خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


محاسبۀ مسافت ها

محاسبۀ مسافت ها
نویسنده : امیر انصاری
طول پاره خط ها و فاصلۀ بین نقاط نقش مهمی در سازماندهی توابع مثلثاتی، ارتباطات، و اتحادها دارند (که در فصلهای 3 و 11 در موردشان بحث خواهم کرد). شما می توانید این طول ها و مسافت ها را نسبتاً آسان محاسبه کنید، زیرا دستگاه مختصات بسیار راحت است.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



محاسبۀ مسافت های عمودی و افقی


هنگامی که مسافت مورد اندازه گیری به صورت عمودی یا افقی باشد، آن گاه محاسبه یک مسالۀ تفریق ساده می باشد. یک مختصات در هر جفت مرتب یکسان می باشد. صرفاً تفاضل بین دو مختصات دیگر را بیابید.

به عنوان مثال، برای یافتن مسافت بین نقاط \((5,2)\) و \((5,6)\) ، \(2\) را از \(6\) تفریق کنید تا به مسافت \(4\) واحدِ بین آنها برسید. این مسافت عمودی می باشد، زیرا هر دوی این نقاط دارای مختصات x یکسانی می باشند، و نقطۀ دوم دقیقاً بالای نقطۀ اول قرار دارد. برای یافتن مسافت بین دو نقطۀ \((5,6)\) و \((5,-3)\) ، \(-3\) را از \(6\) تفریق کنید تا به مسافت \(9\) واحد برسید. همیشه عدد کوچکتر را از عدد بزرگتر تفریق کنید، به نحویکه مسافت بدست آمده عددی مثبت باشد. (فواصل منفی بی معنا هستند؛ از آن گذشته، شما نمی توانید \(-5\) مایل را تا جایی طی کنید.)

روش دیگر برای برخورد کردن با علامت های مختلف این پاسخ ها استفاده از قدر مطلق می باشد ـــ با قدر مطلق ترتیب تفریق اهمیتی نخواهد داشت. به عنوان مثال، مثال قبلی را در نظر بگیرید، که در آن من \(-3\) را از \(6\) تفریق کردم. \(-3\) کوچکتر می باشد، بنابراین تفریق در این ترتیب یک پاسخ مثبت را نتیجه می دهد. جایگزین دیگر اینست که تفریق را در ترتیب معکوس انجام بدهید و قدر مطلق نتیجه را بدست آورید. اگر شما \(-3-6\) را انجام دهید، به \(-9\) می رسید. قدرمطلق \(-9\)، که به صورت \(|-9|\) نوشته می شود، برابر با \(9\) می باشد.

مسافت های افقی نیز به روش مشابهی کار می کنند. در شکل 3-2، شما می توانید فاصلۀ افقی بین دو نقطه را ببینید. برای یافتن فاصلۀ بین دو نقطۀ \((-8,2)\) و \((5,2)\) ، صرفاً تفاضل بین \(-8\) و \(5\) را بیابید، زیرا مختصات y آنها یکسان می باشند. عدد کوچکتر \(-8\) می باشد، بنابراین با تفریق \(5-(-8)\) ، پاسخ برابر با \(13\) واحد خواهد بود. تقریق را در ترتیب دیگر انجام بدهید و از قدرمطلق استفاده کنید، به نتیجۀ \(-8-5=-13\) ، و \(|-13|=13\) می رسید. شما همچنین می توانید فاصلۀ عمودی بین دو نقطۀ \((5,6)\) و \((5,2)\) را در شکل 3-2 ببینید. این مسأله از حساب ساده استفاده می کند. تفاضل بین \(6\) و \(2\) برابر با \(4\) می باشد.

محاسبۀ فاصله ها
یافتن مسافت بین جفتی از نقاط عمودی یا افقی، \((x_1,y_1)\) و \((x_2,y_2)\) ، آسان می باشد:

  • مسافت عمودی (مختصات x ها یکسان هستند) برابر با \(|y_1-y_2|\) می باشد.
  • مسافت افقی (مختصات y ها یکسان هستند) برابر با \(|x_1-x_2|\) می باشد.

مسافت های مورب


گاهی اوقات مسافت ها یا طول هایی که می خواهید تعیین کنید بر روی یک شیب می باشند ـــ به صورت مورب از یک نقطه تا نقطه ای دیگر می روند. فرمول تعیین این مسافت ها مبتنی بر قضیۀ فیثاغورث می باشد.

قضیۀ فیثاغورث (Pythagorean theorem)


در زمان های خیلی دور، فیثاغورث ارتباطی را بین اضلاع هر مثلث قائم الزاویه (right triangle) کشف کرد، که همانطور که شکل 4-2 نشان می دهد، در آن یکی از زوایا برابر با \(90^{\circ}\) می باشد.

محاسبۀ مسافت ها
فیثاغورث دریافت که اگر \(a\) و \(b\) طول اضلاع کوتاهتر یک مثلث قائم الزاویه باشند، و \(c\) طول وتر (hypotenuse) آن باشد (وتر ضلعی است که روبروی آن زاویۀ قائمه قرار دارد)، آن گاه رابطۀ \(a^2+b^2=c^2\) را داریم. شما می توانید از این فرمول برای بدست آوردن مسافت مورب بین دو نقطه بر روی یک نمودار استفاده کنید، زیرا یافتن مسافت های افقی و عمودی که اضلاع این مثلث می باشند، بر روی دستگاه مختصات آسان می باشد.

تعیین مسافت های مورب (diagonal distances)

.

با استفاده از قضیۀ فیثاغورث، که برای بدست آوردن \(c\) ، طول وتر در یک مثلث قائم الزاویه، حل شده باشد، خواهید داشت:
$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$
اگر طول \(a\) مسافت افقی باشد، آن گاه شما این مسافت را با تفریق مختصات های \(x\) بدست می آورید؛ اگر طول \(b\) مسافت عمودی باشد، آن را با تفریق مختصات های \(y\) بدست می آورید.

برای رسیدن به یک فرمول مسافت عمومی، به سادگی تفاضل بین مقادیر \(x\) و مقادیر \(y\) را جایگزین \(a\) و \(b\) در قضیۀ فیثاغورث کنید، و از متغیر \(d\) (که مخفف distance به معنای مسافت است) به جای \(c\) استفاده کنید.

مسافت، \(d\) ، بین دو نقطۀ \((x_1,y_1)\) و \((x_2,y_2)\) برابر است با:
$$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$$

به عنوان مثال، برای یافتن مسافت بین نقاط \((3,-4)\) و \((-2,5)\) این مراحل را دنبال کنید:

  1. \(x_1\) و \(x_2\) را با \(3\) و \(-2\) جایگزین کنید. \(y_1\) و \(y_2\) را با \(-4\) و \(5\) جایگزین کنید. $$d=\sqrt{(3-(-2))^2 + (-4-5)^2}$$
  2. مختصات ها را تفریق کنید. $$=\sqrt{5^2+(-9)^2}$$
  3. نتایج را با یکدیگر جمع بزنید و اگر شدنی باشد جذر را بیابید. $$=\sqrt{25+81}=\sqrt{106}$$

در مثال پیشین، عدد زیر رادیکال یک مربع کامل نمی باشد. شما هم می توانید این پاسخ را با نماد رادیکال رها کنید و هم می توانید یک تقریب اعشاری (بخش بعدی را ببینید) بدست آورید. مسافت در این مثال، تا سه رقم اعشار، برابر با \(10.296\) واحد می باشد.

هنگامی که فاصلۀ بین دو نقطه را محاسبه می کنید، مهم نیست که در چه ترتیبی این نقاط را از یکدیگر تفریق کنید، مشروط بر اینکه \(x\) را از \(x\) و \(y\) را از \(y\) تفریق کنید. به هرحال، مربع کردن این تفاضل ها همواره نتیجه اش عددی مثبت خواهد بود.

استفاده از مقادیر دقیق یا مسافت های تخمینی


محاسبۀ مسافت بین دو نقطه اغلب شما را با جذر عددی که مربع کامل نمی باشد تنها می گذارد؛ این نوع از پاسخ یک عدد اصم (irrational number) نامیده می شود. نوشتن این عدد با نماد جذر، به عنوان مثال، \(\sqrt{47}\)، نوشتن مقدار دقیق (exact value) مسافت، در نظر گرفته می شود. استفاده از یک ماشین حساب برای یافتن یک تقریب اعشاری یک پاسخ دقیق را به شما نمی دهد، زیرا این مقادیر اعشاری تا ابد و ابد ادامه می یابند و هرگز یک الگو را تکرار نمی کنند. از آنجا که مقادیر اعشاری همواره تخمینی می باشند، ریاضیدانان اغلب اصرار دارند که پاسخ را به شکل مقادیر دقیق باقی بگذارند، یعنی به جای اعداد اعشاری، آن را با نماد جذر کامل کنند.

با وجود اینکه مقادیر دقیق صحیحتر می باشند، در وضعیت های عملی استفاده از تخمین های اعشاریِ مقادیر رادیکال سودمندتر است. اگر شما مسأله ای را برای بدست آوردن ارتفاع یک ساختمان حل کنید و به \(\sqrt{183}\) برسید، با یافتن تخمین اعشاری آن درک بهتری از این ارتفاع خواهید داشت. یک ماشین حساب علمی به شما می گوید که \(\sqrt{183}\) تقریباً برابر با \(13.52774926...\) می باشد، ماشین حسابهای مختلف ممکن است مقادیر اعشاری کمتر یا بیشتری را نسبت به آنچه که من در اینجا نوشته ام، به شما نشان بدهند. معمولاً، دو یا سه رقم اعشاری کافی خواهد بود. با گرد کردن این عدد تا دو رقم اعشار، به \(13.53\) می رسید. با گرد کردن آن تا سه رقم اعشار، به \(13.528\) می رسید. (برای اطلاعات بیشتر در مورد گرد کردن به فصل 1 مراجعه کنید.)




نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.