره می باشند (توپ های فوتبال، تاج ها، و وان های حمام). شامل برخی دستاوردهای معماری می باشند (پل گلدن گیت، معبد پارتنون، گنبد زمین شناسی، و هرم بزرگ). شامل برخی مسأله های علمی می باشند (محاسبۀ محیط کرۀ زمین و حرکت یک پرتابه). شامل برخی اشیاء هندسی می باشند (سهمی ها، منحنی های زنجیری، و بیست وجهی های بریده). و در پایان شامل مشهورترین عدد در ریاضی، یعنی عدد پی می باشند. بنابراین بفرمایید ـــ این شما و این ده شگفتی از دنیای هندسه.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



یوریکا (Eureka)! کشف ارشمیدس در وان حمام


ارشمیدس (بندر سیراکوس، سیسیل؛ 287-212 قبل از میلاد) به طور گسترده ای به عنوان یکی از چهار یا پنج ریاضیدان تمام دورانها شناخته می شود (کارل فردریش گاوس و اسحاق نیوتون از ستاره های دیگر هستند). او کشف های مهمی در ریاضیات، فیزیک، مهندسی، تاکتیک های نظامی، و ... انجام داده است.

پادشاه سیراکوس (Syracuse)، یک مستعمره از یونان باستان، نگران بود که یک زرگر او را فریب داده باشد. آن پادشاه به آن زرگر مقداری طلا داده بود تا یک تاج پادشاهی بسازد، اما گمان می کرد که آن زرگر مقداری از طلا را برای خودش نگه داشته باشد، و آن را با نقرۀ ارزانتر جایگزین کرده باشد، و تاج را از ترکیب آنها ساخته باشد. با این حال، پادشاه نمی توانست این موضوع را اثبات کند ـــ دست کم تا زمانیکه ارشمیدش با او همراه شد.

ارشمیدس (Archimedes) در مورد این مسأله با پادشاه صحبت کرد، اما او در آن گیر کرد تا اینکه یک روز در وان حمام نشست. همانطور که او در آب می نشست، آب از وان سرازیر شد. ارشمیدس فریاد زد: "یوریکا!" (یوریکا یک واژۀ یونانی به معنای "یافتم" می باشد). در آن لحظه، او دریافت که حجم آبی که جابجا شده است با حجم بدن او برابر است، و کلید حل این مسأله را به او داد. او آنقدر هیجان زده شد که از وان بیرون پرید و نیمه لخت داخل خیابان دوید.

آنچیزی که ارشمیدس کشف کرد، این بود که اگر تاج پادشاه طلای خالص باشد، میزان آبی که جابجا می کند برابر با میزان آبی است که یک تودۀ طلای خالص هم وزن آن جابجا خواهد کرد. اما هنگامی که ارشمیدس و پادشاه تاج را آزمایش کردند، میزان آبی که جابجا شد بیشتر از تودۀ طلای خالص بود. این بدین معنا بود که آن تاج با مواد بیشتری نسبت به طلای خالص ساخته شده بودند، و از اینرو چگالی کمتری داشت. آن زرگر با افزودن مقداری نقره، یک ماده که از طلا سبکتر است، تقلب کرده بود. پرونده حل شد. ارشمیدس با سخاوتمندی پاداش دریافت کرد و آن زرگر نیز سرش را از دست داد.

تعیین عدد پی


عدد پی (\(\pi\)) ـــ نسبت بین محیط یک دایره با قطر آن ـــ با \(3.14159265...\) آغاز می شود و از آنجا تا ابد ادامه می یابد. (داستانی در مورد ریاضیدانان عاشق وجود دارد که یک مسیر طولانی را طی می کنند تا هزاران رقم از عدد پی را با صدایی موزون از حفظ برای همدیگر بخوانند، اما من این رویکرد را پیشنهاد نمی کنم مگر اینکه شما عاشق یکی از این شیفتگان ریاضی شده باشید.)

ارشمیدس، که به وان حمامش شهرت دارد (بخش قبلی را ببینید)، اولین شخصی بود (یا شاید من باید بگویم اولین شخصی که ما می دانیم) که یک تخمین ریاضی از \(\pi\) بدست آورد. روش او استفاده از دو \(96\) ضلعی منتظم بود: یکی درون یک دایره محاط شده بود (که البته، مسلماً، اندکی کوچکتر از دایره می بود) و دیگری پیرامون آن دایره محیط شده بود (که اندکی بزرگتر از آن دایره بود). از اینرو اندازۀ محیط این دایره جایی بین این دو \(96\) ضلعی کوچک و بزرگ بود. با این تکنیک، ارشمیدس کشف کرد که \(\pi\) بین \(3.140\) و \(3.142\) می باشد.

اگرچه محاسبات ارشمیدس نسبتاً دقیق بودند، چینی ها از آن پیشی گرفتند. در پنجمین قرن پس از میلاد، تسو چانگ چین (Tsu Chung-Chin) یک تخمین بسیار دقیق تر از \(\pi\) را بدست آورد: کسر \(\frac{355}{113}\)، که تقریباً برابر با \(3.1415929\) می باشد. این تقریب در حدود \(0.00001\) درصد از \(\pi\) می باشد!

نسبت طلایی (Golden Ratio)


در اینجا مسالۀ معروف هندسی دیگری در ارتباط با یونان باستان داریم. (هنگامی که صحبت از ریاضیات، فیزیک، نجوم، فلسفه، تئاتر، و موارد مشابه به میان می آید، یونانیان باستان مسلماً پیروز واقعی میدان هستند.) یونانی ها در بسیاری از طرح های معماریشان از عددی استفاده می کردند که به آن نسبت طلایی (golden ratio)، یا فی (phi) \((\phi)\) می گفتند، که برابر با \(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\) یا تقریباً برابر با \(1.618\) بود. معبد پارتنون (Parthenon) در آکروپولیس (Acropolis) در آتن یک مثال از آن است. نسبت بین عرض و طول آن برابر با \(\phi:1\) می باشد (شکل 1-22 را ببینید).

ده مسالۀ جالب هندسی
مستطیل طلایی (golden rectangle) مستطیلی با اضلاعی در نسبت \(\phi:1\) می باشد. این مستطیل از این جهت خاص می باشد که هنگامی که آن را به یک مربع و یک مستطیل تقسیم می کنید، مستطیل جدید کوچکتر، همچنان دارای اضلاعی با نسبت \(\phi:1\) می باشد، بنابراین مشابه مستطیل اصلی است (که بدین معناست که دارای شکل یکسانی هستند؛ فصل 14 را ببینید). آن گاه شما می توانید آن مستطیل کوچکتر را به یک مربع و یک مستطیل تقسیم کنید، و سپس می توانید مستطیل بعدی را تقسیم کنید، و به همین ترتیب پیش بروید. شکل 2-22 را ببینید. هنگامی که گوشه های متناظر هر مستطیل مشابه را به یکدیگر متصل می کنید، به یک مارپیچ می رسید که شکلی شبیه پوستۀ مارپیچی حلزون ها دارد ـــ فوق العاده است!

ده مسالۀ جالب هندسی

محیط کرۀ زمین


برخلاف باور رایج، کریستف کلمب (Christopher Columbus) کشف نکرد که زمین گرد است. اراتوستن (Eratosthenes) (276-194 قبل از میلاد) در حدود 1700 سال قبل از کریستف کلمب این موضوع را کشف کرد (شاید سایرینی در زمان باستان نیز این موضوع را درک کرده باشند). اراتوستن سرکتابدار اسکندریه، مصر، مرکز یادگیری در جهان باستان بود. او محیط کرۀ زمین را با روش زیر تخمین زد: او می دانست که در انقلاب تابستانی (summer solstice)، طولانی ترین روز سال، زاویۀ خورشید بر فراز شهر باستانی سایین در مصر (Syene, Egypt) برابر با \(0^{\circ}\) می باشد؛ به عبارت دیگر، خورشید دقیقاً در بالای سر قرار دارد. بنابراین در انقلاب تابستانی، او زاویۀ خورشید بر فراز اسکندریه را با سایۀ حاصل از یک دیرک اندازه گرفت و به یک زاویۀ \(7.2^{\circ}\) درجه رسید. شکل 3-22 چگونگی این کار را نشان می دهد.

ده مسالۀ جالب هندسی
اراتوستن \(360^{\circ}\) را بر \(7.2^{\circ}\) تقسیم کرد و به \(50\) رسید، که به او می گفت فاصلۀ بین سایین و اسکندریه (\(500\) مایل) برابر با \(\frac{1}{50}\) از مجموع مسافت دور کرۀ زمین می باشد. بنابراین او \(500\) را بر \(50\) ضرب کرد و به تخمینش از محیط کرۀ زمین رسید: \(25,000\) مایل. این تخمین فقط \(100\) مایل با محیط اصلی کرۀ زمین که \(24,900\) مایل می باشد، فاصله دارد.

هرم بزرگ خوفو


درست در فاصلۀ \(150\) مایلی اسکندریه هرم بزرگ خوفو در جیزا (Giza)، در مصر، قرار دارد. همچنین به نام هرم بزرگ نیز شناخته می شود، این هرم بزرگترین هرم در جهان می باشد. اما واقعاً چقدر بزرگ است؟ خوب، اضلاع پایه های مربع شکل هرم، هر کدام برابر با \(745\) فوت طول و ارتفاع هرم \(449\) فوت می باشند. برای استفاده از فرمول حجم هرم، \(\text{Volume}=\frac{1}{3}bh\) ، (فصل 18 را ببینید)، شما ابتدا به مساحت قاعدۀ هرم نیاز دارید: \(745 \cdot 745 = 555,025\) فوت مربع. پس، حجم این هرم برابر با \(\frac{1}{3}(555,025)(449)\) یا در حدود \(83,000,000\) فوت مکعب می باشد. این در حدود \(6.5\) میلیون تن سنگ می شود، و این هرم قبل از فرسایش و رسیدن به اندازۀ فعلی، حتی از این هم بزرگتر بوده است.

فاصله تا خط اُفُق


در اینجا مدارک بیشتری داریم که کریستف کلمب نبود که گرد بودن زمین را کشف کرد. اگرچه، بسیاری از افرادیکه در قرن 15 در خُشکی زندگی می کردند تصور می کردند که زمین مسطح است، اما هیچ فرد معقولی که در ساحل دریا زندگی می کرده است احتمالاً این عقیده را نداشته است. چرا؟ زیرا افراد حاضر در ساحل دریا می توانند ببینند که کشتی ها بتدریج که دور می شوند به زیر خط افق سقوط می کنند.

شما می توانید از یک فرمول ساده استفاده کنید تا بدانید خط افق چند مایل از شما فاصله دارد: \(\text{Distance to horizon}=\sqrt{1.5 \cdot \text{ height}}\) ، که در این فرمول height قد شما در واحد فوت بعلاوۀ ارتفاع چیزی که بر روی آن ایستاده اید (یک نردبان، یک کوه، یا هر چیز دیگری) می باشد. اگر شما لب ساحل ایستاده باشید، سپس می توانید فاصله تا افق را به سادگی با تقسیم قدتان بر دو، تخمین بزنید. بنابراین اگر قد شما \(5'6"\) (\(5.5\) فوت) باشد، فاصله تا افق در حدود \(2.75\) مایل خواهد بود!

زمین خیلی سریعتر از آنکه خیلی ها فکر می کنند منحنی می شود. در یک دریاچۀ کوچک ـــ فرضاً با عرض \(2.5\) مایل ـــ در وسط آن دریاچه به دلیل انحنای کرۀ زمین در حدود \(1\) فوت تورم وجود دارد. در برخی اشکال بزرگتر از آب، اگر شرایط برقرار باشد، شما می توانید هنگامی که این تورم میانۀ آب مانع دیدن سمت دیگر ساحل توسط شما می شود، به واقع انحنای کرۀ زمین را مشاهده کنید.

حرکت پرتابه


حرکت پرتابه (Projectile motion) حرکت یک شیء پرتاب شده (توپ بیسبال، گلوله، یا هر چیز دیگر)، همچنان که رو به سمت بالا و بیرون سفر می کند، و سپس توسط جاذبه به پایین کشیده می شود، می باشد. مطالعۀ حرکت پرتابه در طول تاریخ حائز اهمیت بوده است، اما در واقع در قرون وسطی، هنگامیکه مردم توپ ها، منجنیق ها، و ماشین های جنگی مشابه را تولید کردند، این بحث رواج پیدا کرد. سربازان می خواستند بدانند چگونه توپ هایشان را نشانه گیری کنند تا گلوله های توپ آنها به اهداف مورد نظر اصابت کند.

گالیلو گالیله (Galileo Galilei) (1564-1642)، که به اظهار اینکه زمین به دور خورشید می چرخد مشهور است، اولین نفری بود که معمای حرکت پرتابه را حل کرد. او دریافت که پرتابه ها در یک مسیر سهمی وار (parabolic) حرکت می کنند (به عنوان مثال مانند سهمیِ \(y=-\frac{1}{4}x^2+x\)). شکل 4-22 نشان می دهد چگونه یک گلولۀ توپ (اگر در زاویۀ خاصی نشانه گیری شود و با شتاب اولیۀ خاصی شلیک شود) در امتداد این شلجمی مسافرت خواهد کرد.

ده مسالۀ جالب هندسی
بدون در نظر گرفتن مقاومت هوا، یک پرتابه که در زاویۀ \(45^{\circ}\) شلیک شود (دقیقاً نصف یک زاویۀ قائمه) به دورترین مسافت سفر خواهد کرد. با این حال، هنگامی که مقاومت هوا را در نظر بگیرید، بسته به چندین فاکتور فنی، بیشترین مسافت با شلیک سطحی تر در زاویۀ \(30^{\circ}\) یا \(40^{\circ}\) حاصل می گردد.

پل گلدن گیت


پل گلدن گیت برای حدود 30 سال بعد از اتمام آن در سال 1937، بلندترین پل معلق در جهان بود. در سال 2015، صرفاً دوازدهمین پل بود (آن را گوگل کنید تا ببینید الان رتبۀ آن چندم است)، اما هنوز هم یک نماد بین المللی برای شناسایی سان فرانسیسکو می باشد.

اولین مرحله در ساخت یک پل معلق اینست که کابلهای بسیار مستحکمی را بین یک سری از برج ها آویزان کنیم. هنگامی که این کابلها آویزان شدند، به شکل یک منحنی زنجیری (catenary curve) می باشند؛ این همان نوع از منحنی ها می باشد که اگر یک تکه نخ را از انتهای آن بلند کنید و آن را بالا نگه دارید، بدست خواهید آورد. با این حال، برای تکمیل کردن این پل، کابل های آویزان مسلماً باید به بخش جاده ای از پل متصل باشند. خوب، هنگامی که کابل های عمودی هم فاصله برای متصل کردن جاده به کابل منحنی اصلی مورد استفاده قرار می گیرند، شکل کابل اصلی از یک منحنی زنجیری به یک شلجمی اندکی از آن تیزتر تبدیل می شود. (شکل 5-22 را ببینید). وزن اضافی جاده این شکل را تغییر می دهد. خیلی با حال بود، اینطور نیست؟

ده مسالۀ جالب هندسی

گنبد ژئودزیک (Geodesic Dome)


یک گنبد ژئودزیک بسیار شبیه یک کره می باشد، اما در واقع از تعداد بسیار زیادی وجه های مثلثی شکل ساخته شده است که در یک الگوی کروی سازماندهی شده اند. گنبدهای ژئودزیک ساختارهای به شدت قدرتمندی می باشند زیرا الگوی مثلث به هم قفل شده نیرو را به صورت مساوی در امتداد سطح توزیع می کنند ـــ در واقع، آنها محکم ترین نوع سازه در جهان می باشند. همچنین اصول گنبد ژئودزیک در ساختن باکی بال ها (buckyballs)، که ساختارهای کوچک میکروسکوپی تشکیل شده از اتم های کربن می باشند و به شدت قدرتمند هستند، مورد استفاده قرار گرفته است (برخی از آنها از الماس ها هم سخت ترند).

اگر قبلاً در مورد گنبد ژئودزیک شنیده باشید، احتمالاً در مورد باکمینستر فولر (Buckminster Fuller) شنیده اید. فولر گنبد ژئودزیک را در آمریکا ثبت اختراع کرده است و بر اساس این مفهوم به ساختن ساختمان های مشهور ادامه داد. اگرچه، به نظر می رسد که او خودش به این ایده دست یافته باشد، در واقع فولر اولین نفری نیست که یک گنبد ژئودزیک ساخته باشد؛ یک مهندس با نام والتر بئورسفلد (Walter Bauersfeld) قبلاً به این ایده رسیده بود و یک گنبد در آلمان ساخته بود.

یک توپ فوتبال


یک توپ فوتبال یک شکل هندسی جذاب دارد. توپ فوتبال با یک بیست وجهی (icosahedron) آغاز می شود ـــ بیست وجهی یک چند وجهی منتظم است که دارای \(20\) وجه مثلث متساوی الاضلاع می باشد. نگاهی به شکل 6-22 بیندازید.

ده مسالۀ جالب هندسی
در رویۀ یک بیست وجهی، هر رأس یک گروه از پنج مثلث در اطراف خودش دارد. برای رسیدن به یک بیست وجهی بریده شده (truncated icosahedron)، شما این نوک های تیز را می برید، و سپس در جایی که هر نوک قرار داشت، یک پنج ضلعی منتظم بدست می آورید. در همین حال، هر کدام از مثلث های متساوی الاضلاع، به یک شش ضلعی منتظم تبدیل می گردد، زیرا اگر سه گوشۀ یک مثلث را ببرید، آن مثلث سه ضلع جدید بدست می آورد.

اگر حرف مرا باور ندارید، یک توپ فوتبال بردارید و تعداد پنج ضلعی ها و شش ضلعی های آن را بشمارید. شما باید \(12\) پنج ضلعی منتظم و \(20\) شش ضلعی منتظم داشته باشید.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.