بدون مواجهه با قواعد، الگوها، عملیات ها، یا ارتباطات بین مفاهیمی که مشغول بحث روی آن هستید، شما نمی توانید در هر بحث ریاضی خیلی پیش بروید. یک موضوع عمومی در ریاضی ارتباط بین برخی از مقادیر می باشد (معمولاً مقادیر ورودی و خروجی نامیده می شوند)، که به ترتیب، مقادیری که با آنها کار را آغاز کرده اید و مقادیری که در نهایت به آنها رسیده اید می باشند. توابع (Functions) نوع بسیار خاصی از ارتباطات می باشند که از مقادیر ورودی (input values) و مقادیر خروجی (output values) استفاده می کنند، نقشی مهم در مثلثات بازی می کنند. خوب، چه چیزی یک رابطه (relation) را از یک تابع (function) متمایز می کند، و چرا باید به آن اهمیت بدهید؟ این تمایز در تمامی ریاضیات و نه فقط در مثلثات، حائز اهمیت می باشد.

ارتباطات در مقایسه با توابع

یک رابطه (relation) در ریاضیات یک قاعده است که برخی خروجی ها را به ازاء هر ورودی داده شده، ایجاد می کند. این ورودی (input) مقداری است که به جای یک متغیر وارد می کنید، و این خروجی (output) نتیجه یا نتایجی می باشد که با انجام عملیات آن رابطه، بدست می آورید. هر رابطه یک قاعده، یا عبارت دارد، که معمولاً شامل عملیات های ریاضی همچون جمع، تفریق، جذر، و به همین ترتیب می باشد. به عنوان مثال، شما ممکن است با یک رابطه مواجه شوید که وقتی در آن \(25\) را به جای یک متغیر وارد می کنید، به دو خروجی همچون \(24\) و \(27\) برسید. قاعدۀ آن رابطه می تواند این باشد که شما عددی را در آن وارد کنید و دو عدد را از آن بدست آورید که نزدیکترین مضرب های \(3\) به عدد ورودی باشند. این رابطه بیش از یک مقدار خروجی دارد، که الزاماً چیز خوبی نیست؛ در ریاضی، بیشتر همیشه به معنای بهتر نمی باشد.

به هر حال، یک تابع (function)، نوع خاصی از رابطه می باشد. برای جزئیات بیشتر ادامۀ مطالب را بخوانید.

تابع (Function)

یک تابع در ریاضیات یک قاعده است که عملیات ها و فرآیندهایی را بر روی مقادیر ورودی انجام می دهد که نتیجۀ آن یک مقدار خروجی واحد و منحصر به فرد می باشد ـــ تنها یک خروجی به ازاء هر ورودی. به عنوان مثال، تابعی را در نظر بگیرید که ورودی آن عدد \(25\) و خروجی آن عدد \(5\) باشد. اکنون برای رسیدن به نتیجۀ \(5\) بعد از اینکه \(25\) را به جای یک متغیر، در آن وارد کردید، چندین راه دارید: شما می توانید جذر آن عدد را بگیرید یا \(20\) را از آن تفریق کنید. اما مهمترین تاکید در اینجا بر روی اینست که این تابع تنها یک پاسخ یا مقدار خروجی دارد.

تابعی را در نظر بگیرید که از یک رادیکال (یک ریشه) استفاده می کند. \(25\) را در آن وارد کنید، و آن تابع اینگونه خواهد بود: \(\sqrt{25}\) . خروجی آن یک مقدار واحد \(5\) خواهد بود. تابع دیگر اینست که ورودی را مربع سازد، نتیجه را در \(2\) ضرب کند، و سپس \(3\) را از آن تفریق کند؛ این تابع می تواند به شکل \(2x^2-3\) نوشته شود. اگر \(8\) را در آن وارد کنید، آن گاه به \(2(8)^2-3=2(64)-3=128-3=125\) می رسید. مثالهای پیشین از توابع از عملیات های سادۀ جبری استفاده می کنند. اما من اینجا می خواهم به شما بگویم که یک نوع کامل از توابع که توابع مثلثاتی (trigonometric functions) نامیده می شوند، نیز وجود دارند. به همین دلیل هم هست که این کتاب را مطالعه می کنید! یکی از این توابع مثلثاتی سینوس نامیده می شود. اگر سینوس \(30\) درجه را محاسبه کنید، به نتیجۀ \(\sin 30=\frac{1}{2}\) می رسید. از آنجایی که سینوس یک تابع است، \(\frac{1}{2}\) تنها مقدار خروجی آن می باشد. ممکن است بدیهی یا غیرضروری به نظر برسد که من اینقدر روی تنها یک خروجی تاکید می کنم، اما وجود تنها یک خروجی به ازاء هر ورودی، در مثلثات بسیار مهم می باشد ـــ در غیر اینصورت، شما به هرج و مرج می رسید!

استفاده از نماد تابع

تعریف یک تابع یا توصیف اینکه چگونه کار می کند می تواند شامل تعداد زیادی کلمات گردد و می تواند نسبتاً طولانی و مشکل گردد. فرض کنید مجبور به نوشتن این باشید: "ورودی را مربع سازید، نتیجۀ آن را در \(2\) ضرب کنید، و سپس \(3\) را از آن تفریق کنید." ریاضیدانان خیلی کارآمد هستند، و آنها ترجیح می دهند از یک روش دقیقتر و سریعتر برای نوشتن دستوراتشان استفاده کنند. نماد تابع دقیقاً همین است.

قبل از هر چیر، به صورت عمومی توابع را با حروف الفبا نامگذاری می کنند ـــ پرکاربردترین حرف الفبا برای این منظور، حرف \(f\) می باشد. (من به شما گفتم که ریاضیدانان کارآمد هستند، اما الزاماً مبتکر و خلاق نیستند.) اگر من بخواهم تابع \(f\) قاعده ای برای مربع کردن یک عدد، ضرب کردن نتیجۀ آن در \(2\)، و سپس تفریق \(3\) از آن باشد، این تابع را اینگونه می نویسم: \(f(x)=2x^2-3\) . شما این تابع را اینگونه می خوانید:"افِ ایکس برابر است با دو برابر مربع ایکس منهای سه." \(x\) یک متغیر می باشد ـــ در این مورد، متغیر ورودی. هر چیزی که در داخل پرانتزهای بعد از \(f\) قرار دهید، جایگزین هر \(x\) در این قاعده می گردد. در اولین معادله که در ادامه آمده است، یک \(8\) جایگزین \(x\) می گردد. در معادلۀ دوم، یک \(-4\) جایگزین \(x\) می گردد. هربار، این تابع فقط یک پاسخ تولید می کند:
$$
f(8)=2(8)^2-3=128-3=125 \\
f(-4)=2(-4)^2-3=32-3=29
$$
با این حال، احساس نکنید که محدود به \(f\) هستید. شما می توانید از سایر حروف الفبا برای نامگذاری توابع و متغیرهای ورودی استفاده کنید. گاهی اوقات شما از حروفی استفاده می کنید که نشان دهندۀ چیزی که در جریان است، یا دلیلی که فرمول را برای آن استفاده می کنید، می باشند، مانند یافتن مساحت (area)، بهره (interest)، یا هزینه (cost):
$$
A(r)=\pi r^2 \\
I(t)=1,000 e^{0.04t} \\
C(x)=-0.04x^2 + 8x+100
$$
و البته، شما توابع مثلثاتی را دارید. برخی از توابع مثلثاتی شامل سینوس (sine)، کسینوس (cosine)، و سکانت (secant) اینها می باشند:
$$
p(x)=\sin x + \cos x \\
c(\theta)=\frac{1}{\sec \theta}
$$

تعیین دامنه (domain) و بُرد (range)

یک تابع عبارت از یک قاعده است که بر روی مقادیر ورودی به کار می برید. نتیجۀ آن یک مقدار واحد خروجی می باشد. شما معمولاً می توانید تعداد فراوانی از مقادیر ورودی را استفاده کنید، و همۀ آنها بخشی از دامنۀ یک تابع می باشند. این مقادیر خروجی، بُرد آن تابع را می سازند.

دامنۀ یک تابع

دامنۀ یک تابع عبارت از تمامی مقادیری می باشد که شما می توانید به عنوان ورودی در آن تابع مورد استفاده قرار دهید. دامنه یکی دیگر از ویژگیهای تابع می باشد، زیرا توابع مختلف دارای اعداد مختلفی می باشند که شما می توانید وارد آنها کنید تا به خروجی های معناداری برسید.

به عنوان مثال، \(f(x)=\sqrt{x}\) یک تابع است که دامنۀ آن نمی تواند شامل اعداد منفی باشد، زیرا جذر یک عدد منفی، عددی حقیقی نمی باشد.

تابع \(g(x)=\frac{4}{x+3}\) دارای دامنه ای می باشد که نمی تواند شامل عدد \(-3\) باشد. هر عدد حقیقی دیگر مشکلی ندارد، اما \(-3\) نه، زیرا قرار دادن \(-3\) به جای \(x\) منجر می شود تا مخرج این کسر برابر با صفر گردد، و شما نمی توانید عددی را بر \(0\) تقسیم کنید. (یک کسر با یک \(0\) در مخرج آن نشان دهندۀ یک عدد است که وجود ندارد.) در توابع مثلثاتی، دامنه (مقادیر ورودی) اندازۀ زوایا می باشد ـــ در واحد درجه یا رادیان. برخی از توابع مثلثاتی نیز دارای محدودیت هایی در دامنه هایشان می باشند. به عنوان مثال، تابع تانژانت (tangent) دارای دامنه ای می باشد که نمی تواند شامل \(90\) درجه یا \(270\) درجه باشد، همراه با بسیاری محدودیت های دیگر بر روی این مقادیر ورودی. (در مورد این دامنه ها به تفصیل در فصل 7 بحث خواهم نمود.)

برد یک تابع

برد یک تابع عبارت از تمامی مقادیر خروجی آن می باشد ـــ اعدادی که بعد از قرار دادن مقادیر ورودی از دامنه در آن تابع و انجام عملیات آن تابع بر روی آنها، بدست می آورید. گاهی اوقات، یک برد می تواند تمامی اعداد حقیقی ممکن باشد ـــ هیچ محدودیتی نداشته باشد. این وضعیت در تابعی همچون \(h(x)=3x+2\) پیش می آید. در این وضعیت، هم دامنه و هم برد نامحدود می باشند. شما می توانید هر عدد حقیقی را در این تابع قرار دهید و می توانید هر عدد حقیقی که فکر کردن به آن ممکن باشد را از آن تابع بدست آورید. با این حال، بردها می توانند به نتایج محدودی برسند. به عنوان مثال، تابع \(k(x)=x^2+6\) همواره منجر به نتایجی می گردد که برابر با عدد \(6\) یا اعداد مثبت بزرگتر از \(6\) می باشند. شما هرگز نمی توانید یک عدد منفی یا عددی کوچکتر از \(6\) را به عنوان خروجی این تابع بدست آورید. برد برخی از توابع مثلثاتی نیز محدود می باشند. به عنوان مثال، خروجی تابع سینوس (sine) هرگز نمی تواند از \(1\) فراتر رود یا از \(-1\) پایینتر باشد. (در فصل 7 به تفصیل در این مورد بحث خواهم کرد.)