دایره ای که شما بیشتر در مثلثات استفاده می کنید دارای مرکزی در مبدأ مختصات و شعاع \(1\) می باشد، و به آن دایرۀ واحد (unit circle) می گویند. این شعاع \(1\) در یک دایره، هنگامی که در نهایت \(1\) در مخرج یک کسر قرار می گیرد، محاسبات را بسیار ساده تر می کند. در مثلثات، کسرها و دایره ها به نوعی در هم آمیخته شده اند ـــ البته به روشی خوب. اما شما همچنین دایره های بسیار سودمند دیگری را هم دارید که می توانید در نظر بگیرید. دایره های دیگر دارای شعاع ها و مرکز های متفاوتی می باشند، اما هر کدام کاربردهای خاص خودشان را دارند. با این حال، هر گاه که میسر باشد، دایرۀ واحد، دایرۀ مورد انتخاب می باشد.

قرار دادن مرکز دایره ها در مبدأ

دو ویژگی که یک دایره را تعریف می کنند مرکز آن و شعاع آن می باشد. مرکز به شما می گوید آن دایره در کجای نمودار قرار گرفته است؛ شعاع می گوید این دایره چقدر بزرگ است. این موقعیت به لحاظ مختصات ها در صفحۀ مختصات می باشند، و آن اعداد منجر به معادلۀ آن دایره می شوند. مقادیر متغیرهای \(x\) و \(y\) نشان دهندۀ مختصات های تمامی نقاطی که بر روی دایرۀ واقعی قرار گرفته اند، می باشد. شکل استانداردِ معادلۀ دایره ای که در مبدأ قرار گرفته است برابر با \(x^2+y^2=r^2\) می باشد، که در آن \(r\) نشان دهندۀ شعاع این دایره می باشد. بنابراین معادلات دایره ها با شعاع \(2\)، \(3\) ، \(4\)، و \(5\)، به ترتیب عبارت از \(x^2+y^2=4\)، \(x^2+y^2=9\)، \(x^2+y^2=16\)، و \(x^2+y^2=25\) می باشند.

به همین ترتیب یک دایره با شعاع \(1\) دارای معادلۀ \(x^2+y^2=1\) می باشد. این دایرۀ واحد به طور گسترده ای در ریاضیات مورد استفاده قرار می گیرد: این شعاع \(1\) برای فرمول تبدیل درجه ها به رادیان ها بسیار مناسب است، هنگام یافتن طول کمان شسته و رفته و زیبا است، و دایرۀ واحد را برای استفاده در اثبات ویژگی ها یا قضایای ریاضی تبدیل به ساده ترین روش می سازد.

مرکزهای سرگردان

دایره ها مجبور نیستند که دارای مرکزی در مبدأ مختصات باشند. شکل استاندارد معادلۀ دایره ای که شعاع آن \(r\) می باشد و مرکز آن در \((h,k)\) قرار دارد، برابر با \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\) می باشد، که در آن \(x\) و \(y\) نشان دهندۀ مختصات های تمامی نقاط قرار گرفته بر روی محیط آن دایره می باشند. بنابراین، معادلۀ دایره ای که مرکز آن در \((3,-2)\) قرار دارد و شعاع آن \(9\) می باشد، برابر با \((x-3)^2+(y+2)^2=81\) می باشد.