خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


رادیان چیست؟ (Radian)

رادیان چیست؟ (Radian)
نویسنده : امیر انصاری
آشنایی اولیۀ یک شخص با زوایا معمولاً به لحاظ درجه ها می باشد. شما احتمالاً در مورد اینکه یک زاویۀ \(30\) درجه شبیه چه می باشد، ایده ای دارید. (اگر اینطور نیست، فصل 4 را مرور کنید.) و حتی بیشترِ دانش آموزان دوران راهنمایی نیز می دانند که یک مثلث شامل \(180\) درجه می باشد. اما بیشتر جوامع علمی از رادیان ها (radians) برای اندازه گیری زوایا و حل کردن معادلات مثلثاتی استفاده می کنند. چرا به رادیان ها تبدیل می کنیم؟ چرا سری را که درد نمی کند، دستمال می بندیم؟ ادامۀ مطلب را بخوانید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



یک رادیان چیست؟


یک رادیان بسیار بزرگتر از یک درجه است. ریاضیدانان اولیه برای اندازۀ یک درجه بر اساس تقسیمات یک دایرۀ کامل تصمیم گیری کردند. یک درجه با یک تکۀ \(\frac{1}{360}\) از یک دایره یکسان است. هیچ کس با قطعیت نمی داند که انتخاب \(360\) درجه در یک دایره از کجا آغاز شده است. در هر صورت، \(360\) یک عدد فوق العاده است، زیرا شما می توانید آن را به صورت مساوی بر روی اعداد زیاد دیگری تقسیم کنید:
$$ 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360$$
اندازه های اولیۀ زمان و مسافت، بر داشتن اعدادی که بتوان به راحتی با آنها کار کرد، تکیه کرده اند. از سوی دیگر، یک رادیان به این قشنگی نیست. حتی یک عدد گویا نیز نیست. رادیان ها احتمالاً به این دلیل ایجاد شده اند که ریاضیدانان می خواسته اند اندازۀ زاویه را بیشتر به شعاع یا اندازۀ آن دایره مرتبط کنند. یک دایره دارای \(2 \pi\) رادیان می باشد (اندکی بیش از شش رادیان). یک رادیان تقریباً \(\frac{1}{6}\) یک دایره است ـــ اندکی بیش از \(57\) درجه. شکل 1-5 یک درجه را با یک رادیان مقایسه می کند.

رادیان چیست؟ (Radian)

مرتبط بودن به یک دایره


مزیت بزرگ استفاده از رادیان ها اینست که آنها اندازه گیری طبیعی برای تقسیم دایره ها می باشند. تصور کنید شعاع یک دایره را بگیرید و آن را به شکل یک کمان در بیاورید (آن را خم کنید) که در امتداد محیط دایره قرار بگیرد. اکنون شعاع هایی را از مرکز به هر دو انتهای آن کمان که توسط شعاع ساخته شده است، ترسیم کنید. زاویه ای که از آن شعاع ها تشکیل شده است به اندازۀ یک رادیان می باشد. شما به اندکی بیش از شش تا از این کمان ها نیاز دارید تا کل پیرامون آن دایره را بپیمایید. این واقعیت در مورد تمامی دایره ها صدق می کند. محیط هر دایره همواره اندکی بیش از سه برابر قطر آن دایره می باشد ـــ اگر بخواهیم دقیق باشیم، \(\pi\) ضربدر قطر. روش دیگر برای گفتن این مطلب اینست که بگوییم \(2\pi\) ضربدر شعاع. این عدد ممکن است از عدد بزرگتر \(360\) زیباتر و متمدن تر به نظر آید، اما عیب آن این می باشد که \(\pi\) دارای یک مقدار اعشاری دقیق نمی باشد. گفتن \(2\pi\) رادیان (که برابر با \(360\) درجه است) بدین معناست که هر دایره در حدود \(6.28\) رادیان می باشد. با وجود اینکه رادیان ها اندازۀ طبیعی می باشند و همواره به شعاع و قطر آن مرتبطند، مقدار اعشاری آنها اندکی درهم برهم است.

هر کدام از این اندازه ها جایگاه خودش را دارد. اندازه گیری زوایا در درجه ها ساده تر است، اما اندازه گیری زوایا در رادیان ها در هنگام محاسبات، ترجیح داده می شود. از آنجا که شعاع، محیط، یا مساحت آن دایره درگیر می شود، رادیان دقیقتر است. با وجود اینکه \(\pi\) یک مقدار دقیق ندارد، هنگامی که مضرب هایی از \(\pi\) را در پاسخ هایتان استفاده می کنید، آنها دقیقاً درست هستند. در ادامۀ همین فصل، مثالی از استفاده از \(\pi\) به عنوان بخشی از یک پاسخ را نشان می دهم.

تبدیل درجه ها و رادیان ها


بسیاری از مسأله های ریاضی، نیاز به تغییر از اندازۀ درجه به رادیان یا برعکس دارند. شما معمولاً محاسبات ریاضی را در واحد رادیان انجام می دهید، اما بعد از آن پاسخ نهایی را به درجه تبدیل می کنید تا تجسم و درک آن آسانتر گردد. شما از یک تناسب کوچک عالی برای تبدیل درجه به رادیان یا رادیان به درجه استفاده می کنید. در این تناسب، حرف یونانی، \(\theta\)، نشان دهندۀ نام آن زاویه می باشد. قرار دادن بالانویس \(^{\circ}\) و \(^R\) بر روی \(\theta\) به ترتیب بدین معناست که آن زاویه در واحد درجه و رادیان می باشد.
$$\frac{\theta^{\circ}}{180} = \frac{\theta^R}{\pi}$$
نکات فنی: این تناسب اینگونه خوانده می شود: "اندازۀ زاویۀ \(\theta\) در واحد درجه تقسیم بر \(180\) برابر است با اندازۀ زاویۀ \(\theta\) در واحد رادیان تقسیم بر \(\pi\)." (یادتان باشد که \(\pi\) در حدود \(3.141592654\) می باشد.)

محاسبات مورد نیاز برای تبدیل درجه به رادیان و رادیان به درجه سخت نیست. با این حال این محاسبات شامل چند ترفند می باشند، و قالب حائز اهمیت می باشد. شما معمولاً اندازۀ رادیان را با مقادیر اعشاری نمی نویسید مگر اینکه آن را در معادل اعشاری \(\pi\) ضرب کرده باشید.

تبدیل درجه به رادیان


برای تبدیل یک اندازه در واحد درجه به رادیان، با تناسب اصلیِ اندازۀ زوایای معادل آغاز کنید: \(\frac{\theta^{\circ}}{180} = \frac{\theta^R}{\pi}\) .

به عنوان مثال، در اینجا چگونگی تبدیل یک اندازۀ \(40\) درجه به رادیان را می بینید:

  1. در این تناسب \(40\) را جایگزین \(\theta^{\circ}\) کنید. $$\frac{40}{180}=\frac{\theta^R}{\pi}$$
  2. کسر سمت چپ را کاهش دهید. $$\require{cancel}
    \frac{^2 \cancel{40}}{^9 \cancel{80}} = \frac{2}{9}=\frac{\theta^R}{\pi}$$
  3. هر دو سمت این تناسب را در \(\pi\) ضرب کنید. $$\pi \cdot \frac{2}{9} = \frac{\theta^R}{\pi} \cdot \pi$$
  4. این عملیات را ساده سازی کنید. $$\require{cancel}
    \pi \cdot \frac{2}{9} = \frac{\theta^R}{\cancel{\pi}} \cdot \cancel{\pi} \\
    \frac{2\pi}{9}=\theta^R$$

این مثال نشان می دهد که \(40\) درجه برابر است با \(\frac{2\pi}{9}\) رادیان. شما این اندازۀ رادیان را به شکل یک کسر که به پایینترین جملات ممکن کاهش یافته است، رها می کنید.

مثال دیگری را بررسی کنید: اندازۀ یک زاویۀ \(-36\) درجه را به رادیان تغییر دهید.

  1. \(-36\) را در تناسب مربوطه، جایگزین \(\theta^{\circ}\) کنید. $$\frac{-36}{180}=\frac{\theta^R}{\pi}$$
  2. کسر سمت چپ را کاهش دهید. $$\require{cancel}
    \frac{^{-1}\cancel{36}}{^5\cancel{180}}=-\frac{1}{5}=\frac{\theta^R}{\pi}$$
  3. هر دو سمت این تناسب را در \(\pi\) ضرب کنید. $$\pi \cdot \biggl( -\frac{1}{5} \biggr)=\frac{\theta^R}{\pi} \cdot \pi$$
  4. این عملیات را ساده سازی کنید. $$\pi \cdot \biggl( -\frac{1}{5} \biggr) = \frac{\theta^R}{\cancel{\pi}} \cdot \cancel{\pi} \\
    -\frac{\pi}{5} = \theta^R$$

بنابراین، می بینید که \(-36\) در واحد درجه برابر با \(-\frac{\pi}{5}\) در واحد رادیان می باشد. منفی بودن یک زاویۀ اشکالی ندارد (برای اطلاعات بیشتر در مورد زوایای منفی، فصل 4 را ببینید). شما این عبارت را به شکل یک کسر رها می کنید؛ آن را به شکل اعشاری تغییر ندهید.

تبدیل رادیان به درجه


شما از همان تناسب پایه ای که برای تبدیل درجه به رادیان استفاده کردید، برای تبدیل رادیان به درجه نیز استفاده می کنید.

به عنوان مثال، برای تبدیل \(\frac{\pi}{12}\) رادیان به یک اندازۀ درجه، مراحل زیر را انجام می دهید:

  1. اندازۀ رادیان را در تناسب مربوطه، جایگزین \(\theta^R\) کنید. $$\frac{\theta^{\circ}}{180} = \frac{\frac{\pi}{12}}{\pi}$$
  2. کسر پیچیدۀ سمت راست را با ضرب کردن صورت آن در معکوس مخرج آن ساده سازی کنید. $$\require{cancel}
    \frac{\theta^{\circ}}{180} = \frac{\cancel{\pi}}{12} \cdot \frac{1}{\cancel{\pi}} \\
    \frac{\theta^{\circ}}{180} = \frac{1}{12}$$
  3. هر دو سمت این تناسب را در \(180\) ضرب کنید. $$180 \cdot \frac{\theta^{\circ}}{180} = \frac{1}{12} \cdot 180$$
  4. کسر سمت راست را کاهش داده و ساده کنید. $$\require{cancel}
    \cancel{180} \cdot \frac{\theta^{\circ}}{\cancel{180}} = \frac{1}{^1\cancel{12}} \cdot \cancel{180}^{15} \\
    \theta^{\circ} = 15$$
پس، \(\frac{\pi}{12}\) رادیان برابر با \(15\) درجه می باشد.

در اینجا مثال دیگری داریم: \(1.309\) رادیان را به درجه تبدیل کنید.

من این اندازۀ رادیان را با ضرب کردن آن در معادل اعشاری \(\pi\)، که تقریباً برابر با \(3.1416\) می باشد، به یک عدد اعشاری تبدیل کرده ام. شما از همین معادل اعشاری برای حل کردن این مسأله استفاده می کنید.

  1. اندازۀ رادیان را در تناسب مربوطه، جایگزین \(\theta^R\) کنید. $$\frac{\theta^{\circ}}{180} = \frac{1.309}{\pi}$$
  2. \(\pi\) را به معادل اعشاری اش تغییر دهید. در این مورد، من از چهار مرتبۀ اعشاری استفاده کرده ام. $$\frac{\theta^{\circ}}{180} = \frac{1.309}{3.1416}$$
  3. هر سمت از این تناسب را در \(180\) ضرب کنید. $$180 \cdot \frac{\theta^{\circ}}{180} = \frac{1.309}{3.1416} \cdot 180$$
  4. این کسرها را کاهش دهید، و مقدار سمت راست را ساده کنید. $$\require{cancel}
    \cancel{180} \cdot \frac{\theta^{\circ}}{\cancel{180}} = \frac{1.309}{3.1416} \cdot 180 \\
    \theta^{\circ} = \frac{235.62}{3.1416}=75$$
این نتیجه به شکل عددی زیبا ظاهر می شود. با این حال، گاهی اوقات، شما یک پاسخ اعشاری برای واحد درجه خواهید داشت. در واقع، بیشتر از برخی اوقات، به عددی اعشاری می رسید ـــ معمولاً اینطور است.

زوایای سوگلی (favorite)


زوایای سوگلی یا زوایای پرکابرد آنهایی هستند که مضرب هایی از \(15\) درجه می باشند، مانند \(30\)، \(45\)، \(60\)، و \(90\) درجه. قرار دادن این زوایا در تناسب مربوط به تبدیل درجه به رادیان مجموعۀ زیبایی از زوایا در واحد رادیان را نتیجه می دهد.

ابتدا، ببیند وقتیکه شما \(30\) را جایگزین \(\theta^{\circ}\) می کنید، چه اتفاقی می افتد:
$$\frac{30}{180}=\frac{\theta^R}{\pi} \\
\frac{1}{6}=\frac{\theta^R}{\pi} \\
\pi \cdot \frac{1}{6}=\frac{\theta^R}{\pi} \cdot \pi \\
\frac{\pi}{6} = \theta^R$$
یک زاویۀ \(30\) درجه برابر با \(\frac{\pi}{6}\) رادیان می باشد. شما یک کسر ساده با یک \(\pi\) در صورت آن و یک عدد کوچک و زیبای \(6\) در مخرج آن بدست می آورید.

با زوایای دیگری هم به نتایج مشابهی می رسیید:
$$
45^{\circ} \to \frac{\pi}{4} \\
60^{\circ} \to \frac{\pi}{3} \\
90^{\circ} \to \frac{\pi}{2}
$$
اندازه های رادیان با مخرج های \(2\)، \(3\)، \(4\)، و \(6\) به وفور مورد استفاده قرار می گیرند.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.