مثلثات پاسخ بسیاری از پرسشها در مهندسی، ناوبری، و پزشکی می باشد. اخترشناسان، مهندسان، کشاورزان، و ملوانان باستانی، سیستم نمادین جبر و مثلثات امروزی را برای حل کردن مسأله هایشان در اختیار نداشتند، اما در کارشان موفق بودند و زمینه را برای توسعۀ ریاضیات در آینده آماده کردند. امروزه افراد از مزایای بسیار داشتن روش هایی برای حل کردن معادلات در مثلثات که سریع و کارآمد هستند، بهره می برند؛ اکنون مثلثات شامل تکنیک های خاص و اتحادهایی برای استفاده می باشند ـــ همۀ اینها را مدیون ریاضیدانان قدیمی هستیم که دستگاه هایی را که امروز مورد استفاده قرار می دهیم، ایجاد کرده اند.





روش هایی که شما برای حل کردن معادلات در جبر استفاده می کنید، نسبت به زمانی که از اتحادهای مثلثاتی استفاده می کنید، کاملاً با راه حل های معمول متفاوت می باشند. اتحادها (identities) به طور خلاصه، هم ارزهایی هستند که شما می توانید به منظور ساده سازی، آنها را در معادلات جایگزین کنید. برای اینکه مسائل ساده تر شوند (یا به گفتۀ برخی ها، برای اینکه پیچیده تر شوند)، توابع مثلثاتی متفاوت می توانند به روش های بسیار متفاوتی نوشته شوند. آنها تقریباً دارای شخصیت دوگانه می باشند. هنگامی که مشغول حل کردن معادلات مثلثاتی و اتحادهای مثلثاتی هستید، به نوعی شبیه یک کارآگاه هستید که در مراحل جایگزینی، ساده سازی، و حل کردن مسأله به تدریج پیش می روید. هنگامی که این معادلات را حل می کنید، باید انتظار چه پاسخ هایی را داشته باشید؟ مسلماً، زوایه ها!

به عنوان مثال، یک معادلۀ مثلثاتی را در نظر بگیرید: \(\sin \theta + \cos^2 \theta =1\)

هدف از این مسأله اینست که محاسبه کنید چه زاویه یا زوایایی باید جایگزین \(\theta\) گردند تا این معادله برقرار باشد. در این مورد، اگر \(\theta\) برابر با \(0\) درجه، \(90\) درجه، یا \(180\) درجه باشد، این معادله برقرار می باشد.

اگر در این معادله \(\theta\) را با \(0\) درجه جایگزین کنید، به نتایج زیر می رسید:
$$
\sin 0^{\circ} + (\cos 0^{\circ})^2 = 1 \\
0 + (1)^2 = 1 \\
1=1
$$
اگر در این معادله \(\theta\) را با \(90\) درجه جایگزین کنید، به نتایج زیر می رسید:
$$
\sin 90^{\circ} + (\cos 90^{\circ})^2 = 1 \\
1 + (0)^2 = 1 \\
1=1
$$
با \(180\) درجه چیز مشابهی رخ می دهد و سایر اندازه های زوایا در این معادله درست کار می کنند (در اینجا بی نهایت پاسخ وجود دارد). اما یادتان باشد که نه تنها هر زاویه ای در اینجا درست کار می کند. من به دقت زوایایی را که پاسخ هستند و این معادله را برقرار می سازند، انتخاب کرده ام. برای حل کردن معادلات مثلثاتی مشابه این، شما باید از توابع مثلثاتی معکوس، اتحادهای مثلثاتی، و تکنیک های جبری متنوع استفاده کنید. شما می توانید تمامی جزئیات مربوط به چگونگی استفاده از این فرآیندها را در فصل های 11 تا 16 ببینید. و هنگامی که آن بخش ها را متوجه شدید، وارد فصل 17 که مربوط به حل کردن معادلات می باشد، گردید.

در این مورد خاص، شما نیاز به استفاده از یک اتحاد دارید تا این معادله را برای بدست آوردن تمامی پاسخ های آن حل کنید. شما \(\cos^2 \theta\) را با \(1-\sin^2 \theta\) جایگزین می کنید، به نحویکه تمامی جملات دارای یک سینوس باشند ـــ یا فقط یک عدد. شما در واقع چندین انتخاب دیگر برای تغییر دادن اتحاد \(\cos^2 \theta\) دارید. من گزینۀ \(1-\sin^2 \theta\) را انتخاب کردم، اما برخی از انتخاب های دیگر شامل \(\frac{1}{\sec^2 \theta}\) و \(\frac{1+\cos 2 \theta}{2}\) می باشند. در فصل 17 چگونگی حل معادلاتی شبیه این را فرا می گیرید.

این مثال صرفاً به شما نشان می دهد که اتحاد یک تابع مثلثاتی می تواند یک عبارت را به طور قابل توجهی تغییر بدهد ـــ اما مبتنی بر برخی قوانین بسیار محکم.